2021-2022年高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程1.1傾斜角與斜率2作業(yè)含解析新人教版必修220220226156_第1頁
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文檔簡介

PAGEPAGE6傾斜角與斜率一、選擇題1.下列四個命題中,正確的命題共有()①坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線均有傾斜角與斜率;②直線的傾斜角的取值范圍是[0°,180°];③若一條直線的斜率為tanα,則此直線的傾斜角為α;④若一條直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tanα.A.0個 B.1個C.2個 D.3個[答案]A[解析]序號正誤理由①、④×傾斜角為90°時,斜率不存在,故①、④不正確②×傾斜角的范圍是[0°,180°),故②不正確③×雖然直線的斜率為tanα,但只有當(dāng)α∈[0°,180°)時,α才是直線的傾斜角,故③不正確2.已知點(diǎn)A(1,2),在x軸上存在一點(diǎn)P,使直線PA的傾斜角為135°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(0,3) B.(0,-1)C.(3,0) D.(-1,0)[答案]C[解析]由題意可設(shè)P的坐標(biāo)為(m,0),則eq\f(0-2,m-1)=tan135°=-1,解得m=3.3.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°[答案]D[解析]如圖,直線l有兩種情況,故l的傾斜角為60°或120°.4.直線l的傾斜角是斜率為eq\f(\r(3),3)的直線的傾斜角的2倍,則l的斜率為()A.1 B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3) D.-eq\r(3)[答案]B[解析]∵tanα=eq\f(\r(3),3),0°≤α<180°,∴α=30°,∴2α=60°,∴k=tan2α=eq\r(3).故選B.5.如下圖,已知直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則()A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2[答案]D[解析]可由直線的傾斜程度,結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系求解.設(shè)直線l1,l2,l3的傾斜角分別是α1,α2,α3,由圖可知α1>90°>α2>α3>0°,所以k1<0<k3<k2.6.已知點(diǎn)A(1,3),B(-2,-1).若過點(diǎn)P(2,1)的直線l與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍是()A.k≥eq\f(1,2) B.k≤-2C.k≥eq\f(1,2)或k≤-2 D.-2≤k≤eq\f(1,2)[答案]D[解析]過點(diǎn)P(2,1)的直線可以看作繞P(2,1)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動,通過畫圖可求得k的取值范圍.由已知直線l恒過定點(diǎn)P(2,1),如圖.若l與線段AB相交,則kPA≤k≤kPB,∵kPA=-2,kPB=eq\f(1,2),∴-2≤k≤eq\f(1,2).[點(diǎn)評]確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素是:一個點(diǎn)P和一個傾斜角α,二者缺一不可.本題過點(diǎn)P(2,1)的直線的位置是不確定的,用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)看問題是數(shù)形結(jié)合的技巧.二、填空題7.求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線斜率,并判斷其傾斜角是0°,還是銳角、鈍角或直角.(1)C(18,8),D(4,-4),斜率為_________,傾斜角為_________;(2)C(-1,2),D(3,2),斜率為_________,傾斜角為_________;(3)C(0,-eq\f(1,b)),D(eq\f(1,a),0)(ab<0)斜率為_________,傾斜角為_________.[答案](1)eq\f(6,7)銳角(2)00°(3)eq\f(a,b)鈍角8.設(shè)P為x軸上的一點(diǎn),A(-3,8),B(2,14),若PA的斜率是PB的斜率的兩倍,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________.[答案](-5,0)[解析]設(shè)P(x,0)為滿足題意的點(diǎn),則kPA=eq\f(8,-3-x),kPB=eq\f(14,2-x),于是eq\f(8,-3-x)=2×eq\f(14,2-x),解得x=-5.三、解答題9.在同一坐標(biāo)平面內(nèi),畫出滿足下列條件的直線:(1)直線l1過原點(diǎn),斜率為1;(2)直線l2過點(diǎn)(3,0),斜率為-eq\f(2,3);(3)直線l3過點(diǎn)(-3,0),斜率為eq\f(2,3);(4)直線l4過點(diǎn)(3,1)斜率不存在.[解析]10.如右圖,菱形OBCD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,一邊在x軸的正半軸上.已知∠BOD=60°,求菱形各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角及斜率.[分析]eq\x(\a\al(利用菱形的性質(zhì):對邊平,行且相等,對角線平分一,組內(nèi)對角,兩條對角線互,相垂直))→eq\x(\a\al(求各直線,傾斜角))→eq\x(\a\al(利用斜率定,義求斜率))[解析]因?yàn)镺D∥BC,∠BOD=60°,所以直線OD,BC的斜率角都是60°,斜率kOD=kBC=tan60°=eq\r(3).因?yàn)镺B與x軸重合,DC=OB,所以直線OB,DC的傾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan0°=0.由菱形的性質(zhì),知∠COD=30°,∠OBD=60°,所以直線OC的傾斜角為30°,斜率kOC=tan30°=eq\f(\r(3),3);直線BD的傾斜角為∠DBx=180°-60°=120°,斜率kBD=tan120°=-eq\r(3).規(guī)律總結(jié):解決幾何圖形中直線的傾斜角與斜率的綜合問題時,要善于利用幾何圖形的幾何性質(zhì),解題時要注意傾斜角是幾何圖形中的夾角還是它的鄰補(bǔ)角;也可以利用經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,先求斜率,再求傾斜角.能力提升一、選擇題1.設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°[答案]D[分析]畫出圖象輔助理解,由于條件中未指明α的范圍,所以需綜合考慮α的可能取值,以使旋轉(zhuǎn)后的直線的傾斜角在[0°,180°)內(nèi).[解析]根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示:因?yàn)?°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知:當(dāng)0°≤α<135°,l1的傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.故選D.規(guī)律總結(jié):求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準(zhǔn)傾斜角,有時要根據(jù)情況分類討論.2.經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,1),B(1,m2)的直線l的傾斜角為銳角,則m的取值范圍是()A.m<1 B.m>-1C.-1<m<1 D.m>1或m<-1[答案]C[解析]設(shè)直線l的傾斜角為α,則kAB=eq\f(m2-1,1-2)=tanα>0.∴1-m2>0,解得-1<m<1.3.已知A(1,2eq\r(3)+1),B(-1,1),若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半,則直線l的斜率為()A.1 B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3) D.不存在[答案]B[解析]∵kAB=eq\f(2\r(3)+1-1,1--1)=eq\r(3),∴直線AB的傾斜角為60°,則直線l的傾斜角為30°.其斜率k=tan30°=eq\f(\r(3),3).4.若直線l的斜率為k,傾斜角為α,若60°<α<135°,則k的取值范圍是()A.(-1,eq\r(3)) B.(-∞,-1)∪(eq\r(3),+∞)C.[-1,eq\r(3)] D.(-∞,-1]∪[eq\r(3),+∞)[答案]B[解析]當(dāng)60°<α<90°時,斜率的取值范圍是(eq\r(3),+∞);當(dāng)90°<α<135°時,斜率的取值范圍是(-∞,-1),故選B.[點(diǎn)評]求斜率的范圍時,應(yīng)把傾斜角的范圍分成兩部分,即0°≤α<90°和90°<α<180°.二、填空題5.已知直線l1的斜率為eq\r(3),若直線l2和l1關(guān)于y軸對稱,則直線l2的斜率為_________;若直線l2和l1關(guān)于直線y=x對稱,則直線l2的斜率為_________.[答案]-eq\r(3)eq\f(\r(3),3)6.若三點(diǎn)A(3,3),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共線,則eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=_________.[答案]eq\f(1,3)[解析]由于點(diǎn)A,B,C共線,則kAB=kAC,所以eq\f(0-3,a-3)=eq\f(b-3,0-3).所以ab=3a+3b.即eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\f(1,3).三、解答題7.直線l的斜率為k=1-m2(m∈R),求直線l的傾斜角的取值范圍.[解析]k=1-m2≤1,所以當(dāng)k∈[0,1]時,傾斜角α∈[0,eq\f(π,4)];當(dāng)k∈(-∞,0)時,傾斜角α∈(eq\f(π,2),π),故傾斜角的范圍是[0,eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2),π).8.已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.[分析]結(jié)合圖形考慮,l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間,要特別注意,當(dāng)l的傾斜角小于90°時,有k≥kPB;當(dāng)l的傾斜角大于90°時,則有k≤kPA.[解析]如圖,由題意可知,直線PA的斜率kPA=eq\f(4-0,-3-1)=-1,直線PB的斜率kPB=eq\f(2-0,3-1)=1,(1)要使l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取

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