初中數(shù)學(xué)最值問題

初中數(shù)學(xué)最值問題10個典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問題解決幾何最值問題的通常思路兩點之間線段最短；直線外一點與直線上所有點的連線段中,垂線段最短;三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三迦重合時取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵.通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個定理靠攏進而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段-幾何最值問題中的基本模型舉例粘莉值圖形二rf、/:,VA f11原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征為定點〃為定直線,?為直線/上的一個動點,求在+好的最小值/戶為定點「/為定直線，MN為直線/上的一條動線段?求AtA為定點J為定直線,P為直線/上的一個動點，求科2￡8的最大值

AM+BN的最小值轉(zhuǎn)化作其中一個定點關(guān)于定直線/的對稱點先平移A/W或BN疑M,川重合，然后作其中一個定點關(guān)于定直線/的對稱點作其中一個定點關(guān)于定直線/的對稱點折值圖形1BA' C原理兩點之間線段最短特征在中j/W/A/兩點分別是邊48,8C上的動點:將占BMN沿M/V翻折,8點的對應(yīng)點為夕連接AB1,求A8的最小值.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求力夕+87V+/VU的最小值二.騏型題型1.如圖：點『是上』?！▋?nèi)一定點，點攸收分別在邊08上運動，若上月。8:451。A3逝.則△戶MA/的周長的最小值為.A【分析】作尸關(guān)于。4。&的對稱點UQ.連接。UQD則當/A/是8與OA.08的交點時，“MA/的周長最短,最短的值是。的長.根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解.【解答】解：作P關(guān)于OA,的對稱點CD,連接。UOD.則當M,N是8與。4108的交點時,力心小/的周長最短，最短的值是。的長.,一％關(guān)于。4對稱.."COP=2￡AOP,OC=OP同理，aDOP^I^BOP,OP^OD/.zCOD=zCOP^zDOP=2(￡AOP“BOP)=2￡AOB=901gOD.

."COD是等腰直角三角形.則CD-6OC-V2x3V2."COD是等腰直角三角形.則CD-6OC-V2x3V2=6.【分析】因為ABt0V的長度都是固定的，所以求出川+NB的長度就行了.問題就是以十/V8什么時候最短.D【題后思考】本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形,理解△皿/V周長最小的條件是解題的關(guān)鍵.2.如圖,當四邊形%8/V的周長最小時，5二VA苴68.HbL0)把夕點向左平移2個單位8點作方關(guān)于x軸的對稱點H、連接/笈「交＞軸于匕從而確定N點位置，此時以1+NB設(shè)直線/所的解析式為年kx+b待定系數(shù)法求直線解析式理可求得8的值.【解答】解：將A/點向左平移2單位與『重合，點8向左平移2單位到8（2?-1）,作8關(guān)于*軸的對稱點九根據(jù)作法知點麻（211）,設(shè)直線的解析式為y=kx^bf則（一3=4+61解得4=4,b=-7.7 7 7,?片4x=7.當y=0時,即廣（］,0），曰二4-故答案填：4?葉B”H公aATa+2p0）利用勾股定理求出48二5外-陽的最大值=5.【題后思考】本題考查了作圖-軸對稱變換，勾股定理等,熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵.4.動手操作：在矩形紙片A88中j必8二3,4。=5.如圖所示『折疊紙片?使點A落在邊上的4處,折痕為PQ,當點4在8U邊上移動時』折痕的端點P、Q也隨之移動,若限定點P.Q分別在AB、邊上移動?則點并在BC邊上可移動的最大距離為 .【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個極端，即班,取最大或最小值時一點戶或Q的位置.經(jīng)實瞼不難發(fā)現(xiàn),分別求出點戶與B重合時，加,取最大值3和當點。與。重合時，的最小值1.所以可求點4在8U邊上移動的最大距離為2.【解答】解：當點P與8重合時，8A取最大值是3,當點Q與少重合時（如圖），由勾股定理得4仁4?此時84取最小值為1.則點4在6。邊上移動的最大距離為3-1=2.故答案為：24/ c【題后思考】本題考查了學(xué)生的動手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識,難度稍大，學(xué)生主要缺乏動手操作習(xí)慣,單憑想象造成錯誤.5.如圖，直角梯形紙片.AD二8二A1點E、尸分別在線段AB、AD±l1將"斤沿）翻折，點A的落點記為P.當戶落在直角梯形ABCD內(nèi)部時,叨的最小值等于，【分析】如圖,經(jīng)分析、探究.只有當直徑EF最大,且點A落在氏7上時，戶。最小；根據(jù)勾股定理求出8。的長度,問題即可解決.【解答】解：如圖,,,當點尸落在梯形的內(nèi)部時「二P=「，四邊形物5是以仔■為直徑的圓內(nèi)接四邊形，..只有當直徑EF最大,且點/落在8。上時，也最小,此時F與點8重合；由題意得：PE=AE=8,由勾股定理得：8療二8,62二80rt，PD=A也一&.d c【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法,以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運動過程中的某一瞬間，動中求靜，以靜制動.6.如圖，矩形48。的頂點4〃分別在邊0MrON上，當8在邊ON上運動時，A隨之在0M上運動?矩形的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運動過程中，點。到點O的最大距離為.MO' s N【分析】取的中點巳連接OD、OE、DEt根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE^AB利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點E時最大.【解答】解：如圖r取A8的中點心連接OD、OE、DE.,zMON=901AB^21.\OE-AE-2/￡=1；-BC=1t四邊形A88是矩形，;AD=BC=\,;.DE=Gt根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD<OE+DE.「.當OD過點5是最大，最大值為6+1故答案為：正+1,【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出。。過48的中點時值最大是解題的關(guān)鍵.7.如圖，線段工￡的長為4jU為金￡上一動點,分別以AC80為斜邊在的同側(cè)作等腰直角色/。和等腰直角壯BCE(那么DE長的最小值是.【分析】設(shè)MG*,8G4-x,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得41 6出CD^—x,8K(4?x),根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解.【解答】解：設(shè)4G/8金4一,“ABC,也8”均為等腰直角三角形,72V2，8二W CD-(4-t),vz/lCZ?=45°fzS677=45°,— ?x)2=/-4x+8=(六2八4,;根據(jù)二次函數(shù)的最值，，當*取2時，取最小值，最小值為：4.故答案為：2.【題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形,難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值.8.如圖，菱形480中,AB=2,』/=1201點P,Q,K分別為線段BCfCD(8。上的任意一點，則PK+QK的最小值為.【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點夕關(guān)于8。的對稱點戶，連接,Q與80的交點即為所求的點Kt然后根據(jù)直線勺1點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P時必&QK的最小值,然后求解即可.【解答】解：如圖,-AB=2t44=120、，點?到。的距離為2xg二??/圻QK的最小值為指.【題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì),軸對稱確定最短路線問題熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵.9.如圖所示.正方形ABCD的邊長為1,點『為邊國7上的任意一點（可與8、0重合）,分別過民U。作射線4戶的垂線，垂足分別為B、JD,則￡8+"+。。的取值范【分析】首先連接AC.DP.由正方形AS。的邊長為1,11 1即可得"S&adp=25正方形/6m=2,^abp+^acp-^abc-2S的形皿。=；，繼而可得）力Q（88+衛(wèi)+。。）=1,又由1<ap<42t即可求得答案.【解答】解：連接/UDP.;四邊形48m是正方形，正方形力88的邊長為1,、,,AB=C。,S ABCD-1JJ_ 1,5hdp=2§訪形閆8第二2j$小即\S-ac尸S，abU2S訪形ABC。二2，:3ARBK+3AAec交AP，DDA0(BB+CC+DD)=1,2則86+8+0。"，\A<AP<42?，當P與8重合時?有最大值2;當P與U重合時f有最小值6.二⑤<BB^CC+DD<2.故答案為：41<BB^CC^DD<2.【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問

題.此題難度較大,解題的關(guān)健是連接ACtDPt根據(jù)題意得

2到Sadp+S/e/￡*p=1.繼而得到BB+CC+DD-而.10.如圖J菱形48。中，￡4二60"AB^3,OA。8的半徑分別為2和1,只E尸分別是邊。工和08上的動點，則戶E+）的最小值是 ^【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出戶與