2021-2022年高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關系1.2空間中直線與直線之間的位置關系3教案新人教版必修22022022628

PAGEPAGE10空間中直線與直線之間的位置關系一、教材分析空間中直線與直線的位置關系是立體幾何中最基本的位置關系，直線的異面關系是本節(jié)的重點和難點.異面直線的定義與其他概念的定義不同，它是以否定形式給出的，因此它的證明方法也就與眾不同.公理4是空間等角定理的基礎，而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎，請注意知識之間的相互關系，準確把握兩異面直線所成角的概念.二、教學目標1．知識與技能（1）了解空間中兩條直線的位置關系；（2）理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學生的空間想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）異面直線所成角的定義、范圍及應用。2．過程與方法讓學生在學習過程中不斷歸納整理所學知識.3．情感、態(tài)度與價值讓學生感受到掌握空間兩直線關系的必要性，提高學生的學習興趣.三、重點難點兩直線異面的判定方法，以及兩異面直線所成角的求法.四、課時安排1課時五、教學設計（一）導入新課思路1.(情境導入）在浩瀚的夜空，兩顆流星飛逝而過（假設它們的軌跡為直線），請同學們討論這兩直線的位置關系.學生：有可能平行，有可能相交，還有一種位置關系不平行也不相交，就像教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線一樣.教師：回答得很好，像這樣的兩直線的位置關系還可以舉出很多，又如學校的旗桿所在的直線與其旁邊公路所在的直線，它們既不相交，也不平行，即不能處在同一平面內(nèi).今天我們討論空間中直線與直線的位置關系.思路2.（事例導入）觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體ABCD—A′B′C′D′中，線段A′B所在的直線與線段C′C所在直線的位置關系如何？圖1（二）推進新課、新知探究、提出問題①什么叫做異面直線？②總結(jié)空間中直線與直線的位置關系.③兩異面直線的畫法.④在同一平面內(nèi)，如果兩直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.在空間這個結(jié)論成立嗎？⑤什么是空間等角定理？⑥什么叫做兩異面直線所成的角？⑦什么叫做兩條直線互相垂直？活動：先讓學生動手做題，再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.討論結(jié)果：①異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.它是以否定的形式給出的，以否定形式給出的問題一般用反證法證明.②空間兩條直線的位置關系有且只有三種.結(jié)合長方體模型(圖1)，引導學生得出空間的兩條直線的三種位置關系：③教師再次強調(diào)異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如圖2.圖2④組織學生思考：長方體ABCD—A′B′C′D′中，如圖1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′與DD′平行嗎？通過觀察得出結(jié)論：BB′與DD′平行.再聯(lián)系其他相應實例歸納出公理4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示為：a∥b,b∥ca∥c.強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用.公理4是：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，不必證明，可直接應用.⑤等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.⑥怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來表示呢？可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示.如圖3，異面直線a、b，在空間中任取一點O，過點O分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.圖3針對這個定義，我們來思考兩個問題.問題1：這樣定義兩條異面直線所成的角，是否合理？對空間中的任一點O有無限制條件？答：在這個定義中，空間中的一點是任意取的.若在空間中，再取一點O′（圖4），過點O′作a″∥a，b″∥b，根據(jù)等角定理，a″與b″所成的銳角（或直角）和a′與b′所成的銳角（或直角）相等，即過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點位置無關，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時，為了方便，可將點O取在a或b上（如圖3）.圖4問題2：這個定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？答：沒有矛盾.當a、b相交時，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣.⑦在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直.例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面（圖5）.圖5（三）應用示例思路1例1如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.圖6求證：四邊形EFGH是平行四邊形.證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.變式訓練1.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點且AC=BD.求證：四邊形EFGH是菱形.證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=,EF=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因為AC=BD,所以EF=EH.所以四邊形EFGH為菱形.2.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點且AC=BD，AC⊥BD.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=，EF=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因為AC=BD，所以EF=EH.因為FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH為兩異面直線AC與BD所成的角.又因為AC⊥BD，所以EF⊥EH.所以四邊形EFGH為正方形.點評：“見中點找中點”構(gòu)造三角形的中位線是證明平行常用的方法.例2如圖7，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.圖7(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在直線與直線AA′垂直？解：(1)由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與BA′是異面直線.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是異面直線BA′和CC′的夾角，∠B′BA′=45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°.（3）直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直.變式訓練如圖8，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.圖8（1）求異面直線BC′與A′B′所成的角的度數(shù)；（2）求異面直線CD′和BC′所成的角的度數(shù).解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是異面直線BC′與A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴異面直線BC′與A′B′所成的角的度數(shù)為90°.（2）連接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是異面直線CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等邊三角形.∴∠AD′C=60°，即異面直線CD′和BC′所成的角的度數(shù)為60°.點評：“平移法”是求兩異面直線所成角的基本方法.思路2例1在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和棱CC1求證：EB1∥DF，ED∥B1F活動：學生先思考或討論，然后再回答，教師點撥、提示并及時評價學生.證明：如圖9，設G是DD1的中點，分別連接EG，GC1.圖9∵EGA1D1，B1C1A1D1,∴EGB1C1.四邊形EB1C∴EB1GC1.同理可證DFGC1，∴EB1DF.∴四邊形EB1FD是平行四邊形.∴ED∥B1F變式訓練如圖10，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1圖10（1）AB與CC1；（2）A1B1與DC；（3）A1C與D1（4）DC與BD1；（5）D1E與CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,∴AB與CC1異面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，則A1、B、C、D∴A1C與D1（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,∴DC與BD1異面.（5）如圖10，CF與DA的延長線交于G，連接D1G∵AF∥DC，F(xiàn)為AB中點，∴A為DG的中點.又AE∥DD1，∴GD1過AA1的中點E.∴直線D1E與CF相交.點評：兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行（或重合）.兩條直線相交，總可以找到它們的交點.作圖時用實點標出.兩條直線異面，有時看上去像平行（如圖中的EB與A1C），有時看上去像相交（如圖中的DC與D1例2如圖11，點A是BCD所在平面外一點，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點，且EF=AD，求異面直線AD和BC所成的角.圖11解：設G是AC中點，連接EG、FG.因E、F分別是AB、CD中點，故EG∥BC且EG=，F(xiàn)G∥AD，且FG=.由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即∠EGF為所求.由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.點評：本題的平移點是AC中點G，按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在△EFG中求角.通常在出現(xiàn)線段中點時，常取另一線段中點，以構(gòu)成中位線，既可用平行關系，又可用線段的倍半關系.變式訓練設空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點，若AB=，CD=，且HG·HE·sin∠EHG=，求AB和CD所成的角.解：如圖12，由三角形中位線的性質(zhì)知，HG∥AB，HE∥CD，圖12∴∠EHG就是異面直線AB和CD所成的角.由題意可知EFGH是平行四邊形，HG=，HE=，∴HG·HE·sin∠EHG=sin∠EHG.∴sin∠EHG=.∴sin∠EHG=.故∠EHG=45°.∴AB和CD所成的角為45°.（四）知能訓練如圖13，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有對____________.圖13答案：三（五）拓展提升圖14是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：圖14①AB與CD所在直線垂直；②CD