對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)

對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)第一頁，共八十三頁，2022年，8月28日1EViews包含了一些常用方法，如最小二乘法、非線性最小二乘法、加權(quán)最小二乘法、TSLS、GMM、ARIMA、ARCH、GARCH等方法，這些方法可以解決可能遇到的大多數(shù)估計(jì)問題。但是，我們在研究中也可能會(huì)碰到一些不在上述之列的特殊的模型，這些模型可能是現(xiàn)存方法的一個(gè)擴(kuò)展，也可能是一類全新的問題。為了能解決這些特殊的問題，EViews提供了對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)對(duì)象這一工具來估計(jì)各種不同類型的模型。對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)對(duì)象提供了一個(gè)一般的，開放的工具，可以通過這個(gè)工具極大化相關(guān)參數(shù)的似然函數(shù)對(duì)一大類模型進(jìn)行估計(jì)。

第二頁，共八十三頁，2022年，8月28日2

使用對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)對(duì)象估計(jì)時(shí)，我們用EViews的序列生成器，將樣本中各個(gè)觀測值的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)描述為一個(gè)未知參數(shù)的函數(shù)?？梢越o出似然函數(shù)中一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的解析微分，也可以讓EViews自動(dòng)計(jì)算數(shù)值微分。EViews將尋找使得指定的似然函數(shù)最大化的參數(shù)值，并給出這些參數(shù)估計(jì)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。在本章，我們將詳細(xì)論述對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)對(duì)象，說明其一般特征。并給出了一些可以使用該方法的具體的例子。

第三頁，共八十三頁，2022年，8月28日3§8.1對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)的基本原理§8.1.1極大似然估計(jì)的基本原理設(shè)總體的概率密度函數(shù)為P，其類型是已知的，但含有未知參數(shù)（向量）。我們的目的就是依據(jù)從該總體抽得的隨機(jī)樣本y1,y2,…,yT，尋求對(duì)

的估計(jì)。觀測值y1,y2,…,yT的聯(lián)合密度函數(shù)被給定為（8.1.1）其中：y=(y1,y2,…,yT)。將這一聯(lián)合密度函數(shù)視為參數(shù)

的函數(shù)，稱為樣本的似然函數(shù)（likelihoodfunction）。第四頁，共八十三頁，2022年，8月28日4極大似然原理就是尋求參數(shù)的估計(jì)值，使得所給樣本值的概率密度（即似然函數(shù)）的值在這個(gè)參數(shù)值之下，達(dá)到最大。在當(dāng)前的情形下，就是尋求

的估計(jì)值，使得似然函數(shù)L(y

;

)

相對(duì)于給定的觀測值y1,y2,…,yT而言達(dá)到最大值，就被稱為極大似然估計(jì)量。

第五頁，共八十三頁，2022年，8月28日5在L(y

;

)關(guān)于i（i=1,2,…,n，n是未知參數(shù)的個(gè)數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，要使L(y

;

)

取最大值，

必須滿足,i=1,2,…,n（8.1.2）由上式可解得n1

向量

的極大似然估計(jì)值，而式(8.1.2)也被稱為似然函數(shù)。第六頁，共八十三頁，2022年，8月28日6因?yàn)長(y

;

)

與ln[L(y

;

))]

在同一點(diǎn)處取極值，所以也可以由,i=1,2,…,n（8.1.3）求得，因?yàn)閷?duì)數(shù)可將乘積變成求和，所以，式(8.1.3)往往比直接使用式(8.1.2)來得方便。式(8.1.3)也被稱為對(duì)數(shù)似然函數(shù)。第七頁，共八十三頁，2022年，8月28日7考慮多元線性回歸模型的一般形式,t=1,2,…,T

(8.1.4)其中k是解釋變量個(gè)數(shù)，T是觀測值個(gè)數(shù)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)

～，那么

yt服從如下的正態(tài)分布：～其中(8.1.5)第八頁，共八十三頁，2022年，8月28日8

y

的隨機(jī)抽取的T

個(gè)樣本觀測值的聯(lián)合概率函數(shù)為

（8.1.6）這就是變量y的似然函數(shù)，未知參數(shù)向量={1,2,…k,2}。對(duì)似然函數(shù)求極大值和對(duì)數(shù)似然函數(shù)求極大值是等價(jià)的，式(8.1.6)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)形式為：

（8.1.7）第九頁，共八十三頁，2022年，8月28日9注意，可以將對(duì)數(shù)似然函數(shù)寫成t時(shí)刻所有觀測值的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)和的形式，（8.1.8）這里對(duì)數(shù)似然的單個(gè)貢獻(xiàn)（用小寫字母表示）由下面的式子給出：（8.1.9）第十頁，共八十三頁，2022年，8月28日10式（8.1.7）也可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

表示

（8.1.10）式中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)

為（8.1.11）這里對(duì)數(shù)似然函數(shù)每個(gè)觀測值的貢獻(xiàn)式(8.1.9)又可以由下面的式子給出：（8.1.12）第十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日11

§8.1.2EViews極大似然對(duì)象概述

用對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)來估計(jì)一個(gè)模型，主要的工作是建立用來求解似然函數(shù)的說明文本。用EViews指定對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)的說明是很容易的，因?yàn)樗迫缓瘮?shù)的說明只是一系列對(duì)序列的賦值語句，這些賦值語句在極大化的過程中被反復(fù)的計(jì)算。我們所要做的只是寫下一組語句，在計(jì)算時(shí)，這些語句將描述一個(gè)包含每個(gè)觀測值對(duì)似然函數(shù)貢獻(xiàn)的序列。第十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日12

注意到，我們能將對(duì)數(shù)似然函數(shù)寫成所有觀測值

t的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)和的形式，

這里單個(gè)貢獻(xiàn)由下面的式子給出：

第十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日13以只含一個(gè)解釋變量的一元線性回歸方程為例,t=1,2,…,T假定知道模型參數(shù)的真實(shí)值，并且想用EViews產(chǎn)生一個(gè)包含每個(gè)觀測值的貢獻(xiàn)的序列。

第十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日14未知參數(shù)向量={0,

1,2},可以將參數(shù)初值賦給系數(shù)向量的c(1)到c(3)元素，然后把下面的賦值語句作為EViews的命令或程序來執(zhí)行。Seriesres=y-c(1)-c(2)*xSeriesvar=c(3)SerieslogL1=-log(2*3.14159*var)/2-(res^2/var)/2前面兩行語句描述了用來存儲(chǔ)計(jì)算時(shí)的中間結(jié)果的序列。第一個(gè)語句創(chuàng)建了殘差序列：res，而第二個(gè)語句創(chuàng)建了方差序列：var。而序列l(wèi)ogL1包含了每個(gè)觀測值的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)的集合。第十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日15

下面考慮2個(gè)變量的例子：

這里，y,x,w是觀測序列，而={1,2,3,

2}是模型的參數(shù)。有T個(gè)觀測值的樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以寫成：

這里，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。第十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日16

將這一例子的對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)過程寫成下面的賦值語句：Seriesres=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*wSeriesvar=c(4)SerieslogL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2前面兩行語句創(chuàng)建了殘差序列res和方差序列var，參數(shù)c(1),c(2),c(3)代表了回歸系數(shù)1,2,3，c(4)代表了

2，序列l(wèi)ogL1包含了每個(gè)觀測值的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)的集合。

第十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日17

下面考慮稍復(fù)雜的例子，假設(shè)數(shù)據(jù)是由條件異方差回歸模型生成的：

這里，x,y,w是觀測序列，而={1,2,3,

2,}是模型的參數(shù)。有T個(gè)觀測值的樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以寫成：

這里，

是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。第十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日18

將這一例子的對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)過程寫成下面的賦值語句：Seriesres=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*wSeriesvar=c(4)*w^c(5)SerieslogL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2前面兩行語句創(chuàng)建了殘差序列res和方差序列var，參數(shù)c(1),c(2),c(3)代表回歸系數(shù)1,2,3，c(4)代表

2，c(5)代表

，序列l(wèi)ogL1包含了每個(gè)觀測值的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)的集合。

第十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日19

現(xiàn)在假定不知道模型參數(shù)的真實(shí)值，而想使用數(shù)據(jù)來估計(jì)它。參數(shù)的極大似然估計(jì)被定義為：使得樣本中所有隨機(jī)抽取的一組觀測值的聯(lián)合概率密度，即似然函數(shù)取最大值的那組參數(shù)值。而對(duì)數(shù)極大似然方法使得尋找這些極大似然估計(jì)變得容易了。只需創(chuàng)建一個(gè)對(duì)數(shù)似然對(duì)象，把上面的賦值語句輸入到logL的說明窗口，然后讓EViews來估計(jì)這個(gè)模型。

第二十頁，共八十三頁，2022年，8月28日20

在輸入賦值語句時(shí)，只需對(duì)上面的文本做兩處微小的改動(dòng)就可以了。首先，把每行開頭的關(guān)鍵字series刪掉（因?yàn)樗迫徽f明暗含了假定序列是當(dāng)前的）。第二，必須在說明中加入額外的一行（關(guān)鍵字@logL為包含似然貢獻(xiàn)的序列命名）。這樣，要在logL說明窗口輸入下面的內(nèi)容：@logLloglres=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*wvar=c(4)*w^c(5)logl=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2對(duì)數(shù)似然函數(shù)的第一行，@logLlogl，告訴EViews用logl序列來存儲(chǔ)似然貢獻(xiàn)。余下的行定義了中間結(jié)果的計(jì)算和實(shí)際的似然貢獻(xiàn)的計(jì)算。第二十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日21當(dāng)用EViews估計(jì)模型參數(shù)時(shí)，它將對(duì)不同參數(shù)值重復(fù)執(zhí)行說明中的賦值語句，使用迭代法來求使得對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)最大的一組參數(shù)值。當(dāng)EViews再不能提高全部似然貢獻(xiàn)時(shí)，它將停止迭代并在估計(jì)輸出中報(bào)告最終參數(shù)值和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。本章下面的部分將更詳細(xì)地討論使用似然方法說明，估計(jì)和檢驗(yàn)時(shí)要遵循的規(guī)則。第二十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日22

要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)似然對(duì)象，選擇Objects/NewObject.../LogL或者在命令窗口輸入“l(fā)ogL”。似然窗口將打開一個(gè)空白說明視圖。說明視圖是一個(gè)文本窗口，在這個(gè)窗口里可以輸入描述統(tǒng)計(jì)模型的說明語句，還可以設(shè)置控制估計(jì)程序各個(gè)方面的選項(xiàng)。

§8.1.3似然說明第二十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日231．似然的定義

正如上節(jié)中所描述的那樣，似然說明的主線是一系列賦值語句，在計(jì)算時(shí)，這些賦值語句將產(chǎn)生一個(gè)包含樣本中每個(gè)觀測值的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)的序列。賦值語句的多少可以自己決定。第二十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日24

每個(gè)似然說明都必須包含一個(gè)控制語句，該語句命名了保存似然貢獻(xiàn)的序列。語句的格式為：

@logLseries_name這里@logL是關(guān)鍵字，series_name是保存似然貢獻(xiàn)的序列的名字，可以寫在似然說明的任何位置。例如，對(duì)于一元線性回歸方程的似然說明來說，第一行：@logLlogl是似然貢獻(xiàn)的序列的說明。當(dāng)對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，EViews將在現(xiàn)有參數(shù)值下執(zhí)行每個(gè)賦值語句，并將結(jié)果保存到指定名稱的序列里。如果序列不存在，系統(tǒng)將自動(dòng)創(chuàng)建，如果已經(jīng)存在，系統(tǒng)將使用現(xiàn)有的序列，并覆蓋序列原來的內(nèi)容。第二十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日25如果想在估計(jì)完成后刪除說明中的一個(gè)或多個(gè)序列，可以使用@temp語句：

@tempseries_name1sereis_name2...這個(gè)語句告訴EViews在對(duì)說明的計(jì)算完成后，刪除列表中的序列。如果在logL中創(chuàng)建了許多中間結(jié)果，又不愿意工作文件因包含這些結(jié)果的序列而弄得混亂的話，刪除這些序列將是很有用的。例如，圖8.2中的最后一行語句就是命令EViews在估計(jì)結(jié)束后，刪除估計(jì)產(chǎn)生的中間序列res、var和logl。這里需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，在似然說明的文本中可以加入說明語句，說明語句的前面加上撇號(hào)“”，則這個(gè)語句將不被執(zhí)行。第二十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日26

2．參數(shù)名

在上面的例子中，我們使用了系數(shù)c(1)到c(5)作為未知參數(shù)的名稱。更一般的，出現(xiàn)在說明中一個(gè)已命名的系數(shù)向量中的每一個(gè)元素都將被視為待估參數(shù)。例如創(chuàng)建2個(gè)命名的系數(shù)向量：beta(2)sigma(1)

于是可以寫出下面的似然說明：

@logLlogL1

res=cs-beta(1)-beta(2)*incvar=sigma(1)logl1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2第二十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日27

由于說明中的已命名的系數(shù)向量的所有元素都將被視為待估參數(shù)，必須確定所有的系數(shù)確實(shí)影響了一個(gè)或多個(gè)似然貢獻(xiàn)的值。如果一個(gè)參數(shù)對(duì)似然沒有影響，那么在試圖進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，將遇到一個(gè)奇異錯(cuò)誤。應(yīng)該注意到除了系數(shù)元素外所有的對(duì)象在估計(jì)過程中都將被視為固定的，不可改變的。例如，假定omega是工作文件中一個(gè)已命名的標(biāo)量(scalaromega)，如果將子表達(dá)式var定義如下:

var=omega

EViews將不會(huì)估計(jì)omega。omega的值將被固定在估計(jì)的開始值上。

第二十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日283．估計(jì)的順序

logL說明包含了一個(gè)或多個(gè)能夠產(chǎn)生包含似然貢獻(xiàn)的序列的賦值語句。在執(zhí)行這些賦值語句的時(shí)候，EViews總是從頂部到底部執(zhí)行，所以后面計(jì)算要用到的表達(dá)式應(yīng)放在前面。EViews對(duì)整個(gè)樣本重復(fù)地計(jì)算每個(gè)表達(dá)式。EViews對(duì)模型進(jìn)行重復(fù)計(jì)算時(shí)采用方程順序和樣本觀測值順序兩種不同方式，這樣就必須指定采用那種方式，即觀測值和方程的執(zhí)行順序。

第二十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日29（1）觀測值順序（@byobs）默認(rèn)情形下，EViews用觀測值順序來計(jì)算模型，此種方式是先用第一個(gè)觀測值來計(jì)算所有的賦值語句，接下來是用第二個(gè)觀測值來計(jì)算所有的賦值語句，如此往復(fù)，直到估計(jì)樣本中所有觀測值都使用過。這是用觀測值順序來計(jì)算遞歸模型的正確順序，遞歸模型中每一個(gè)觀測值的似然貢獻(xiàn)依賴于前面的觀測值，例如AR模型或ARCH模型。第三十頁，共八十三頁，2022年，8月28日30（2）方程順序（@byeqn）

可以改變計(jì)算的順序，這樣EViews就可以用方程順序來計(jì)算模型，先用所有的觀測值來計(jì)算第一個(gè)賦值語句，然后用所有的觀測值計(jì)算第二個(gè)賦值語句，如此往復(fù)，對(duì)說明中每一個(gè)賦值語句都用同樣方式進(jìn)行計(jì)算。這是用中間序列的總量統(tǒng)計(jì)作為后面計(jì)算的輸入的模型的正確順序。可以通過在說明中加入一條語句來聲明所選擇的計(jì)算方法。要用方程順序來計(jì)算，僅加一行關(guān)鍵字“@byeqn”。要用樣本順序來計(jì)算，可以用關(guān)鍵字“@byobs”。如果沒有給出關(guān)鍵字，那么系統(tǒng)默認(rèn)為“@byobs”。第三十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日31例8.1一元線性回歸方程的極大似然估計(jì)

以例3.1的消費(fèi)函數(shù)作為例子，分析普通回歸方程的極大似然估計(jì)方法。消費(fèi)函數(shù)的被解釋變量cs為實(shí)際居民消費(fèi)，解釋變量為實(shí)際可支配收入inc，變量均為剔除了價(jià)格因素的實(shí)際年度數(shù)據(jù)，樣本區(qū)間為1978～2006年。那么凱恩斯消費(fèi)函數(shù)的方程形式就可以寫成：

(8.2.5)

其中：ut服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，cs=CS/CPI，inc=YD/CPI，CPI代表1978年為1的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，

代表自發(fā)消費(fèi)，

代表邊際消費(fèi)傾向，則參數(shù)向量為=(，，u2)'，觀測值個(gè)數(shù)T=29。

第三十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日32利用前面的式(8.2.2)，我們可以寫出這個(gè)方程的對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)

(8.2.6)

(8.2.6)式中zt=(cst-

-×inct)/

u。第三十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日33利用極大似然方法求解，作為@byobs語句的一個(gè)例子，考慮下面的說明：EViews用觀測值順序來計(jì)算模型，此種方式是先用第一個(gè)觀測值來計(jì)算所有的賦值語句，接下來是用第二個(gè)觀測值來計(jì)算所有的賦值語句，如此往復(fù)，直到估計(jì)樣本中所有觀測值都使用過。本例將方差作為未知參數(shù)c(3)，一起求解。

第三十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日34進(jìn)行極大似然求解之后，得到

和

的估計(jì)值:c(3)是方差的估計(jì)結(jié)果。這個(gè)結(jié)果與最小二乘法得到的結(jié)果完全相同。

第三十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日35作為@byeqn語句的一個(gè)例子，考慮下面的說明：進(jìn)行極大似然求解之后，得到

和

的估計(jì)值:

第三十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日36例8.4具有異方差的一元線性回歸模型的極大似然估計(jì)

根據(jù)第4章例4.1，各省人均家庭交通及通訊支出(cum)和可支配收入(in)的關(guān)系，樣本個(gè)數(shù)為30，考慮如下具有異方差性的方程：(8.2.40)為消除方程中的異方差，利用加權(quán)最小二乘法求解，設(shè)êt=cumt–

0–1int，w=1/|ê|，可以寫出式(8.2.40)的對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)

(8.2.41)它的未知參數(shù)向量為=(0,1)。

第三十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日37也可用同樣的處理方法利用極大似然方法求解，作為@byeqn語句的一個(gè)例子，考慮下面的說明：

這個(gè)說明通過利用殘差res建立加權(quán)向量w=1/abs(res)來完成一個(gè)加權(quán)最小二乘回歸。res的賦值語句計(jì)算了在每次計(jì)算時(shí)的殘差，而這被用做構(gòu)造權(quán)重序列。@byeqn語句指示EViews在一個(gè)給定的迭代過程中，必須先算出所有的殘差res，然后再計(jì)算殘差的加權(quán)向量w。本例方差用樣本方差替代，也可將方差作為未知參數(shù)c(3)，一起求解。

第三十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日38利用極大似然方法估計(jì)出未知參數(shù)

后，寫出方程為：(-392.6)(225.5)第三十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日39

§8.1.4極大似然估計(jì)量的計(jì)算方法

極大似然估計(jì)量的計(jì)算方法有許多種，有解析方法，也有數(shù)值解法。設(shè)=(1,2,…,n)是待求的未知參數(shù)向量，如例8.1中=(,,2),異方差例子中=(,2,)。首先求極大似然估計(jì)的迭代公式。為求極大似然估計(jì)，需要求解(8.1.13)設(shè)是超參數(shù)向量的精確值，采用Taylor展開式，取一次近似，并設(shè)表示參數(shù)空間上的任意一點(diǎn)，則可將lnL(y;)/表示成(8.1.14)第四十頁，共八十三頁，2022年，8月28日40令其為0，可得(8.1.15)于是得到迭代公式(8.1.16)第四十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日41求(l)

(l=1,2,…)，它的收斂值(8.1.17)為所求的極大似然估計(jì)。式(8.1.16)中對(duì)數(shù)似然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣

2lnL/

被稱為海塞(Hessian)矩陣，而對(duì)數(shù)似然函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)lnL/

被稱為得分向量或Jacobian向量。計(jì)算式(8.1.16)中的海塞(Hessian)矩陣的逆矩陣，計(jì)算量是很大的。計(jì)算式(8.1.16)的方法有多種，近似的方法可節(jié)省時(shí)間但缺少嚴(yán)密性，而嚴(yán)密的方法又有計(jì)算時(shí)間長的缺點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中要根據(jù)所用計(jì)算機(jī)的功能選擇適當(dāng)?shù)姆椒?。第四十二頁，共八十三頁?022年，8月28日42

1.

解析導(dǎo)數(shù)

默認(rèn)情形下，當(dāng)極大化似然函數(shù)和形成標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)時(shí)，EViews計(jì)算似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)的數(shù)值微分。也可以用@deriv語句為一個(gè)或多個(gè)導(dǎo)數(shù)指定解析表達(dá)式，該語句格式為：

@derivpname1sname1pname2sname2...這里pname是模型中的一個(gè)參數(shù)名稱，而sname是由模型產(chǎn)生的對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)序列的名稱。例如@derivc(1)grad1c(2)grad2c(3)grad3grad1=xa/dgrad2=grad1*x1grad3=grad2*x2第四十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日43

2.

導(dǎo)數(shù)步長

如果模型的參數(shù)沒有指定解析微分，EViews將用數(shù)值方法來計(jì)算似然函數(shù)關(guān)于這些參數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)的步長由兩個(gè)參數(shù)控制：r

(相對(duì)步長)和

m（最小步長）。用(i)表示參數(shù)在第

i

次迭代時(shí)的值，那么在第

i+1次迭代時(shí)的步長由下式定義：

雙側(cè)數(shù)值微分被定義為：

第四十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日44而單側(cè)數(shù)值微分則由下式計(jì)算：(8.19)這里logL是似然函數(shù)。雙側(cè)導(dǎo)數(shù)更加精確，但它要對(duì)似然函數(shù)進(jìn)行的計(jì)算量大概是單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩倍，運(yùn)行時(shí)間上也是如此。

第四十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日45

@derivstep可以用來控制步長和在每次迭代時(shí)計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法。關(guān)鍵字@derivstep后面必須設(shè)置三項(xiàng)：參數(shù)名（或用關(guān)鍵字@all代替）；相對(duì)步長；最小步長。默認(rèn)設(shè)置（近似的）為：

@derivstep(1)@all1.49e-81e-10這里括弧里的“１”表示用的是單側(cè)導(dǎo)數(shù)，而@all關(guān)鍵字表示設(shè)置的步長適用于所有參數(shù)。@all后面第一個(gè)數(shù)值是相對(duì)步長，第二個(gè)數(shù)值是最小步長。默認(rèn)的相對(duì)步長為r＝1.4910-8，而最小步長為m＝10-10。

第四十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日46§8.1.5估計(jì)

一旦定義了一個(gè)似然對(duì)象，可以用EViews來尋找使得似然函數(shù)取極大值的參數(shù)值。只需在似然窗口工具欄中單擊Estimate就可以打開估計(jì)對(duì)話框。在這個(gè)對(duì)話框里有許多用來控制估計(jì)過程不同方面的選項(xiàng)。大多數(shù)問題使用默認(rèn)設(shè)置就可以。單擊OK，EViews將用當(dāng)前的設(shè)置開始估計(jì)。

第四十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日47

1．初值

由于EViews使用迭代法來求極大似然估計(jì)，初值的選擇就顯得非常重要了。對(duì)于似然函數(shù)只有一個(gè)極大值的問題，只是經(jīng)過多少次迭代使估計(jì)收斂的問題。對(duì)于那些多個(gè)極大值的似然函數(shù)所面臨的問題是決定選擇極大值中哪一個(gè)。在某些情況下，如果不給出合理的初值，EViews將無法作出估計(jì)。默認(rèn)情況下，EViews使用存儲(chǔ)在系數(shù)向量的值。如果在說明中用了@param語句，那么就用語句指定的值來代替。

第四十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日48

在前述的例子中，為均值方程系數(shù)賦初值的一個(gè)方法是簡單的OLS法，這是因?yàn)榧词乖诋惙讲钚裕ㄓ薪纾┐嬖诘臈l件下，OLS也提供了一致的點(diǎn)估計(jì)。為了用OLS估計(jì)值作為初值，首先要估計(jì)OLS方程：ycxz在對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行估計(jì)后，C系數(shù)向量中的元素c(1)，c(2)，c(3)將包含OLS估計(jì)的結(jié)果。第四十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日49

要設(shè)置c(4)表示OLS估計(jì)的殘差方差，可以在命令窗口中輸入下面的賦值語句：c(4)=eq1.@se^2?？蛇x擇地，可以利用簡單的賦值語句任意設(shè)置參數(shù)值：c(4)=0.005如果在執(zhí)行了OLS估計(jì)及其后面的命令后馬上估計(jì)logl模型的話，那么將用設(shè)置在C向量里的值作為初值。象上面提到的那樣，將參數(shù)初始值賦值為已知值的另一種方法是在似然模型說明中加入@param語句。例如，如果在logl的說明中加入了下面的行:@paramc(1)0.1c(2)0.1c(3)0.1c(4)0.005那么EViews會(huì)將初值設(shè)置為:c(1)=c(2)=c(3)=0.1，c(4)=0.005。第五十頁，共八十三頁，2022年，8月28日50

2．估計(jì)樣本

在估計(jì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)的參數(shù)時(shí)，EViews就在Estimation對(duì)話框里指定了將使用的觀測值的樣本。EViews在當(dāng)前參數(shù)值下，將使用觀測值順序或方程順序用樣本中的每一個(gè)觀測值來對(duì)logl中每個(gè)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。所有這些計(jì)算都服從于EViews中關(guān)于序列表達(dá)式計(jì)算的規(guī)則。如果在對(duì)數(shù)似然序列的初始參數(shù)值中有缺少值，EViews將發(fā)出錯(cuò)誤信息而估計(jì)過程也將終止。相對(duì)于其他的EViews內(nèi)部過程的處理方式，在估計(jì)模型參數(shù)時(shí)logl估計(jì)不能進(jìn)行終點(diǎn)調(diào)整或是去掉那些欠缺值的觀測值。第五十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日51§8.1.6LogL視圖

(1)likelihoodSpecification:顯示定義和編輯似然說明的窗口。(2)EstimationOutput:顯示通過最大化似然函數(shù)得到的估計(jì)結(jié)果。(3)CovarianceMatrix:顯示參數(shù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣。這是通過計(jì)算在最優(yōu)參數(shù)值下一階導(dǎo)數(shù)的外積的和的逆求得的?？梢杂聾cov這個(gè)函數(shù)將其保存為(SYM)矩陣。(4)WaldCoefficientTest:執(zhí)行Wald系數(shù)限制檢驗(yàn)。參看系數(shù)檢驗(yàn)，關(guān)于Wald檢驗(yàn)的討論。第五十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日52

(5)Gradients:如果模型沒有被估計(jì)，顯示當(dāng)前參數(shù)值下logL的梯度（一階導(dǎo)數(shù)）視圖，若模型已經(jīng)被估計(jì)，則顯示收斂的參數(shù)值下logL的梯度視圖。當(dāng)處理收斂問題時(shí)，這些圖將成為有用的鑒別工具。梯度表格視圖可以檢查似然函數(shù)的梯度。如果模型迭代尚未收斂，那么就在當(dāng)前參數(shù)值下計(jì)算梯度，若模型已經(jīng)估計(jì)出來了，就在收斂的參數(shù)值下計(jì)算。第五十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日53

視圖在處理收斂性或奇異點(diǎn)問題時(shí)是一個(gè)有用的鑒別工具。一個(gè)常見的問題是，由于錯(cuò)誤的定義似然過程，不恰當(dāng)?shù)某踔?，或是模型不可識(shí)別等導(dǎo)致某個(gè)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零可能產(chǎn)生奇異矩陣。第五十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日54

(6)CheckDerivatives(檢查導(dǎo)數(shù))可以用CheckDerivatives視圖來檢查數(shù)值微分或是解析微分表達(dá)式的是否有效。如果使用了@param語句，顯示在初值下數(shù)值微分和解析微分（如果可獲得）的值，如果沒有使用@param語句，則給出在當(dāng)前值下數(shù)值微分和解析微分的值，以及用模型中所有樣本計(jì)算的每個(gè)系數(shù)數(shù)值微分的和。第五十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日55該視圖的第一部分列出了用戶提供的導(dǎo)數(shù)的名稱，步長參數(shù)和計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)使用的系數(shù)值。本例中列出的相對(duì)步長和最小步長都是默認(rèn)設(shè)置。第二部分用模型中所有樣本計(jì)算了每個(gè)系數(shù)的數(shù)值微分的和，如果可能的話，還要計(jì)算解析微分的和。第五十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日56§8.1.7LogL過程

(1)Estimate:彈出一個(gè)設(shè)置估計(jì)選項(xiàng)的對(duì)話框，并估計(jì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)的參數(shù)。(2)MakeModel:建立一個(gè)估計(jì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)說明的未命名的模型對(duì)象。(3)MakeGradientGroup:在參數(shù)估計(jì)值下創(chuàng)建一個(gè)未命名的對(duì)數(shù)似然函數(shù)的梯度組（一階導(dǎo)數(shù)）。這些梯度常用來構(gòu)造拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。(4)UpdateCoefsfromLogL:用似然函數(shù)對(duì)象得出的估計(jì)值來更新系數(shù)向量。該過程可以將極大似然估計(jì)結(jié)果作為其他估計(jì)問題的初始值。大多數(shù)這些過程和EViews的其他估計(jì)對(duì)象相似。下面我們將著重介紹LogL對(duì)象所獨(dú)有的特征。第五十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日57LogL對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)輸出除了包含系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)外，還描述了估計(jì)的方法，估計(jì)使用的樣本，估計(jì)的日期和時(shí)間，計(jì)算順序以及估計(jì)過程收斂的信息,EViews還提供了對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，平均對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，系數(shù)個(gè)數(shù)以及三個(gè)信息標(biāo)準(zhǔn)。

第五十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日58§8.1.8問題解答

由于logL對(duì)象的極大的靈活性，在使用對(duì)數(shù)似然方法進(jìn)行估計(jì)時(shí)比使用其他EViews的內(nèi)部估計(jì)方法更容易出錯(cuò)。如果在估計(jì)時(shí)遇到了困難，下面的建議將幫助解決這些問題。

(1)檢查似然說明

一個(gè)簡單錯(cuò)誤包括錯(cuò)誤符號(hào)就可以使估計(jì)過程停止工作。必須檢查模型的每個(gè)參數(shù)是否確實(shí)定義了（在某些說明中可能不得不將參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化）。另外，模型中出現(xiàn)的每個(gè)參數(shù)必須直接的或間接的影響似然貢獻(xiàn)。CheckDerivatives視圖可以部分的解決后者的問題。第五十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日59

(2)選擇初值

如果由于缺失值或數(shù)學(xué)運(yùn)算域錯(cuò)誤（對(duì)負(fù)數(shù)取對(duì)數(shù)或取平方根，除數(shù)為零等等）導(dǎo)致樣本中似然貢獻(xiàn)無法評(píng)價(jià)，那么將立刻停止估計(jì)并給出錯(cuò)誤信息：“Cannotcompute@loglduetomissingvalues”。另外，選擇的初值不恰當(dāng)也可能使似然函數(shù)效果不理想。應(yīng)該給參數(shù)一個(gè)合理的初值。如果有一個(gè)近似求解該問題的簡單的估計(jì)技術(shù)，可以把由該方法得到的估計(jì)值作為極大似然估計(jì)的初值。

(3)檢查導(dǎo)數(shù)

如果使用解析微分，使用CheckDerivatives視圖來確認(rèn)是否已經(jīng)正確的標(biāo)記了導(dǎo)數(shù)。如果使用的是數(shù)值微分，就要考慮指定解析微分或是調(diào)整導(dǎo)數(shù)方法或步長選項(xiàng)。第六十頁，共八十三頁，2022年，8月28日60

(4)估計(jì)前正確地處理滯后值問題

和其他EViews估計(jì)程序相比，在估計(jì)一個(gè)對(duì)數(shù)似然模型時(shí)，logL估計(jì)程序不會(huì)用NA或滯后形式從樣本中自動(dòng)去掉某個(gè)觀測值。如果似然說明包含滯后值，必須從估計(jì)樣本的開始值中去掉一些觀測值，或者必須對(duì)說明作出標(biāo)記從而使前面樣本中的錯(cuò)誤值不會(huì)影響到整個(gè)樣本（參見AR(1)和GARCH模型的示例）。既然用來評(píng)價(jià)似然函數(shù)的序列包含在工作文件中（除非使用了@temp語句刪除它們），那么可以利用這些中間結(jié)果序列來檢驗(yàn)對(duì)數(shù)似然和中間序列的值，以發(fā)現(xiàn)滯后和缺值的問題。第六十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日61

(5)修正模型參數(shù)

如果有導(dǎo)致數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的參數(shù)值的問題，可以考慮修正模型參數(shù)以將之限制在其有效域內(nèi)。我們看到的大多數(shù)估計(jì)過程中的錯(cuò)誤信息本身具有解釋。而錯(cuò)誤信息“nearsingularmatrix(近似奇異矩陣)”卻不是很明確的。當(dāng)EViews不能求由導(dǎo)數(shù)外積的和構(gòu)成的矩陣的逆以致不能決定最優(yōu)化過程下一步的方向時(shí)，就給出這個(gè)錯(cuò)誤信息。這個(gè)錯(cuò)誤可能意味著各種類型的錯(cuò)誤，其中包括不適當(dāng)?shù)某踔?，但是?dāng)在理論上或?qū)τ行?shù)據(jù)，模型不可識(shí)別時(shí)，幾乎總是出現(xiàn)這種錯(cuò)誤。第六十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日62§8.1.9限制

必須注意對(duì)數(shù)似然中估計(jì)參數(shù)使用的算法并不是對(duì)任意的問題都適用的。在似然貢獻(xiàn)的導(dǎo)數(shù)的外積的和的基礎(chǔ)上，該算法給出了對(duì)數(shù)似然函數(shù)的Hessian矩陣的近似值。該近似值是建立在極大似然目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)形式和統(tǒng)計(jì)特性的基礎(chǔ)之上的。此外，只有當(dāng)描述似然貢獻(xiàn)的序列，其單個(gè)貢獻(xiàn)都被正確的設(shè)定并具有好的理論時(shí)，對(duì)數(shù)似然定義的參數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差才有意義。

第六十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日63用來描述似然貢獻(xiàn)的表達(dá)式必須遵守EViews關(guān)于序列表達(dá)式的規(guī)則。這些限制暗示我們不能在似然說明中使用矩陣運(yùn)算。為了寫出聯(lián)立方程模型的似然函數(shù)，必須寫出行列式和二次型的表達(dá)式。對(duì)于那些多于三個(gè)方程的模型而言，這樣做盡管是可能的，但會(huì)很繁瑣。這種情況的例子參見多元GARCH程序。另外，對(duì)數(shù)似然方法不能直接處理一般的不等式約束的最優(yōu)化問題。第六十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日64§8.2實(shí)例

一、AR(1)模型的極大似然函數(shù)

一階自回歸過程有如下形式，記作AR(1)：(8.2.8)～在此情形下，總體參數(shù)向量為=(c,,

2)。當(dāng)||<1時(shí)，存在一個(gè)滿足(8.2.8)的協(xié)方差平穩(wěn)過程，(8.2.8)可寫成MA()過程：

第六十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日65

上式取期望：

所以平穩(wěn)AR(1)過程的均值為其方差為

第六十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日66首先考察樣本中第一個(gè)觀察值y1的概率分布。由于在|

|<1時(shí)，存在一個(gè)滿足(8.2.8)的協(xié)方差平穩(wěn)過程，此時(shí)，，

所以，第一個(gè)觀察值的密度函數(shù)形如(8.2.9)

第六十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日67

接下來考慮第二個(gè)觀察值

Y2在觀察到的

Y1=y1條件下的分布。由(8.2.8)(8.2.10)可以將隨機(jī)變量

Y1視做確定性常數(shù)

y1。在此情形下，(8.2.10)給出Y2作為常數(shù)(c+y1)

和隨機(jī)變量

u2的和。因此～，(8.2.11)

第六十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日68一般地，Y1

,

Y2

,。。。,

Yt-1只通過

Yt-1

對(duì)

Yt起作用，第

t個(gè)觀察值以前

t-1個(gè)觀察值為條件的分布為：

(8.2.12)第六十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日69

完全樣本的似然函數(shù)為

(8.2.13)其對(duì)數(shù)似然函數(shù)可由(8.2.13)取對(duì)數(shù)求得：(8.2.14)將(8.2.11)和(8.2.12)代入(8.2.14)，由AR(1)過程得到一個(gè)樣本量為T的樣本的對(duì)數(shù)似然為(8.2.15)第七十頁，共八十三頁，2022年，8月28日70

例8.2AR(1)模型的極大似然估計(jì)

我們用數(shù)據(jù)生成過程生成Y，其中ut是一個(gè)白噪聲過程，即ut～.N(0,2)

。根據(jù)AR(1)過程的樣本量為T的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為(8.1.15)式。第七十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日71可以寫出式(8.2.16)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，總體參數(shù)向量為。利用最小二乘估計(jì)給出初值：c=-0.5,=0.85,2=eq1.@se^2=0.87。第七十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日72

利用極大似然估計(jì)方法估計(jì)的AR(1)模型:

@LOGLLOGL1@PARAMC(1)-0.5PHI(1)0.85S2(1)0.87RES=@RECODE(D1=1,Y-C(1)/(1-PHI(1)),Y-C(1)-PHI(1)*Y(-1))VAR=@RECODE(D1=1,S2(1)/(1-PHI(1)^2),S2(1))SRES=RES/@SQRT(VAR)LOGL1=LOG(@DNORM(SRES))-LOG(VAR)/2@TEMPRESVARSRESLOGL1在這個(gè)說明文本中，參數(shù)C(1)和PHI(1)分別代表了式(8.3.5)中的未知參數(shù)c和；S2就是對(duì)數(shù)似然函數(shù)(8.3.6)中的待估參數(shù)2；D1是一個(gè)序列，它的第一個(gè)值為1，其余的值均為0；@RECODE函數(shù)的第一個(gè)參數(shù)是條件，如果滿足，執(zhí)行第一個(gè)表達(dá)式；否則執(zhí)行第二個(gè)表達(dá)式。第七十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日73AR(1)模型的表達(dá)式為：（-3.19)(17.34)第七十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日74

二、GARCH(p,q)的極大似然函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)的GARCH(p,q)模型的形式為：(8.2.19)要想寫出GARCH(p,q)模型的極大似然函數(shù)，首先要分析擾動(dòng)項(xiàng)

ut

的密度函數(shù)。為了方便起見，我們對(duì)方程(8.2.19)采用另外一種方法來表示，它對(duì)

ut的序列相關(guān)施以更強(qiáng)的假定。假定；(8.2.20)這里，{vt}是一個(gè)i.i.d.序列，其均值為0，方差為1：第七十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日75

如果

ht的變化服從(8.2.21)那么