第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)課題二十九級(jí)數(shù)的概念和斂散性

【重、難點(diǎn)】重點(diǎn)：級(jí)數(shù)的相關(guān)概念，由數(shù)列知識(shí)引出。難點(diǎn)：正確判斷級(jí)數(shù)的斂散性，由實(shí)例講解方法。【授課時(shí)數(shù)】總時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí).【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知道級(jí)數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)；2、會(huì)用比較審斂法和比值審斂法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性；3、會(huì)判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)和一般級(jí)數(shù)的斂散性。1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、問(wèn)題的提出1.級(jí)數(shù)的定義一般項(xiàng)3.級(jí)數(shù)的分類(lèi)2.級(jí)數(shù)的部分和記作二、級(jí)數(shù)的概念

上述數(shù)列中,(1)、(2)是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，(3)、(4)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).4.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散解[例1]判別級(jí)數(shù)的斂散性.解[例2]判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性.解[例3]討論等比級(jí)數(shù)

的斂散性.

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上知,等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）注意：(可以用(2)來(lái)快速判斷級(jí)數(shù)的發(fā)散.)三、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性不變.1.定義:級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.比較審斂法四、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法使用比較審斂法常用的三個(gè)結(jié)論:解[例4]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解[例4]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:小結(jié)1.級(jí)數(shù)的概念2.級(jí)數(shù)的部分和3.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散4.級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)5.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念6.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法練習(xí)題3.比較審斂法的極限形式設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散.4.極限審斂法：解∴原級(jí)數(shù)發(fā)散.

[例5]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:∴原級(jí)數(shù)收斂.

[例5]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解5.比值審斂法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)：比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).兩點(diǎn)注意:解[例6]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解[例6]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:(比值審斂法失效,改用比較審斂法)[例6]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解[例6]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解故該級(jí)數(shù)收斂.6.根值審斂法(柯西判別法)：定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).五、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法解故原級(jí)數(shù)收斂.[例7]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解故原級(jí)數(shù)收斂.[例7]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:定義1:正、負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)六、絕對(duì)收斂與條件收斂解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即原級(jí)數(shù)收斂.[例8]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即原級(jí)數(shù)收斂.[例8]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解級(jí)數(shù)，故原級(jí)數(shù)條件收斂.[例8]判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.比較法5.比值法6.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);小結(jié)思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.練習(xí)題發(fā)散收斂通過(guò)本課題學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該達(dá)到：1．會(huì)用比較審斂法和比值審斂