概率論與數(shù)理統(tǒng)計條件概率

一、條件概率二、全概率公式與貝葉斯公式三、小結第4節(jié)條件概率一、條件概率引例

袋中有7只白球,3只紅球,白球中有4只木球,3只塑料球;紅球中有2只木球,1只塑料球.現(xiàn)從袋中任取1球,假設每個球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,問它是木球的概率是多少？設

A表示任取一球，取得白球；B表示任取一球，取得木球.古典概型所求的概率稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。記為解

列表白球紅球小計木球426塑球314小計73101.定義ABAB2.性質(zhì)例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解:解:設A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應用定義例2一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概P(B|A).解由條件概率的公式得例3某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解3.乘法定理例1設產(chǎn)品的廢品率為2%，而合格品中有85%是一等品，求任抽一個產(chǎn)品是一等品的Pr。解：設：A=“合格品”，B=“一等品”

則P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.980.85

例2，市場上供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠的合格率是80%。求從市場上買到的一個由甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的Pr。

解：設A=“買到甲廠燈泡”，B=“買到合格燈泡”

P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95

例3，在10個零件中有3個次品，不放回地連續(xù)取2個，求（1）兩個都是正品（2）兩個都是次品（3）第一次取正品，第二次是次品(4)第一次取次品，第二次是正品(5)一正一次的Pr解：令=“第i次取到正品”，i=1,2（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

例4

五個鬮,其中兩個鬮內(nèi)寫著“有”字,三個鬮內(nèi)不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關?

依此類推故抓鬮與次序無關.1.樣本空間的劃分二、全概率公式與貝葉斯公式2.全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個擊破說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.例1有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%稱此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式證明[證畢]例2解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得解例3由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人患有癌癥.每100件產(chǎn)品為一批,已知每批產(chǎn)品中次品數(shù)不超過4件,每批產(chǎn)品中有i件次品的概率為i01234P0.10.20.40.20.1從每批產(chǎn)品中不放回地取10件進行檢驗,若發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品,則認為這批產(chǎn)品不合格，否則就認為這批產(chǎn)品合格.求(1)一批產(chǎn)品通過檢驗的概率(2)通過檢驗的產(chǎn)品中恰有i件次品的概率例4解

設一批產(chǎn)品中有i件次品為事件Bi,i=0,1,…,4A為一批產(chǎn)品通過檢驗則已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式與Bayes公式可計算P(A)與結果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080稱為后驗概率，它是得到了信息—A發(fā)生,再對導致A發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正稱P(Bi)為先驗概率，它是由以往的經(jīng)驗得到的，它是事件A的原因1.條件概率全概率公式貝葉斯公式三、小結乘法定理例1設袋中有4只白球,2只紅球,(1)無放回隨機地抽取兩次,每次取一球,求在兩次抽取中至多抽到一個紅球的概率?(2)若無放回的抽取3次,每次抽取一球,求(a)第一次是白球的情況下,第二次與第三次均是白球的概率?(b)第一次與第二次均是白球的情況下,第三次是白球的概率?備份題解則有例2擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點的概率.解設事件A為“兩顆點數(shù)之和為7”,事件B為“一顆點數(shù)為1”.故所求概率為擲骰子試驗兩顆點數(shù)之和為7的種數(shù)為3,其中有一顆為1點的種數(shù)為1,例3設一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品,其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱,3箱,2箱,三廠產(chǎn)品的廢