初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章勾股定理1勾股定理 全國一等獎

勾股定理一、選擇題（共10小題）1．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（）A．5 B．6 C．7 D．252．將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（）A．140° B．160° C．170° D．150°3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，則BC的長為（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+14．如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．120° B．90° C．60° D．30°6．如圖，矩形紙片ABCD中，點E是AD的中點，且AE=1，BE的垂直平分線MN恰好過點C．則矩形的一邊AB的長度為（）A．1 B． C． D．27．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE是BC的垂直平分線，點E是垂足．已知DC=8，AD=4，則圖中長為4的線段有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條8．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P是BC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則PD+PE的長是（）A． B．或3.8 C． D．59．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長為（）A．2 B． C．2 D．10．在邊長為正整數(shù)的△ABC中，AB=AC，且AB邊上的中線CD將△ABC的周長分為1：2的兩部分，則△ABC面積的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（共15小題）11．如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為．12．在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為cm2．13．如圖，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為．14．正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點．若△PBE是等腰三角形，則腰長為．15．如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，取BE的中點F，連接DF，DF=4．設(shè)AB=x，AD=y，則x2+（y﹣4）2的值為．16．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于．17．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是cm．18．已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為．19．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，則△ABC的周長等于cm．20．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，連接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，則AB=cm．21．如圖，點D在△ABC的邊BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，則線段AC的長為．22．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，則AD的長為．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是．24．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C（0，6）和點O（0，0），與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右側(cè)圓弧上一點，則cos∠OBC的值為．25．如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC，CE交AB于點E，交AD于點F．若BC=2，則EF的長為．三、解答題26．如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的長；（2）在△ABC中，求BC邊上高的長．27．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，連接BD．請畫出圖形，并直接寫出△BCD的面積．28．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．29．如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：sin2A1+sin2B1=；sin2A2+sin2B2=；sin2A3+sin2B3（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．30．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若=，求cos∠ABC的值．

勾股定理參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題）1．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（）A．5 B．6 C．7 D．25【考點】勾股定理．【專題】網(wǎng)格型．【分析】建立格點三角形，利用勾股定理求解AB的長度即可．【解答】解：如圖所示：AB==5．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握格點三角形中勾股定理的應(yīng)用．2．將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（）A．140° B．160° C．170° D．150°【考點】直角三角形的性質(zhì)．【分析】利用直角三角形的性質(zhì)以及互余的關(guān)系，進(jìn)而得出∠COA的度數(shù)，即可得出答案．【解答】解：∵將一副直角三角尺如圖放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故選：B．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，得出∠COA的度數(shù)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，則BC的長為（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判斷出DB=DA，根據(jù)勾股定理求出DC的長，從而求出BC的長．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，在Rt△ADC中，DC===1；∴BC=+1．故選D．【點評】本題主要考查了勾股定理，同時涉及三角形外角的性質(zhì)，二者結(jié)合，是一道好題．4．如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考點】直角三角形的性質(zhì)．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答．【解答】解：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故選：C．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．120° B．90° C．60° D．30°【考點】直角三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【解答】解：∵直角三角形中，一個銳角等于60°，∴另一個銳角的度數(shù)=90°﹣60°=30°．故選：D．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，矩形紙片ABCD中，點E是AD的中點，且AE=1，BE的垂直平分線MN恰好過點C．則矩形的一邊AB的長度為（）A．1 B． C． D．2【考點】勾股定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】本題要依靠輔助線的幫助，連接CE，首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明BC=EC．求出EC后根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，連接EC．∵FC垂直平分BE，∴BC=EC（線段垂直平分線的性質(zhì)）又∵點E是AD的中點，AE=1，AD=BC，故EC=2，利用勾股定理可得AB=CD==．故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是要畫出輔助線，證明BC=EC后易求解．本題難度中等．7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE是BC的垂直平分線，點E是垂足．已知DC=8，AD=4，則圖中長為4的線段有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【考點】勾股定理；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=EC，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AB=BE，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵∠BAC=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE是BC的垂直平分線，點E是垂足，∴AD=DE=4，BE=EC，∵DC=8，AD=4，∴BE=EC=4，在△ABD和△EBD中，∴△ABD≌△EBD（AAS），∴AB=BE=4，∴圖中長為4的線段有3條．故選：B．【點評】此題主要考查了勾股定理以及角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出BE=AB是解題關(guān)鍵．8．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P是BC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則PD+PE的長是（）A． B．或3.8 C． D．5【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】動點型．【分析】過A點作AF⊥BC于F，連結(jié)AP，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理可得AF的長，由圖形得SABC=SABP+SACP，代入數(shù)值，解答出即可．【解答】解：過A點作AF⊥BC于F，連結(jié)AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=．故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答時注意，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長為（）A．2 B． C．2 D．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠GAD=∠GDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CGD=2∠GAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得∠ACD=∠CGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DG，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵點G為AF的中點，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故選：C．【點評】綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是證明CD=DG=3．10．在邊長為正整數(shù)的△ABC中，AB=AC，且AB邊上的中線CD將△ABC的周長分為1：2的兩部分，則△ABC面積的最小值為（）A． B． C． D．【考點】勾股定理；三角形的面積；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】設(shè)這個等腰三角形的腰為x，底為y，分為的兩部分邊長分別為n和2n，再根據(jù)題意列出關(guān)于x、n、y的方程組，用n表示出x、y的值，由三角形的三邊關(guān)系舍去不符合條件的x、y的值，由n是正整數(shù)求出△ABC面積的最小值即可．【解答】解：設(shè)這個等腰三角形的腰為x，底為y，分為的兩部分邊長分別為n和2n，得或，解得或，∵2×＜（此時不能構(gòu)成三角形，舍去）∴取，其中n是3的倍數(shù)∴三角形的面積S△=××=n2，對于S△=n2=n2，當(dāng)n＞0時，S△隨著n的增大而增大，故當(dāng)n=3時，S△=取最?。蔬x：C．【點評】本題考查的是三角形的面積及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出關(guān)于x、n、y的方程組是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（共15小題）11．（2015?南昌）如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為2或2或2．【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】利用分類討論，當(dāng)∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當(dāng)∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)∠APB=90°時（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB?sin60°=4×=2；當(dāng)∠ABP=90°時（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=2，故答案為：2或2或2．【點評】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．12．在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為126或66cm2【考點】勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】此題分兩種情況：∠B為銳角或∠B為鈍角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的長，利用三角形的面積公式得結(jié)果．【解答】解：當(dāng)∠B為銳角時（如圖1），在Rt△ABD中，BD===5cm，在Rt△ADC中，CD===16cm，∴BC=21，∴S△ABC==×21×12=126cm2；當(dāng)∠B為鈍角時（如圖2），在Rt△ABD中，BD===5cm，在Rt△ADC中，CD===16cm，∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，∴S△ABC==×11×12=66cm2，故答案為：126或66．【點評】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為8cm2或2cm2或2cm2．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分三種情況進(jìn)行討論：（1）△AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；（3）先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解．【解答】解：分三種情況計算：（1）當(dāng)AE=AF=4時，如圖：∴S△AEF=AE?AF=×4×4=8（cm2）；（2）當(dāng)AE=EF=4時，如圖：則BE=5﹣4=1，BF===，∴S△AEF=?AE?BF=×4×=2（cm2）；（3）當(dāng)AE=EF=4時，如圖：則DE=7﹣4=3，DF===，∴S△AEF=AE?DF=×4×=2（cm2）；故答案為：8或2或2．【點評】本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運用，要根據(jù)三角形的腰長的不確定分情況討論，有一定的難度．14．正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點．若△PBE是等腰三角形，則腰長為2，或，或．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】分情況討論：（1）當(dāng)PB為腰時，若P為頂點，則E點和C點重合，求出PB長度即可；若B為頂點，則E點為CD中點；（2）當(dāng)PB為底時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；①由題意得出BM=BP=，證明△BME∽△BAP，得出比例式，即可求出BE；②設(shè)CE=x，則DE=4﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．【解答】解：分情況討論：（1）當(dāng)PB為腰時，若P為頂點，則E點與C點重合，如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，∵P是AD的中點，∴AP=DP=2，根據(jù)勾股定理得：BP===2；若B為頂點，則根據(jù)PB=BE′得，E′為CD中點，此時腰長PB=2；（2）當(dāng)PB為底邊時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；①當(dāng)E在AB上時，如圖2所示：則BM=BP=，∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP，∴△BME∽△BAP，∴，即，∴BE=；②當(dāng)E在CD上時，如圖3所示：設(shè)CE=x，則DE=4﹣x，根據(jù)勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2，∴42+x2=22+（4﹣x）2，解得：x=，∴CE=，∴BE===；綜上所述：腰長為：2，或，或；故答案為：2，或，或．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．15．（2015?蘇州）如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，取BE的中點F，連接DF，DF=4．設(shè)AB=x，AD=y，則x2+（y﹣4）2的值為16．【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；矩形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角△BDE的斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：BF=DF=EF=4，則在直角△DCF中，利用勾股定理求得x2+（y﹣4）2=DF2．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°．又∵BD⊥DE，點F是BE的中點，DF=4，∴BF=DF=EF=4．∴CF=4﹣BC=4﹣y．∴在直角△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（4﹣y）2=42=16，∴x2+（y﹣4）2=x2+（4﹣y）2=16．故答案是：16．【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線以及矩形的性質(zhì)．根據(jù)“直角△BDE的斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得BF的長度是解題的突破口．16．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于8．【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【專題】計算題．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可．【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長度是解題的難點．17．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是8c【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長度．【解答】解：如圖，AD是BC邊上的高線．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．故答案是：8．【點評】本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理．等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形．18．已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為5或．【考點】勾股定理．【專題】分類討論．【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①3是直角邊，4是斜邊；②3、4均為直角邊；可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長．【解答】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：=；②長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為：=5；綜上，第三邊的長為：5或．故答案為：5或．【點評】此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類討論，以免漏解．19．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，則△ABC的周長等于12cm．【考點】勾股定理；三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據(jù)三角形的面積求得=，根據(jù)勾股定理求得AB2=BC2+36，依據(jù)這兩個式子求出AB、BC的值，即可求得周長．【解答】解：∵AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的高，∴AB?CE=BC?AD，∵AD=6，CE=8，∴=，∴=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB2﹣BD2=AD2，∴AB2=BC2+36，∴=，整理得；BC2=，解得：BC=，∴AB=×BC=×=，∴△ABC的周長=2AB+BC=2×+=12．故答案為：12．【點評】本題考查了三角形的面積以及勾股定理的應(yīng)用，找出AB與BC的數(shù)量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．20．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，連接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，則AB=8c【考點】勾股定理；直角梯形．【專題】計算題．【分析】首先過點D作DE⊥AB于點E，易得四邊形BCDE是矩形，則可由勾股定理求得AE的長，易得△ACD是等腰三角形，則可求得CD與BE的長，繼而求得答案．【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴四邊形BCDE是矩形，∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，∴AE==3（cm），∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=AD=5cm，∴BE=5cm，∴AB=AE+BE=8cm．故答案為：8．【點評】此題考查了梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．如圖，點D在△ABC的邊BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，則線段AC的長為4．【考點】勾股定理；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】作∠DAE=∠BAD交BC于E，作AF⊥BC交BC于F，作AG⊥BC交BC于G．根據(jù)三角函數(shù)設(shè)DF=4x，則AF=7x，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得到DF=4，AF=7，設(shè)EF=y，則CE=7+y，則DE=6﹣y，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理得到DE=，AE=，設(shè)DG=z，則EG=﹣z，則（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，依此可得CG=12，在Rt△ADG中，據(jù)勾股定理得到AG=8，在Rt△ACG中，據(jù)勾股定理得到AC=4．【解答】解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．∵∠C+∠BAD=∠DAC，∴∠CAE=∠ACB，∴AE=EC，∵tan∠BAD=，∴設(shè)DF=4x，則AF=7x，在Rt△ADF中，AD2=DF2+AF2，即（）2=（4x）2+（7x）2，解得x1=﹣1（不合題意舍去），x2=1，∴DF=4，AF=7，設(shè)EF=y，則CE=7+y，則DE=6﹣y，在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即（6﹣y）2=42+y2，解得y=，∴DE=6﹣y=，AE=，∴設(shè)DG=z，則EG=﹣z，則（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，解得z=1，∴CG=12，在Rt△ADG中，AG==8，在Rt△ACG中，AC==4．故答案為：4．【點評】考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得到AG和CG的長．22．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，則AD的長為．【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)DE垂直平分AC得出OA的長，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，∵DE垂直平分AC，垂足為O，∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD=．故答案為：．【點評】本題考查的是勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是﹣1．【考點】勾股定理；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；等腰直角三角形．【分析】找到BC的中點E，連接AE，交半圓于P2，在半圓上取P1，連接AP1，EP1，可見，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長，然后減掉半徑即可．【解答】解：找到BC的中點E，連接AE，交半圓于P2，在半圓上取P1，連接AP1，EP1，可見，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE==，P2E=1，∴AP2=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了勾股定理、最短路徑問題，利用兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．24．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C（0，6）和點O（0，0），與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右側(cè)圓弧上一點，則cos∠OBC的值為．【考點】勾股定理；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】連接CD，易得CD是直徑，在直角△OCD中運用勾股定理求出OD的長，得出cos∠ODC的值，又由圓周角定理，即可求得cos∠OBC的值．【解答】解：連接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直徑，即CD=10，∵點C（0，6），∴OC=6，∴OD==8，∴cos∠ODC===，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=．故答案為：．【點評】此題考查了圓周角定理，勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．25．如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC，CE交AB于點E，交AD于點F．若BC=2，則EF的長為﹣1．【考點】勾股定理；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行線分線段成比例．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】過F點作FG∥BC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根據(jù)三角函數(shù)可得AF=CF=2，DF=，根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4﹣2，再根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=﹣1．【解答】解：過F點作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，在Rt△CDF中，AF=CF==2，DF=CD?tan60°=，∵FG∥BC，∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+），解得GF=4﹣2，∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2）：2，解得EF=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得，三角函數(shù)，平行線分線段成比例，以及方程思想，本題的難點是作出輔助線，尋找解題的途徑．三、解答題26．如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的長；（2）在△ABC中，求BC邊上高的長．【考點】勾股定理；三角形中位線定理．【分析】（1）直接利用勾股定理得出BD的長即可；（2）利用平行線分線段成比例定理得出BD=AE，進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5，∴BD==3；（2）延長CB，過點A作AE⊥CB延長線于點E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D為AC邊的中點，∴BD=AE，∴AE=6，即BC邊上高的長為6．【點評】此題主要考查了勾股定理以及平行線分線段成比例定理，得出BD=AE是解題關(guān)鍵．27．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，連接BD．請畫出圖形，并直接寫出△BCD的面積．【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求出BC的長，進(jìn)而求出答案．【解答】解：如圖所示：過點D作DE⊥BC延長線于點E，∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4，∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°，∴DB=4，則DE=EC=2，BE=BDcos30°=2，則BC=BE﹣EC=2﹣2，則△BCD的面積為：×2（2﹣2）=4﹣4．如圖所示：過點D作DE⊥BC延長線于點E，∵∠BAC=30°，△ACD是等邊三角形，∴∠DAB=30°，∴AB垂直平分DC，∴∠DBA=∠ABC=75°，BD=BC，∴∠DBE=30°，∴DE=BD，∴由（1）得：△BCD的面積為：×（2﹣2）（2﹣2）=8﹣4．【點評】此題主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出BC的長是解題關(guān)鍵．28．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】（1）在四邊形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE與△BCF為等腰直角三角形，求得AE，利用銳角三角函數(shù)得BE，得AB；（2）設(shè)DE=x，利用（1）的某些結(jié)論，特殊角的三角函數(shù)和勾股定理，表示AB，CD，得結(jié)果．【解答】解：（1）過D點作DE⊥AB，過點B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE與△BCF為等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）設(shè)DE=x，則AE=x，