初二數(shù)學(xué)秋直升班教師版第2講幾何變換之旋轉(zhuǎn)二

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///一、“丫”字型旋轉(zhuǎn)：模型1：等邊三角形的“Y”字型旋轉(zhuǎn)因?yàn)樵谛D(zhuǎn)角為60。的旋轉(zhuǎn)變換下，任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心恰好構(gòu)成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，這樣，對(duì)于條件中含有正三角形的平面幾何問(wèn)題，我們即可以考慮用旋轉(zhuǎn)角為60。的旋轉(zhuǎn)變換處理.旋轉(zhuǎn)中心可以選取正三角形的某個(gè)頂點(diǎn).模型II:等腰直角三角形的“丫”字型旋轉(zhuǎn)模型II:等腰直角三角形的“丫”字型旋轉(zhuǎn)因?yàn)樵谛D(zhuǎn)角為90。的旋轉(zhuǎn)變換下，任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心恰好構(gòu)成一個(gè)等腰直角角形的三個(gè)頂點(diǎn)，這樣，對(duì)于條件中含有等腰直角三角形的平面幾何問(wèn)題，我們即可以考慮用旋轉(zhuǎn)角為90。的旋轉(zhuǎn)變換處理.旋轉(zhuǎn)中心通常選取等腰直角三角形的直角頂點(diǎn).二、三角形中的費(fèi)馬點(diǎn):1.定義：在一'個(gè)四邊形內(nèi)找一'個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到四邊形四個(gè)點(diǎn)的距離和最小，這個(gè)點(diǎn)即為四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn).在一個(gè)三角形內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)點(diǎn)的距離和最小，這個(gè)點(diǎn)我們稱為三角形中的費(fèi)馬點(diǎn).2.性質(zhì)：(1)費(fèi)馬點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最??；(2)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)應(yīng)三邊的三個(gè)張角都相等，且為120.模塊一“Y”字型旋轉(zhuǎn)例1內(nèi)“丫”A1AKBCBC等腰直角三角形的“丫”字型旋轉(zhuǎn)線“Y”BX外“丫”BX.BXcBP例2(1)如圖2-1,P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PC=3,PA=4,PB=5，求△ABC的邊長(zhǎng).(2)如圖2-2,在等邊△ABC中，P為BC邊上一點(diǎn)，則以AP、BP、CP為邊組成的新三角形的最大內(nèi)角為e，則e為多少度？(3)如圖2-3，△ABD是等邊三角形，在△ABC中，BC=a，CA=b，問(wèn)：當(dāng)/ACB為何值時(shí)，C、D兩點(diǎn)的距離最大？最大值是多少?圖2-3解析(1)將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△AQB.連接PQ,則/AQB=ZAPC,/PAQ=60。，AQ=AP=4,QB=PC=3,故△APQ是等邊三角形，從而/AQP=60°,PQ=AP=4.在△PQB中，PQ=4,QB=3,PB=5,故/PQB=90°,/APC=/AQB=/AQP+/PQB=150°.過(guò)點(diǎn)C作CD±AP，交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,一一— 1 3則/CPD=30°,CD=-PC=-,2 2PD=\PC2-CD2=-<3.2因此，在母△ACD中，AC=AAD2+CD2=..'(4+1<3)2+(|)2=<25+12<3.(2)120°;(3)我們通過(guò)旋轉(zhuǎn)設(shè)法將a、b、CD集中到一個(gè)三角形中.E最大值為a+b.,將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AED.連接EC,則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CD=ED,fZCDE=60°,故NDE是等邊三角形，則CE=DEE最大值為a+b.,而AC=b,AE=BC=a,故CEWAC+AE=a+b.當(dāng)且僅當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即/EAD+ZCAD=180°.此時(shí)/CAD+ZCBD=180°,/ACB=180°—/ADB=120°.因此，當(dāng)ZACB=120°時(shí)，CD最大ErSI^B^ ?(1)如圖3-1,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=、右,PB=>2,PC=1.求/BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng).(2)如圖3-2,已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,點(diǎn)D是BC上的任意一點(diǎn)，探究：BD,CD與AD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)如圖3-3,四邊形ABCD被對(duì)角線BD分為等腰直角△ABD和直角^CBD,其中/A和/C都是直角，另一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為2,求四邊形ABCD的面積.ADA(1)如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△BP'A，則△BPC/△BP'A.，.APf^PC=1,BP=BP=<2,/P'BP=90。.連接PP',在及△BP'P中，:BP=BP'=22,/PBP'=90°,：.PP=2,乙BPP=45°.在△APP中，AP=1,PP'=2,AP='無(wú),?:12+22=(<5)2，即AP2+PP2=AP2.：.△APP是直角三角形，即/APP=90°.??ZAPB=135°.，.ZBPC=ZAP'B=135°.過(guò)點(diǎn)B作BE±AP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.??ZEPB=45°.?'.EP=BE=1.AAE=2.?.在□△ABE中，由勾股定理，得AB=<5.AZBPC=135°,正方形邊長(zhǎng)為<5.(2)探究得到的關(guān)系為：BD2+CD2=2AD2.證明：以AC為邊向三角形外作/EAC=ZDAB，且AE=AD，連接DE、CE.AB=AC在△ABD和△ACE中｛ZBAD=ZCAE^AD=AEA△ABD/△ACE,ABD=CE,ZABC=ZACE「ZBAD+ZCAD=90。，又「ZBAD=ZCAEAZCAE+ZCAD=90。即ZDAE=90。，同理ZDCE=90。AED2=AD2+AE2,ED2=CD2+CE2,AAD2+AE2=CD2+CE2AAE=AD,CE=BD,AAD2+AD2=CD2+BD2,即2AD2=CD2+BD2.(3)將三角形ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使B與D重合，C到。點(diǎn).則有CZCDC=ZADC+ZADC'=ZADC+ZABC=180。，所以C,D,C'在同一條直線上，又因?yàn)锳C=AC'.所以△ACC'是等腰直角三角形.又四邊形ABCD的面積等于等腰直角△ACC'.C的面積.S四力舟abcd=SAACC'=2x2+2=2.例4ED)AED)A如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,以AD為邊向外作RtAADE,ZAED=90。,連接OE,DE=6,OE=8<2，求AE的長(zhǎng).

EDADA解析將△AOE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使OA和OD重合，得到△DOF,則可得OF=OE=8v2,/EOF=90。，點(diǎn)E、O、F三點(diǎn)共線，???EF:16Erl例5,DF=10,AE=DF???EF:16Erl例5如圖，以RtAABC的斜邊BC為一邊在^ABC同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的中心解析AO=6<2，求AC解析AO=6<2，求AC的長(zhǎng).為O,在AC上截取CM=AB，連接OM,可證△ABO/△MCO,：./COM=/BOA,：.ZAOM=/BOC=90。，;AO=MO=6<2,???AM=12,???AC=AM+MC=12+4=16.模塊二三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)例6例6若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且ZAPB=/BPC=/CPA=120。，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB'連接BB'.求證：BB'過(guò)^ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB'=PA+PB+PC.使/BPC=120。，連接AP,再在PB'上截取PE=PC，連接CE.???/EPC=60。，??.△PCE為正三角形，??PC=CE,/PCE=60。，/CEB'=120°,「△ACB'為正三角形，???AC=B'C,/ACB'=60°,??/PCA+ZACE=/ACE+/ECB'=60°??/PCA=/ECB，，△ACP/△B'CE.??ZAPC=/B'EC=120°,PA=EB',；.ZAPB=ZAPC=/BPC=120°,??P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，???BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,例7且BB'=EB+PB+PE=PA+PB+PC.例7卜〉如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.求證：△AMB^AENB；①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由;當(dāng)AM+BM+CM的最小值為v-3+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

解析解析(1)證明：:△ABE是等邊三角形，?BA=BE,/ABE=60。.丁ZMBN=60。，?ZMBN—ZABN=ZABE—ZABN.即ZMBA=ZNBE.又:MB=NB,?△AMB/△ENB(SAS).(2)①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小.②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小.理由如下：連接MN，由(1)知，△AMB/△ENB,AM=EN，丁ZMBN=60。，MB=NB,?△BMN是等邊三角形.?BM=MN.AM+BM+CM=EN+MN+CM.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短??.當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).(3)過(guò)E點(diǎn)作EF1BC交CB的延長(zhǎng)線于F,?ZEBF=ZABF—ZABE=90。一60。=30。.3設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則3設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=—x2在RtAEFC中，丁EF2+FC2=EC2,xEF=-.2，丫“工3 ￥?一+--x+x后常禍戰(zhàn)解得，x二衣,解析后常禍戰(zhàn)解得，x二衣,解析x2=—、.5(舍去負(fù)值)..?.正方形的邊長(zhǎng)為G.(金牛區(qū)期末)如圖，矩形紙片ABCD(AD>AB)中，將它折疊，使點(diǎn)A與C重合，在矩形ABCD中，AB=600,BC=1000,P是內(nèi)部一點(diǎn)，Q是BC邊上任意一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P、Q的位置，使得PA+PD+PQ最小，并求出這個(gè)最小值.點(diǎn)Q是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD的中垂線上且滿足ZADP=120。.最小值為600+500<3.

演練1L??復(fù)習(xí)鞏固模塊一“Y”字型旋轉(zhuǎn)如圖，△ABC為等邊三角形，以AB演練1L??復(fù)習(xí)鞏固模塊一“Y”字型旋轉(zhuǎn)如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為對(duì)角線作矩形ADBE,點(diǎn)、E在^ABC內(nèi)部，連接EC,若/BEC=150。，EC=1,則4ABC的邊長(zhǎng)為.已知：PA=五,PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AE±PB于點(diǎn)E.「ZAPB=45。，.?.△APE是等腰直角三角形.;PA=、，2,PB=4，二AE=PE=1,BE=3,,.AB=、AE2+BE2=>10.如圖2,將△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△APB，連接P'P，則△APP'是等腰直角三角形.;PA=22，二PP=2，丁ZAPB=45。，??ZBPP=90。，.?.△BPP'是直角三角形??BP=\PP'2+BP2=、；22+42=2v5顯然，△APD9^APBB，,PD=BP=2v5模塊二三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD,/BAD=60。,BC+DC=AC.（思想：以D為旋轉(zhuǎn)中心將△ACD旋轉(zhuǎn)60。到△BED）如圖所示，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD.連接DE，由/BCD=120°可知/DCE=60。，又由CE=CD可知NDE為等邊三角形，即有DE=CD=CE,/CDE=60°.又因AB=AD,/BAD=60°,連接BD，可知△ABD為等邊三角形，即AB=AD=BD/BDA=60°.在△ACD和△BED中，由ZADB=/CDE可得：AADC=ZADB+/BDC=/CDE+/BDC=/BDE.而AD=BD,CD=DE，故△ACD/△BED.于是AC=BE=BC+CE=BC+CD，即BC+DC=AC.,演練4演練4??>已知O是^ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=/BOC=/COA=120°；P是4ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC三OA+OB+OC.（O為費(fèi)馬點(diǎn)）以B為旋轉(zhuǎn)中心，60°為旋轉(zhuǎn)角，將點(diǎn)P、O、C分別旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P'、O'、C,連接OO，、PP二則△