高考數(shù)學(xué)第15煉 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

第函單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)函數(shù)作圖起到?jīng)Q定性的作用導(dǎo)是分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個(gè)便利工具一已函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是每一個(gè)學(xué)生的必備本領(lǐng)求的過(guò)程中也要學(xué)會(huì)一些方法和技巧。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)

f

的定義域?yàn)?/p>

，區(qū)間

ID

，若對(duì)于

Ix11

2

，有f

f

，則稱

f

在I上調(diào)遞增，I稱單調(diào)遞增區(qū)間。若對(duì)于I,，有f1122間。2、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的聯(lián)系

，則稱

f調(diào)遞減，I為單調(diào)遞減區(qū)（）數(shù)

f

可導(dǎo)，那么

f

上單調(diào)遞增

(x)此結(jié)論可以這樣理解對(duì)于遞增的函數(shù)其像有三種類型：，無(wú)論是哪種圖形，其上面任意一點(diǎn)的切線斜率均大于零。等號(hào)成立的情況一單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)有可能為零如：

f

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，另一種是位于單調(diào)區(qū)間內(nèi)但導(dǎo)數(shù)值等于零的點(diǎn)，典型的一個(gè)例子為

f

在

x

處的導(dǎo)數(shù)為0，但是

位于單調(diào)區(qū)間內(nèi)。（）數(shù)

f

可導(dǎo)，則

f

上單調(diào)遞減

x)（）面我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性可以決定其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，那么由

()

的符號(hào)能否推出

f

的單調(diào)性呢？如果

f

不是常值函數(shù)，那么便可由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)應(yīng)推出函數(shù)的單調(diào)性是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理論基礎(chǔ)）3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的驟（）定函數(shù)的定義域（）出

f

的導(dǎo)函數(shù)

f

'

x)（）

f(x)

（或

出

的解集，即為

f

的單調(diào)增（或減）區(qū)間（）出表格4、求單調(diào)區(qū)間的一些技巧強(qiáng)調(diào)先求定義域，一方面定義域?qū)握{(diào)區(qū)間有限制作用單區(qū)間為定義域的子集另一方面通過(guò)定義域?qū)θ〉南拗平獠坏仁接袝r(shí)會(huì)起到簡(jiǎn)化的作用便調(diào)區(qū)間求解在求單調(diào)區(qū)間時(shí)優(yōu)先處理恒正恒負(fù)的因式，以簡(jiǎn)化不等式（）般可令

f(x)

，這樣解出的解集就是單調(diào)增區(qū)間（方便記憶

f

不存在常值函數(shù)部分，那么求減區(qū)間只需要取增區(qū)間在定義域上的補(bǔ)集即(簡(jiǎn)化求解的步驟）（）

f

'

的解集為定義域，那么說(shuō)明

f

是定義域上的增函數(shù)，若

f

'

)

的解集為

，那么說(shuō)明沒(méi)有一個(gè)點(diǎn)切線斜率大于零，那么

f

是定義域上的減函數(shù)（）數(shù)只是求單調(diào)區(qū)間的一個(gè)有力工具，并不是唯一方法，以前學(xué)過(guò)的一些單調(diào)性判斷方法也依然好用，例如：+增增，減→減，

增→減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減等。如果能夠通過(guò)結(jié)論直接判斷，那么就無(wú)需用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定。5、求單調(diào)區(qū)間的一些注意事項(xiàng)（）調(diào)區(qū)間可以用開(kāi)區(qū)間來(lái)進(jìn)行表示，如果用閉區(qū)間那么必須保證邊界值在定義域內(nèi)。例如函數(shù)

1

的單調(diào)減區(qū)間為

就出錯(cuò)（不在義域內(nèi)）（）果增（或減）區(qū)間有多個(gè)，那么在書(shū)寫(xiě)時(shí)用逗號(hào)隔開(kāi)，一定不要用并集的號(hào)。有些同學(xué)覺(jué)得不等式的解集是多個(gè)部分時(shí)用“

”連接，那么區(qū)間也一樣，這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。并集是指將兩個(gè)集合的元素合并到一起成為一個(gè)集合，用在單調(diào)區(qū)間上會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。依然以

1

為例，如果寫(xiě)成

，那么就意味著從合并在一起的集合中任取兩個(gè)變量，滿足單調(diào)減的條件。由

1

性質(zhì)可知，如果在

兩個(gè)區(qū)間里各取一個(gè)，是不滿足單調(diào)減的性質(zhì)的。6、二階導(dǎo)函數(shù)的作用：①幾何意義：導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于

f

"

而言，決定的是

f

的單調(diào)性。當(dāng)

f

時(shí)，

f

單調(diào)遞增，意味著

f

隨

的增大而增大，由于導(dǎo)數(shù)的幾何意義為切線斜率，故切線斜率

隨

的增大而增大；同理，當(dāng)

f

時(shí)，

f'

單調(diào)遞f33f33減，則切線斜率

隨

的增大而減少。那么在圖像上起到什么作用呢？單調(diào)增有三種：

其不同之處在于切線斜率隨自變量變大的變化不同，所以如果說(shuō)

f

是決定函數(shù)單調(diào)性的，那么

f

在已知單調(diào)性的前提下，能夠告訴我們是怎樣增，怎樣減的，進(jìn)而對(duì)作圖的精細(xì)化提供幫助。（）

f

"

，其圖像特點(diǎn)為：

我們稱這樣的函數(shù)為下凸函數(shù)（）

f"

，其圖像特點(diǎn)為：

我們稱這樣的函數(shù)為上凸函數(shù)②代數(shù)意義通

f

無(wú)法直接判斷符號(hào)時(shí)通二導(dǎo)函數(shù)先確定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再看能否利用條件判斷符號(hào)。二、典型例題：例1：下列函數(shù)中，在

上為增函數(shù)的是（）A.

f

B.

f

C.f

D.

f思路本題只需分析各個(gè)函數(shù)在

上的單調(diào)性即可選項(xiàng)

f

通過(guò)其圖像可知顯然在

不單調(diào)B選

f'

，當(dāng)

時(shí)，f

以

f

單調(diào)遞增選

2

31=3可得

f

在

33

單調(diào)遞減，在

33

單調(diào)遞增；選

11f'x

，可得

f

單調(diào)遞減。綜上B符條件答案：例2：函數(shù)

f

是（）A.

B.

C.

D.

思路：先分析

f

的定義域：

，再觀察解析式可得f

可視為函數(shù)

tx1

的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的特點(diǎn)，2可分別分析兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于

ylogt

而言，y對(duì)t是減函數(shù)。所以如要求得增區(qū)間，則

tx

中t對(duì)也為減函數(shù)。結(jié)合定義域可得

f

的單調(diào)增區(qū)間為

答案：例3：求函數(shù)

f

的單調(diào)區(qū)間（2009寧，題1）思路：第一步：先確定定義域，

f

定義域?yàn)镽，第二步：求導(dǎo)：

f

'

(x)

,第三步：令

f

'

),即

e

第四步：處理恒正恒負(fù)的因式，可得

第五步：求解

,列出表格

f

'

x)

f例4：求函數(shù)

f

的單調(diào)區(qū)間解：定義域

f

1xxxxx=xxxxxx20令數(shù)f

22

（通過(guò)定義域大大化簡(jiǎn)解不等式的過(guò)程）f(x)f

例5：求函數(shù)

f

ln

x

的單調(diào)區(qū)間11lnxx2211lnxx22解：

f

'

1xx2x2

令

f

，即解不等式

lnxlnx

的單調(diào)區(qū)間為例6：求函數(shù)

f'f↘f(x)的單調(diào)區(qū)間

↗

↘思路：函數(shù)還有絕對(duì)值，從而考慮先通過(guò)分類討論去掉絕對(duì)值，在求導(dǎo)進(jìn)行單調(diào)性分析解：

lnxfx,0

，當(dāng)

為減函數(shù)當(dāng)

時(shí)，

f'

1xxx

x'f

單調(diào)遞增綜上所述：

f

單調(diào)遞減，在

單調(diào)遞增小煉有話說(shuō)于含絕對(duì)值函數(shù)可通過(guò)對(duì)絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式的符號(hào)進(jìn)行分類討論可去掉絕對(duì)值，從而將函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)分段函數(shù)。（本在

時(shí)利用之前所學(xué)知識(shí)可直接判出

f

單調(diào)遞減從簡(jiǎn)化步驟。導(dǎo)數(shù)只是分析函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)工具能運(yùn)用以前所學(xué)知識(shí)判斷單調(diào)性直判斷更為簡(jiǎn)便例7函數(shù)

f

11

xa

單調(diào)遞增則

a

的取值集合是__________（）函數(shù)

f

11

的遞增區(qū)間是

值集合是___________解）思路：

f

'

a2

，由

f

單調(diào)遞2,311132,31113增可得：

，f

'

x

2

a

2

a（）思路：

f

的遞增區(qū)間為

單調(diào)遞增。令

f

'

2

x

2

2a

若af

單調(diào)遞增區(qū)間為

不符題意，若

a則

22時(shí)，'。以aa

答案））小煉有話說(shuō)：注意兩問(wèn)的不同之處，在）中，只是說(shuō)明

f

單調(diào)遞增，那么

f

也可以在其他區(qū)間單調(diào)遞增，即

是增區(qū)間的子集。而2）明確提出單調(diào)增區(qū)間為

不再含有其他增區(qū)間，x為調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，從而滿足條件的

a

只有一個(gè)值。要能夠區(qū)分這兩問(wèn)在敘述上的不同。例8：

f

13

若

f

在

上存在單調(diào)遞增區(qū)間則

a

的取值范圍是_______思路：

f

a

，有已知條件可得：

,+，使得f

，即a2

，只需

min

，而

y2

2

2139

，所以

a

19答案：

a

19小煉有話說(shuō)知在某區(qū)間單調(diào)性求參數(shù)范圍問(wèn)題思路為通過(guò)導(dǎo)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成f為不等式恒成立或不等式能成立問(wèn)題而求解要注意已知函數(shù)號(hào)。其導(dǎo)函數(shù)

f

單調(diào)遞（減時(shí)，（）轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意單調(diào)區(qū)間與不等式成立問(wèn)題中也有一些區(qū)別，例如：若把例6的條件改為“在

,

上存在單調(diào)遞增區(qū)間在求解的過(guò)程中，靠不等式能成立問(wèn)題的1xxx1x1xxx1x解法解出的a范圍時(shí)

a

1，但當(dāng)時(shí)滿足不等式的x的僅有x，能9成為單調(diào)區(qū)間，故

a

1舍去，答案依然為9例9：設(shè)函數(shù)

f

p

lnx

（其中

e

是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

f

在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍思路：條件中只是提到

f

為單調(diào)函數(shù)，所以要分單調(diào)增與單調(diào)減兩種情況考慮。無(wú)非就是

f

恒立或

恒成立，進(jìn)而求出

的范圍即可解：

f

'

p

p若

f

單調(diào)遞增，則

f

'

p202

恒成立即

122p1xx

p

2x

，設(shè)

h

21

2則

x2x21xxp若

f

單調(diào)遞減，則

f

'

p202

恒成立即

p1

1

2xp1

2

，設(shè)

h

21

2則

x

x

x

，且當(dāng)

x0

或

x

時(shí)，

h綜上所述：

或

p0例10：若函數(shù)

f

a

在區(qū)間

12

內(nèi)單調(diào)遞增，則

a

取值范圍是)A．

,1

B．

,1

C．

94

,

D．

91,4思路：先看函數(shù)

f

的定義域，則

x3

在

1,02

恒成立，

a

14f

可看成是由

logu

ax

的復(fù)合函數(shù)，故對(duì)a進(jìn)分類討論。當(dāng)a時(shí)，yloga

單調(diào)遞增以

u

需單調(diào)遞增x2amin

，與

a

矛盾當(dāng)

0

時(shí)，

yloga

單調(diào)減，所

x

3