章特征值與特征向量

1§5.1

基本概念與計(jì)算§5.3n維向量空間的正交化§5.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第五章特征值與特征向量§5.2矩陣的相似對(duì)角化2一、特征值與特征向量的定義三、特征值與特征向量的計(jì)算§5.1基本概念與計(jì)算二、特征值與特征向量的性質(zhì)3一、特征值與特征向量的定義例

矩陣4定義設(shè)A是n階方陣，成立，

是方陣A的一個(gè)特征值，

是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量.若數(shù)和n維非零列向量

，使得例

則稱5定義設(shè)A是n階方陣，成立，

是方陣A的一個(gè)特征值，

是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量.若數(shù)和n維非零列向量

，使得則稱說(shuō)明2.特征值與特征向量是成對(duì)出現(xiàn)的6二、性質(zhì)推廣k為非0數(shù)7特征子空間8三、特征值與特征向量的計(jì)算9稱為矩陣A的特征方程,定義數(shù)是關(guān)于的一個(gè)n次多項(xiàng)式，稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式,特征方程的根稱為特征值，或特征根。10求特征值、特征向量的步驟：(2)求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系即可求出特征值;11解例(2次多項(xiàng)式)12基礎(chǔ)解系13基礎(chǔ)解系14解設(shè)求A的特征值與特征向量．例15特征值為：(2稱為二重根)(-7稱為單根)(3次多項(xiàng)式)16基礎(chǔ)解系特征值為：1718基礎(chǔ)解系19解

求A的特征值與特征向量．練一練20(1是三重根)(4次多項(xiàng)式)2122232425求矩陣的特征值.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為對(duì)角矩陣、上(下)三角形矩陣的特征值為其主對(duì)角元練一練26特殊矩陣2.數(shù)量矩陣kI,所以k是（且僅是）kI的特征值，任意非0向量是對(duì)應(yīng)的特征向量。3.單位矩陣I,1是（且僅是）I的特征值，1.零矩陣O,所以0是（且僅是）O的特征值，任意非0向量是對(duì)應(yīng)的特征向量。任意非0向量是對(duì)應(yīng)的特征向量。27所以0是不可逆矩陣的特征值。而0不是可逆矩陣的特征值。4.不可逆矩陣A,5.可逆矩陣A,28例

設(shè)矩陣A可逆,且

解29解

練一練30例31結(jié)論32例解33解練一練3435設(shè)

A2=A,證明：A

的特征值為0或1.證例36設(shè)

A2=A,證明：0或1的為A特征值.證A

的特征值為0或1.例37設(shè)A是奇數(shù)階實(shí)矩陣，證練一練38

1.特征值的重?cái)?shù)與其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)的關(guān)系:下面結(jié)論不證,知道結(jié)論即可392.

設(shè)n階方陣的n個(gè)特征值為

則主對(duì)角元素之和注

A可逆的條件:稱為矩陣A的跡.

40設(shè)A為3階方陣,A的特征值分別為-1、4、2,求例

解

41小結(jié)1.特征值與特征向量的定義2.特征值與特征向量的求法3.特征值與特征向量的性質(zhì)4.特征值與A的關(guān)系42作業(yè)P1771(2)(4)(6),8,1143想一想44設(shè)

求A的特征值與特征向量.解練一練4546