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文檔簡介
第二章一維隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)2.2一維離散型隨機(jī)變量2.3一維連續(xù)型隨機(jī)變量2.4一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.1隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)2.1.1隨機(jī)變量的概念2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)
定義
稱定義在樣本空間Ω上的實(shí)函數(shù)X=X(ω),ω∈Ω,是隨機(jī)變量,如對(duì)任意實(shí)數(shù)x,集合{ω∣X(ω)≤x}都是一隨機(jī)事件。
注:一般X(ω)簡單記為X,
{ω∣X(ω)≤
x}
記為{X≤
x}
隨機(jī)變量的概念分布函數(shù)
設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù),函數(shù)F(x)=P{ω∣X(ω)≤
x}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),記作FX(x)或F(x)。X的分布函數(shù)也常簡記為FX(x)=P{X≤x}2.1.2一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)
任一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),x∈(-∞,+∞),具有下列性質(zhì):(2)若x1<x2,則F(x1)≤F(x2)根據(jù)概率的性質(zhì),得P{X<x2}≥P{X<x1}
即F(x2)≥F(x1)證明:
若x1<x2,則有(1)0≤F(x)≤1
如某實(shí)函數(shù)具有上述3個(gè)性質(zhì),則它可作為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)(2)0≤F(x)≤1,且(3)右連續(xù)性對(duì)任意實(shí)數(shù)x0,有離散型隨機(jī)變量
如隨機(jī)變量的取值只有有限個(gè)或可列多個(gè)(可數(shù)),則稱它為離散型隨機(jī)變量。2.2一維離散型隨機(jī)變量
設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的全部取值為x1,x2,…xn,…,且P(X=xi)=pi,i=1,2,…則稱上式為X的概率分布律。也可寫作:離散型隨機(jī)變量的分布列稱為ξ的分布列X~或分布律的性質(zhì)
非負(fù)性
規(guī)范性二項(xiàng)概率公式
設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)次數(shù)ξ的分布律為2.2.1二項(xiàng)分布
隨機(jī)變量X所服從的分布稱為二項(xiàng)分布。以X~B(n,p)表示。若X~B(n,p),則有下式成立:1)2)3)定理1例1
已知發(fā)射一枚地對(duì)空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機(jī)的概率是0.96,問在同樣條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中敵機(jī)的概率大于0.999?解設(shè)需要發(fā)射n枚導(dǎo)彈,則擊中敵機(jī)的導(dǎo)彈數(shù)是隨機(jī)變量X~B(n,0.96) 由題意有P(X≥1)=1-(1-0.96)n>0.999
故n>lg0.001/lg0.04=2.15
取n=3,即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。
定理2設(shè)X~B(n,p),令k0=Int[(n+1)p]則k=k0時(shí),b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù),則b(k0;n,p)=b(k0-1;n,p)證明:例魚塘中魚的條數(shù)。先從塘中網(wǎng)起100條魚做上記號(hào)后放回塘里,過一段時(shí)間(使其均勻)再從中網(wǎng)起80條,發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)者為2條,求魚的總數(shù)N。
解
設(shè)有記號(hào)的魚的條數(shù)為ξ,則ξ服從二項(xiàng)分布B(80,100/N)。
由定理,撈起的魚最有可能是Int((n+1)p)條, 因此(80+1)×100/N=2
由此解得N=4050(條)
若離散型隨機(jī)變量X的分布律為
其中λ>0是常數(shù),則稱X服從泊松分布。 記為X~P(λ)
,λ稱為參數(shù)。2.2.2泊松分布
因?yàn)棣?gt;0,故有P(X=k)>0。(k=0,1,2,…)即泊松分布的分布律,具備概率函數(shù)兩性質(zhì)。在任給一段固定的時(shí)間間隔內(nèi),來到公共設(shè)施(公共汽車站、商店、電話交換臺(tái)等)要求給予服務(wù)的顧客個(gè)數(shù);炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個(gè)數(shù);落在顯微鏡片上的某種細(xì)菌個(gè)數(shù)在實(shí)際問題中,有很多隨機(jī)變量都近似服從泊松分布。例如:由定理知:泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布
設(shè)隨機(jī)變量Xn服從二項(xiàng)分布B(n,pn)(n=1,2,…),其中概率pn與n有關(guān),并且滿足泊松定理證明:
其中k為一個(gè)定數(shù)。
對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)k,有
故得
在應(yīng)用中,當(dāng)n很大(n≥10),p很小(≤0.1),我們有下面的泊松近似公式其中λ=np
例
設(shè)有同類設(shè)備80臺(tái),各臺(tái)工作相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,并且一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理,試求(1)一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備時(shí),設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率;(2)由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備時(shí),設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。
解:
(1)設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)。 在同一時(shí)刻至少有2臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障,便不能及時(shí)處理。
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2),則有(2)設(shè)Y表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù),則
Y~B(80,0.01)。 當(dāng)同一時(shí)刻至少有4臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí),就不能及時(shí)維修。 用泊松近似公式(λ=np=80×0.01=0.8),得
計(jì)算結(jié)果表明,由三人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái),每人平均約維修27臺(tái),比一個(gè)單獨(dú)維修20臺(tái)更好,既節(jié)約了人力又提高了工作效率。2.2.3幾何分布
在“成功”概率是p的貝努利試驗(yàn)中,若以X記首次出現(xiàn)“成功”的試驗(yàn)次數(shù)。則X所服從的分布便是幾何分布。顯然
例6
一個(gè)人要開門,他共有n把鑰匙,其中僅有一把是能開此門的,現(xiàn)隨機(jī)地從中取出一把鑰匙來試開門,在試開時(shí)每一把鑰匙均以1/n的概率被取用,問此人直到第S次試開時(shí)方才成功的概率是多少?
解A={試開門成功}定義2.3.1
設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),若存在非負(fù)函數(shù)f(x),使得對(duì)一切實(shí)數(shù)x,關(guān)系式都成立,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x)稱為X的密度函數(shù)??梢宰C明,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。2.3一維連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)定理
密度函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì):(1)(2)(3)
證明(1)由定義知f(x)≥0顯然。(2)由分布函數(shù)性質(zhì)知,由廣義積分概念與定義知,常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù),(3)對(duì)任意類型的隨機(jī)變量均成立bxf(x)a2.3.1均勻分布
設(shè)a、b為有限數(shù),且a<b。如果隨機(jī)變量X分布密度為則稱ξ在[a,b]上服從均勻分布,記作U(a,b)均勻分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)為:2.3.2指數(shù)分布若隨機(jī)變量X具有分布密度為則稱ξ服從參數(shù)為a的指數(shù)分布,容易求得它的分布函數(shù)為若X~E(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實(shí)上命題其中μ、σ>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為μ、σ的正態(tài)分布,簡記為X~N(μ,σ2)。2.3.3正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的分布密度固定時(shí),σ的值越小,f(x)的圖形就愈尖、越狹。σ的值越大,f(x)的圖形就愈平、越寬。X的分布函數(shù)為
特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其概率密度及分布函數(shù)常記為:如X~N(μ,σ2),有證明:證明:
例2.3.4
設(shè)已知測量誤差X~N(0,102
),現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行100次測量,求誤差絕對(duì)值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率。解:第一步:以A表示一次測量中“誤差絕對(duì)值超過19.6”的事件,則有第二步:以Y表示100次獨(dú)立重復(fù)測量中,事件A發(fā)生的次數(shù),則η~B(100,0.05),所求概率是
P(Y≥3)=1-P(Y<3)
第三步:由于n=100較大而p=0.05很小,故二項(xiàng)分布可用λ=np=5的泊松分布近似代替,查泊松分布表可得
例2.3.5
公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的,設(shè)男子身高X服從μ=170cm、σ=6cm的正態(tài)分布,即X~N(170,62
),試確定車門的高度。解:設(shè)車門的高度為hcm,根據(jù)設(shè)計(jì)要求應(yīng)有
(補(bǔ)充)例:從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走,第一條穿過市區(qū),路程較短,但交通擁擠,所需時(shí)間(單位分鐘)服從正態(tài)分布N(50,100),第二條沿環(huán)城公路走,路線較長,但意外堵塞較少,所需時(shí)間(單位分鐘)服從正態(tài)分布N(60,16),(1)如有70分鐘可用,問應(yīng)走哪一條路線?(2)如只有65分鐘可用,問應(yīng)走哪一條路線?解:
如X是隨機(jī)變量,在y=g(x)連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)時(shí),則Y=g(X)也是隨機(jī)變量。2.4一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布方法
將與Y有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X的事件求隨機(jī)因變量Y=g(X)的密度函數(shù)或分布律問題
已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)或分布律?設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為由已知函數(shù)g(x)可求出隨機(jī)變量Y的所有可能取值,則Y的概率分布為離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
例2.4.1
設(shè)X的分布律為X-2-1012P0.150.20.20.20.25解P0.150.20.20.20.25X-2-1012410142X-1-5-3-11332123
將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得P0.150.20.20.20.25X-2-1012410142X-1-5-3-11332123
將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得0.40.40.2P410
X20.2530.210.20.20.15P-1-3-52X-1P0.150.20.20.20.25X-2-1012410142X-1-5-3-11332123
將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得0.40.40.2P321︱X︱+1已知X的密度函數(shù)f(x)或分布函數(shù)求Y=g(X)的密度函數(shù)方法:(1)從分布函數(shù)出發(fā)(2)用公式直接求密度函數(shù)
連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2
設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布密度fX(x),試求Y=aX+b(其中a,b是常數(shù),并且a≠0)的分布密度fY(y)。解:例
設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),求 的分布密度fY(y)。解:例2.4.2
已知
X
~N(0,1),Y=X
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