第四章彎曲應力

材料力學中南大學土木工程學院1一、彎曲的概念1、彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶作用時,軸線由直線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2、梁：以彎曲變形為主的構件通常稱為梁。第四章彎曲應力§4.1平面彎曲的概念MMABF1F2q材料力學中南大學土木工程學院23、工程實例材料力學中南大學土木工程學院3材料力學中南大學土木工程學院44、平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內?？v向對稱面MF1F2q平面彎曲亦稱為對稱彎曲（指前后對稱）。材料力學中南大學土木工程學院5FAAF1F2

B對稱軸縱對稱面FB

對稱彎曲(平面彎曲)時梁變形后軸線所在平面與外力所在平面相重合材料力學中南大學土木工程學院6

特定條件下，發(fā)生非對稱彎曲的梁變形后其軸線所在平面也會跟外力所在平面相重合，因而也屬于平面彎曲。①梁不具有縱對稱面；②梁有縱對稱面，但外力沒有作用在縱對稱面內，從而變形后軸線所在平面與梁的縱對稱面不一致。5、非對稱彎曲yzFqxzyFq材料力學中南大學土木工程學院7二、梁的計算簡圖

梁的支承條件與荷載情況一般都比較復雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1、構件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2、荷載簡化作用于梁上的荷載（包括支座約束力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布荷載。F集中力ABFA集中力偶Mqq(x)分布荷載MA材料力學中南大學土木工程學院8①固定鉸支座

2個約束，1個自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。②可動鉸支座

1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。AAAFAxFAyAAAAFAA3、支座簡化材料力學中南大學土木工程學院9③固定端約束

3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。AFAyAFAxMA4、梁的三種基本形式②懸臂梁q(x)—分布荷載M集中力偶①簡支梁材料力學中南大學土木工程學院10靜定梁：由靜力學方程可求出全部約束力的梁，如上述三種基本形式的靜定梁。靜不定梁：由靜力學方程不能求出全部約束力的梁。③外伸梁M集中力FMq—均勻分布荷載F5、靜定梁與靜不定梁材料力學中南大學土木工程學院11一、彎曲內力解：①求外力§4.2梁的剪力和彎矩FFAyFAxFBAB②求內力——截面法xmm如圖，已知：F，a，l。求距A端x處截面上內力。FalAB材料力學中南大學土木工程學院12M∴彎曲構件內力剪力FS彎矩M2、彎矩：M

構件受彎時，作用面垂直于橫截面的內力偶矩。ACCBFAyFSFFBFSM1、剪力：FS

構件受彎時，作用線平行于橫截面的內力。材料力學中南大學土木工程學院133、內力的正負規(guī)定①剪力FS：繞研究對象順時針轉動為正；反之為負。②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形

的為負彎矩。FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)FS(+)FS(–)FS(–)材料力學中南大學土木工程學院144、內力大小的求法（按“設正法”畫圖）某截面剪力的大小等于該截面一側（左或右）梁上所有外力的代數和。即對截面左側梁而言，向上的外力引起正的剪力，向下的外力引起負的剪力。右側則相反q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或應選外力比較簡單的一側計算！材料力學中南大學土木工程學院15②某截面彎矩的大小等于該截面一側所有外力對此截面形心之矩的代數和。向上的外力引起正的彎矩，向下的外力引起負的彎矩。截面左側梁上順時針轉向的力偶引起正的彎矩，逆時針轉向的力偶引起負的彎矩，右側則相反。q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或+M順－M逆+M逆－M順材料力學中南大學土木工程學院16解：1、求約束力2、計算1-1截面的內力3、計算2-2截面的內力F=12kNFAFBq=12kN/m求下圖所示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=12kNABFAFB材料力學中南大學土木工程學院17①計算一個截面的內力，可直接根據方程由外力寫出結果，而不必逐個作截面畫受力圖再列方程求解。②求彎矩時不論取截面左側還是取截面右側，都是向上的外力引起正的彎矩，向下的外力引起負的彎矩，與求剪力不同。二、剪力方程和彎矩方程內力圖1、內力方程：內力與截面位置坐標(x)間的函數關系式。FS=FS(x)剪力方程M=M

(x)彎矩方程注意用方程表達內力沿軸線的變化規(guī)律，其優(yōu)缺點是⑴用積分法求彎曲變形需要列出彎矩方程；⑵方程依賴于坐標系，即同一段梁用不同坐標系寫出的方程不同。且內力變化規(guī)律不直觀，不方便。材料力學中南大學土木工程學院183、FS，M圖(剪力圖與彎矩圖)的要求⑴與梁的軸線對齊畫，并注明內力性質；⑵正的剪力畫在梁的上方，負的剪力畫在梁的下方；⑶彎矩無論正負均畫在梁受拉的一側；

(即正的彎矩畫在梁的下方，負的彎矩畫在梁的上方)⑷標明特殊截面內力數值；⑸標明內力的正負號；⑹注明內力單位。2、剪力圖和彎矩圖將內力方程畫成圖像，觀察內力變化規(guī)律既唯一又直觀。剪力圖FS=FS(x)的圖線表示彎矩圖M=M

(x)的圖線表示材料力學中南大學土木工程學院19解：1、求約束力2、列剪力方程和彎矩方程x圖示簡支梁受集度為q的均布荷載作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。BlAqFBFAxAqFAFS(x)M(x)A截面：x=0+，B截面：x=l-材料力學中南大學土木工程學院203、作剪力圖和彎矩圖ql2FS圖ql28l/2M圖

BlAq材料力學中南大學土木工程學院21解：1、求約束力2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出圖示簡支梁受集中荷載F作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。xBlAF

abCFBFAAC段FAxAM(x)FS(x)材料力學中南大學土木工程學院22xBlAF

abCFBFACB段FBBFS(x)M(x)l-x材料力學中南大學土木工程學院233、作剪力圖和彎矩圖FS

圖FblFalM圖FablBlAF

abC材料力學中南大學土木工程學院242、列剪力方程和彎矩方程解:1、求約束力剪力方程無需分段：圖示簡支梁受矩為M

的集中力偶作用，作梁的剪力圖和彎矩圖。MBlACabFA

FB材料力學中南大學土木工程學院25彎矩方程——分AC和CB兩段MBlACabFA

FBAC段FAxAM(x)FS(x)CB段FBBFS(x)M(x)l-x材料力學中南大學土木工程學院263、作剪力圖和彎矩圖FS圖lMlM圖MalMbMBlACab分析外力偶分別移到左右兩端時的內力圖！并作總結！材料力學中南大學土木工程學院27

由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。結構對稱、外力對稱時，剪力圖為反對稱，彎矩圖為正對稱。結構對稱、外力反對稱時，剪力圖為正對稱，彎矩圖為反對稱。由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小。FabClABMFSFSMabClABM材料力學中南大學土木工程學院28剪力圖形狀：位于軸線上最左端的小球在外力作用下升降或無外力作用下平行于軸線移動到軸線上最右端所形成的軌跡。簡支梁受簡單荷載作用下的彎矩圖形狀：柔性體在荷載作用下變形所形成的形狀。懸臂受簡單荷載作用下的彎矩圖形狀FlqlABFlABMlABM特別要指出的是：左右端面的內力等于相應的外力！即端面彎矩等于外力偶，若無外力偶作用，則端面彎矩為零！材料力學中南大學土木工程學院29三、剪力、彎矩與分布荷載間的關系對dx微段分析，由F=0dxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA剪力圖上某點切線的斜率等于該點處荷載集度的大小q(x)向上為正x坐標向右為正材料力學中南大學土木工程學院30彎矩圖上某點處切線的斜率等于該點剪力的大小。彎矩與荷載集度的關系是：q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA材料力學中南大學土木工程學院31

剪力、彎矩與分布荷載間的積分關系由微分關系積分得條件：x1>x2

，且x1到x2間無集中力作用。條件：x1>x2

，且x1到x2間無集中力偶作用。即用此式配合剪力圖面積可以跳躍式計算某截面的彎矩！x1到x2間剪力圖面積材料力學中南大學土木工程學院32二、剪力、彎矩與外力間的關系外力FS圖特征M圖特征無外力段q=0水平直線xFSFS>0FSFS<0x斜直線xM增函數xM減函數

集中力CFxFSCFS1FS2FS1–FS2=F自左向右突變自左向右折角xM折向與F反向集中力偶CMxFSC無變化自左向右突變MxM1M2曲線xM上凸均布荷載段斜直線增函數xFSxFS減函數xM下凸q>0q<0材料力學中南大學土木工程學院33剪力圖和彎矩圖的定性分析FSFFF1F3F4FFF1M1F3F4M2qqF5F5MM1M2材料力學中南大學土木工程學院34解:特殊點①端點；②分區(qū)點（外力變化點），即集中力（力偶）作用點，分布力開始和結束點等；③駐點(剪力為零，彎矩取極值)。四、作內力圖的簡捷方法利用內力和外力的關系及特殊點的內力值來作圖的方法。用簡捷作圖法畫圖示梁的內力圖。aaqaqA材料力學中南大學土木工程學院35；線形：根據及集中荷載點的規(guī)律確定。FSqa2Mqa2qaaaqaqA材料力學中南大學土木工程學院36解：求約束力M的駐點：3qa2/8用簡捷法畫簡支梁的內力圖。Dqqaqa2ABCaaaFAFDMqa2/2－+qa2/2qa2/2FSqa/2－+－qa/2qa/2材料力學中南大學土木工程學院37解：求約束力FS3(kN)4.2M(kN·m)3.81.413－+－3.82.22.1mE－++外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁內力圖。DABC1m1m4m3kN2kN/m6kN·mFAFB材料力學中南大學土木工程學院38畫出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力圖和彎矩圖1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/mM=5kN·mF=50kNMA

FAyFByMA=96.5kN，FAy=81kN，FBy=29kN813129FS圖(kN)1.45m96.515.53155345M圖(kN·m)材料力學中南大學土木工程學院39適用條件：所求參數（內力、應力、位移）必須與荷載滿足線性關系。即在彈性限度內滿足虎克定律。五、按疊加原理作彎矩圖1、疊加原理：

多個荷載同時作用于結構而引起的內力等于每個荷載單獨作用于結構而引起內力的代數和。材料力學中南大學土木工程學院402、材料力學構件小變形、線性范圍內必遵守此原理

——疊加方法步驟：①分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖；②將其相應的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。3、對稱性與反對稱性的應用

對稱結構在對稱荷載作用下，FS圖反對稱，M圖對稱；對稱結構在反對稱荷載作用下，FS圖對稱，M圖反對稱。材料力學中南大學土木工程學院41

=+FABqABM1=+M2+++M按疊加原理作圖示簡支梁的彎矩圖。qFABaa材料力學中南大學土木工程學院42+FlMFFlllFllFlll0.5FlM20.5Fl–+M10.5Fl+材料力學中南大學土木工程學院43M（1）選定外力的不連續(xù)點(如集中力、集中力偶的作用點，分布力的起點和終點等)為控制截面，求出控制截面的彎矩值。（2）分段畫彎矩圖。當控制截面之間無荷載時，該段彎矩圖是直線圖形。當控制截面之間有荷載時，用疊加法作該段的彎矩圖。利用內力圖的特性和彎矩圖疊加法，將梁彎矩圖的一般作法歸納如下：2FCl/2ABFl/2l/2材料力學中南大學土木工程學院44區(qū)段疊加法作彎矩圖

設簡支梁同時承受跨間荷載q與端部力偶MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部力偶作用下的直線彎矩圖與跨間荷載q單獨作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即BMBAqMAl注意：中間數值不一定是該段拋物線的極值！+MBMA+MBMAql2/8中間值+ql2/8材料力學中南大學土木工程學院45FS圖5qa/3qa/38a/34qa2/3M圖qa2/185qa2/3作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。B3aACMe=3qa2aq解：支座約束力為：FAFB材料力學中南大學土木工程學院4649qa2/325qa2/4改內力圖之錯。7qa/4FSM––++qa/4qa/43qa/4qa2/4qBAa2aaqa23qa2/2材料力學中南大學土木工程學院475kN1kNq=2kN/mM(kN·m)+111.25–已知FS圖，作外荷載圖及彎矩圖（梁上無集中力偶）。FS(kN)1m1m2m231++－材料力學中南大學土木工程學院48qlqqlq作圖示斜梁的彎矩圖彎矩方程為xx彎矩方程為0qlsinq均布荷載按水平尺寸計算材料力學中南大學土木工程學院49qlqqlqx彎矩方程為x彎矩方程為0qltanq均布荷載按桿軸線尺寸計算材料力學中南大學土木工程學院50條件：完全等價必須滿足q1lqx均布荷載按水平尺寸計算q2lqx均布荷載按桿軸線尺寸計算即材料力學中南大學土木工程學院511、平面剛架：同一平面內不同取向的桿件，通過桿端相互

剛性連接(變形后夾角不變)而組成的結構。特點：剛架各桿的內力通常有：FN、

FS

、M

。2、內力圖規(guī)定彎矩圖：畫在各桿的受拉一側，不注明正、負號。剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(通常正值畫在剛架的外側)，但須注明正、負號。§4.3平面剛架和曲桿的內力圖一、平面剛架3、內力圖畫法可將剛節(jié)點視為固定端，剛架由不同取向的懸臂梁組成。材料力學中南大學土木工程學院52F2+FS圖F1+–FN

圖F1F1aM圖F1aF1a+F2ll試作圖示剛架的內力圖。F1F2aABC材料力學中南大學土木工程學院532qaFN圖2qa2qaFS圖2qa26qa2M圖試作圖示剛架的內力圖。F=2qaBCA2aa2aDq材料力學中南大學土木工程學院54二、平面曲桿：軸線為一平面曲線的桿件。

內力情況及繪制方法與平面剛架相同。如圖所示，已知F及R

，試繪制M

、FS

、FN圖。OFRqmmx解：建立極坐標，O為極點，OB

極軸，q表示截面m–m的位置。AB材料力學中南大學土木工程學院55OFRqmmxABABOM圖OO+FS圖FN

圖2FRFF–+材料力學中南大學土木工程學院56qABFFlxxC起吊一根自重為q(N/m)的等截面梁。起吊點位置x應為多少才最合理？提示：使梁的最大正彎矩與最大負彎矩的絕對值相等。解：x為負值無意義取材料力學中南大學土木工程學院571、彎曲構件橫截面上的應力MFSFSt切應力t內力剪力FS彎矩M正應力sMs§4.4平面彎曲時梁橫截面上的正應力剪力是位于橫截面內的內力系的合力，而剪力只與切應力t有關。彎矩是垂直于橫截面的內力系的合力偶矩；彎矩M只與橫截面上的正應力s有關。材料力學中南大學土木工程學院58純某段梁的內力只有彎矩沒彎

有剪力時，該段梁的變形曲

稱為純彎曲，如AB段。MM橫力彎曲

某段梁的內力既有彎矩，又有剪力時，該段梁的變形稱為橫力彎曲，如AB以外段。

FFaaABFSMFFFa材料力學中南大學土木工程學院592、研究方法平面彎曲取縱向對稱面研究FAAFFB對稱軸縱對稱面FB

F縱向對稱面F材料力學中南大學土木工程學院601、梁的純彎曲實驗（一）變形幾何規(guī)律一、純彎曲時梁橫截面

上的正應力中性層縱向對稱面中性軸ababMeMe

橫向線(ab、ab）變形后仍為直線，但有轉動；縱向線變?yōu)榍€，且上面壓縮，下面伸長；各縱向線間距不變。橫向線與縱向線變形后仍正交。bbaa材料力學中南大學土木工程學院612、兩個概念中性層：梁內一層縱向線段既不伸長也不縮短，因而縱向線段不受正應力作用，此層縱向線段構成中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層縱向對稱面中性軸意中性層將梁分成兩個上下區(qū)域：凹側縱向線段受壓縮短，凸側縱向線段受拉伸長。而中性軸上的正應義力為零。義彎曲變形可看作是橫截面繞自己的中性軸轉動。材料力學中南大學土木工程學院623、推論平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉動，與中性層平行平面的各縱向線段變形相等。橫截面上只有正應力。

y

軸——縱對稱軸

z

軸——中性軸

yy坐標相同的點所在縱向線段變形相同，因而應力相同，所以

s

x=s(y)橫截面

yz材料力學中南大學土木工程學院634、幾何方程b1MMmmnnaabbr——中性層的曲率半徑CbbryO1O2dqdxmmnn放大中性層縱向線段變性前后長度不變變性后長度mabmanbndx材料力學中南大學土木工程學院64（二）物理關系假設：各縱向線段之間的距離不變，因而縱向線段互不擠壓，即沒有垂直于軸線的正應力。于是，任意一點均處于單向應力狀態(tài)。sxsx即橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。stmax

Mscmax材料力學中南大學土木工程學院65（三）靜力學關系對稱彎曲時y軸為對稱軸，此條件自動滿足。有以上分析可知，y、z軸為形心主慣性軸！得Sz=0，即中性軸z必過截面形心，所以中性軸一定是形心軸。zOyzdAsdAyx材料力學中南大學土木工程學院66得這是純彎梁變形時中性層曲率的表達式。其中EIz稱為梁的抗彎剛度。代入上式zOyzdAsdAyx材料力學中南大學土木工程學院67

彎曲正應力計算公式

彎曲正應力沿截面高度線性分布，中性軸上為零，距中性軸越遠，數值越大。橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。smax

M材料力學中南大學土木工程學院68當中性軸

z不是橫截面的對稱軸時Ozyyt,maxyc,max材料力學中南大學土木工程學院69

當中性軸

z為橫截面的對稱軸時稱為抗彎截面系數(模量)，單位：m3或mm3。中性軸為對稱軸時才有，中性軸不是對稱軸時不存在。根據變形來判斷最大拉壓應力，其數值相等。smax

Mzybhyzd材料力學中南大學土木工程學院70簡單截面的抗彎截面系數⑴矩形截面zybh⑵圓形截面yzd材料力學中南大學土木工程學院71(4)型鋼截面：參見型鋼表式中⑶空心圓截面DOdyz材料力學中南大學土木工程學院72橫力彎曲時：①由于切應力的存在使梁的橫截面發(fā)生翹曲；②橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。二、橫力彎曲時梁橫截面上的正應力1、橫力彎曲變形特點2、橫力彎曲時的正應力Fq

采用純彎曲正應力公式，當梁的跨高比l/h≥5時，誤差d<1%，因此，對細長梁，無論純彎曲還是橫力彎曲，橫截面上的正應力都可用下式計算：材料力學中南大學土木工程學院73

解：1、作彎矩圖如上M圖375KN·m2、查型鋼表得56號工字鋼圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處的正應力sa

。B5m10mAFC12.521166560za材料力學中南大學土木工程學院743、求正應力為12.521166560za材料力學中南大學土木工程學院75解：1、確定截面形心位置選參考坐標系yoz'如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標為:如圖所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F=15kN作用。試計算截面B—B的最大拉應力與最大壓應力。400BBF2012020120IIIz'CzyyCO材料力學中南大學土木工程學院762、計算截面慣性矩3、計算最大彎曲正應力截面B—B的彎矩為MB=6kNm

在截面B的上、下邊緣，分別作用有最大拉應力和最大壓應力，其值分別為：2012020120IIIz'CzyyCO材料力學中南大學土木工程學院771、兩點假設

①切應力與剪力平行；

②與中性軸等距離處，

切應力相等。2、研究方法：分離體平衡。

①在梁上取微段如圖1；dxxFS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dx圖1圖2xyzFN2t1tbFN1②在微段上取一塊如圖2，平衡§4.5梁橫截面上的切應力一、矩形截面梁橫截面上的切應力材料力學中南大學土木工程學院78由切應力互等定理其中Sz*

為y點以下的面積對中性軸之靜矩；M(x)+dM(x)dxxFS(x)+dFS(x)M(x)FS(x)dx圖1圖2xyzFN2t1tbFN1材料力學中南大學土木工程學院79

FS

——整個橫截面的剪力

Sz﹡——計算點外側面積A﹡對中性軸的靜矩Iz——整個截面對中性軸的形心主慣性矩

b——計算點處截面有效寬度

yFSyzhbtA﹡箱形截面有效寬度b=2dddB材料力學中南大學土木工程學院80（上、下邊緣）t

=0y=0（中性軸）∴3、矩形截面切應力的分布hzyybtt

沿截面高度按拋物線規(guī)律分布tmaxzyOtmax材料力學中南大學土木工程學院811、腹板上的切應力二、工字形截面梁ydhzOdbtys

dAzyOA*dxtt'x材料力學中南大學土木工程學院82腹板與翼緣交界處Sz*最小，切應力取最小值中性軸處Sz*最大，切應力取最大值tmaxtmintmaxzyO材料力學中南大學土木工程學院832、翼緣上的切應力①因為翼緣的上、下表面無切應力，所以翼緣上、下邊緣處平行于y軸的切應力為零。(1)平行于y軸的切應力可見翼緣上平行于y軸的切應力很小，工程上一般不考慮。②計算表明，工字形截面梁的腹板承擔的剪力ydhzOdbty材料力學中南大學土木工程學院84dht1t1'dxA*(2)垂直于y軸的切應力ydhzOdbt1y材料力學中南大學土木工程學院85即翼緣上垂直于y軸的切應力隨按線性規(guī)律變化。

且通過類似的推導可以得知，薄壁工字剛梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應力指向構成了“切應力流”。tmaxzyOtmaxtmint1max材料力學中南大學土木工程學院86三、圓截面梁關于其切應力分布的假設：1、離中性軸為任意距離y的水平直線段上各點處的切應力匯交于一點；2、這些切應力沿y方向的分量ty沿寬度相等。切應力的分布特征：邊緣各點切應力的方向與圓周相切；切應力分布與y軸對稱；與y軸相交各點處的切應力其方向與y軸一致。zyOtmaxkk'O'd材料力學中南大學土木工程學院87最大切應力tmax

在中性軸z處yzOC2d/3pzyOtmaxkk'O'd材料力學中南大學土木工程學院88四、薄壁圓環(huán)形截面中性軸上各點：t∥FS，均勻分布t

maxyzO總結以上截面，其最大切應力為矩形截面實心圓截面空心圓環(huán)截面材料力學中南大學土木工程學院891、危險面與危險點分析①一般截面，最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大切應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。sst一、梁的正應力和切應力強度條件§4.4～§4.5梁的抗彎強度條件sMFSt材料力學中南大學土木工程學院902、正應力和切應力強度條件②帶翼緣的薄壁截面，最大正應力與最大切應力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在FS

和M均很大的截面的腹板和翼緣相交處。（以后講）正應力強度條件sMFSttsts中性軸為橫截面對稱軸的等直梁材料力學中南大學土木工程學院91為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為拉、壓強度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyyt,maxyc,max材料力學中南大學土木工程學院92切應力強度條件一般講，梁的強度主要考慮正應力，但在下列情況下，也校核切應力強度。①

梁跨度較小，或支座附近有較大荷載；②

T形、工字形等薄壁截面梁；③

焊接、鉚接、膠合而成的梁，要對焊縫、膠合面等進行剪切強度計算。材料力學中南大學土木工程學院93①校核強度②設計截面尺寸③確定許可荷載3、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：確定截面尺寸設計截面時驗證材料力學中南大學土木工程學院94解：畫內力圖求危險面內力如圖矩形截面(bh=0.12m0.18m)

木梁，[]=7MPa，[]=0.9MPa，求最大正應

力和最大切應力之比，并校核梁的強度。Bq=3.6kN/mAl=3m求最大應力并校核強度應力之比MFS－++材料力學中南大學土木工程學院952.54M(kNm)+－T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的許用應力分別為[st

]=30MPa，[sc

]=60MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4

，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？BA1m1m1mF1=9kNF2=4kNDEy1Cy2A1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危險面內力下拉，上壓下壓，上拉畫危險面應力分布圖，找危險點材料力學中南大學土木工程學院962.54M(kNm)+－y1Cy2A1A2A3A4校核強度T字頭在上面合理。

若改成右圖放置，不合理。y2Cy1A3A4材料力學中南大學土木工程學院97解：約束力為1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_內力圖及截面內力圖示T形梁，已知[sc]

=100MPa，[st]

=50MPa，[t]=40MPa，yC=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1、D左側截面E點的正應力和切應力；2、校核梁的正應力、切應力強度條件。AB1kN1kN/mD1m1m1mC40401010yCEz材料力學中南大學土木工程學院98該梁滿足強度要求C40401010yCEz1FS(kN)0.250.75_+M(kN.m)0.25+_0.5BD材料力學中南大學土木工程學院99解：根據截面最為合理的要求因為跨長l=2m的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應力[st]=30MPa，許用壓應力[sc]=90MPa。試根據截面最為合理的要求，確定T形梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強度。1m1mBAF=80kNDy2z60220y280Cy1d材料力學中南大學土木工程學院100求得整個T型截面對中性軸的慣性矩為梁上的最大彎矩于是最大壓應力為即梁滿足強度要求。Csc,maxst,maxz為何不進行拉應力強度校核？y2z60220y280Cy1d=24材料力學中南大學土木工程學院101

解：1、梁的約束力為Fb/2Fb/4發(fā)生在截面B發(fā)生在截面D圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b=2m，鑄鐵的許用拉應力[st]=30MPa，許用壓應力[sc]=90MPa。截面對中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4，

求梁的許可荷載[F]。BF

Ebq=F/bDbbAzyC86134401801202020FBFA

材料力學中南大學土木工程學院1022、計算最大拉、壓正應力可見壓應力強度條件由D截面控制，拉應力強度條件則B、D截面都要考慮。B截面壓應力拉應力拉應力D截面壓應力考慮截面BFb/2Fb/4BDzyC86134401801202020材料力學中南大學土木工程學院103考慮截面D因此梁的強度由截面D上的最大拉應力控制Fb/2Fb/4BDzyC86134401801202020材料力學中南大學土木工程學院104ql2FS

ql28l/2M

解：

1、內力圖及最大彎矩、最大剪力跨度l=4m的箱形截面簡支梁，沿全長受均布荷載q作用，該梁是用四塊木板膠合而成如圖所示。已知材料為紅松，許用正應力[s]=10MPa，許用切應力[t]=1MPa，膠合縫的許用切應力[t']=0.5MPa。試求該梁的容許荷載集度q的值。ABlqyz2010010018024020C4545材料力學中南大學土木工程學院1052、由正應力確定許可荷載3、校核切應力強度條件yz2010010018024020C4545材料力學中南大學土木工程學院106切應力強度條件滿足，所以容許荷載集度[q]=6kN/m。yz2010010018024020C4545材料力學中南大學土木工程學院107用兩根鋼軌鉚接成組合梁,其連接情況如圖所示。每根鋼軌的橫截面面積A=8000mm2，形心距底邊高度c=80mm，每一鋼軌橫截面對其自身