2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系3教案新人教版必修22022022628

PAGEPAGE10空間中直線與直線之間的位置關(guān)系一、教材分析空間中直線與直線的位置關(guān)系是立體幾何中最基本的位置關(guān)系，直線的異面關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).異面直線的定義與其他概念的定義不同，它是以否定形式給出的，因此它的證明方法也就與眾不同.公理4是空間等角定理的基礎(chǔ)，而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎(chǔ)，請(qǐng)注意知識(shí)之間的相互關(guān)系，準(zhǔn)確把握兩異面直線所成角的概念.二、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能（1）了解空間中兩條直線的位置關(guān)系；（2）理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）異面直線所成角的定義、范圍及應(yīng)用。2．過(guò)程與方法讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷歸納整理所學(xué)知識(shí).3．情感、態(tài)度與價(jià)值讓學(xué)生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.三、重點(diǎn)難點(diǎn)兩直線異面的判定方法，以及兩異面直線所成角的求法.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入）在浩瀚的夜空，兩顆流星飛逝而過(guò)（假設(shè)它們的軌跡為直線），請(qǐng)同學(xué)們討論這兩直線的位置關(guān)系.學(xué)生：有可能平行，有可能相交，還有一種位置關(guān)系不平行也不相交，就像教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線一樣.教師：回答得很好，像這樣的兩直線的位置關(guān)系還可以舉出很多，又如學(xué)校的旗桿所在的直線與其旁邊公路所在的直線，它們既不相交，也不平行，即不能處在同一平面內(nèi).今天我們討論空間中直線與直線的位置關(guān)系.思路2.（事例導(dǎo)入）觀察長(zhǎng)方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，線段A′B所在的直線與線段C′C所在直線的位置關(guān)系如何？圖1（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題①什么叫做異面直線？②總結(jié)空間中直線與直線的位置關(guān)系.③兩異面直線的畫法.④在同一平面內(nèi)，如果兩直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.在空間這個(gè)結(jié)論成立嗎？⑤什么是空間等角定理？⑥什么叫做兩異面直線所成的角？⑦什么叫做兩條直線互相垂直？活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題，再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路.討論結(jié)果：①異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.它是以否定的形式給出的，以否定形式給出的問(wèn)題一般用反證法證明.②空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種.結(jié)合長(zhǎng)方體模型(圖1)，引導(dǎo)學(xué)生得出空間的兩條直線的三種位置關(guān)系：③教師再次強(qiáng)調(diào)異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖2.圖2④組織學(xué)生思考：長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，如圖1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′與DD′平行嗎？通過(guò)觀察得出結(jié)論：BB′與DD′平行.再聯(lián)系其他相應(yīng)實(shí)例歸納出公理4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號(hào)表示為：a∥b,b∥ca∥c.強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用.公理4是：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，不必證明，可直接應(yīng)用.⑤等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).⑥怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來(lái)表示呢？可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來(lái)表示.如圖3，異面直線a、b，在空間中任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.圖3針對(duì)這個(gè)定義，我們來(lái)思考兩個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題1：這樣定義兩條異面直線所成的角，是否合理？對(duì)空間中的任一點(diǎn)O有無(wú)限制條件？答：在這個(gè)定義中，空間中的一點(diǎn)是任意取的.若在空間中，再取一點(diǎn)O′（圖4），過(guò)點(diǎn)O′作a″∥a，b″∥b，根據(jù)等角定理，a″與b″所成的銳角（或直角）和a′與b′所成的銳角（或直角）相等，即過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時(shí)，為了方便，可將點(diǎn)O取在a或b上（如圖3）.圖4問(wèn)題2：這個(gè)定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？答：沒(méi)有矛盾.當(dāng)a、b相交時(shí)，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒(méi)有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣.⑦在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面（圖5）.圖5（三）應(yīng)用示例思路1例1如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).圖6求證：四邊形EFGH是平行四邊形.證明：連接EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.變式訓(xùn)練1.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)且AC=BD.求證：四邊形EFGH是菱形.證明：連接EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=,EF=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因?yàn)锳C=BD,所以EF=EH.所以四邊形EFGH為菱形.2.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)且AC=BD，AC⊥BD.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：連接EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=，EF=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因?yàn)锳C=BD，所以EF=EH.因?yàn)镕G∥BD，EF∥AC，所以∠FEH為兩異面直線AC與BD所成的角.又因?yàn)锳C⊥BD，所以EF⊥EH.所以四邊形EFGH為正方形.點(diǎn)評(píng)：“見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明平行常用的方法.例2如圖7，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.圖7(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在直線與直線AA′垂直？解：(1)由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與BA′是異面直線.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是異面直線BA′和CC′的夾角，∠B′BA′=45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°.（3）直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直.變式訓(xùn)練如圖8，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.圖8（1）求異面直線BC′與A′B′所成的角的度數(shù)；（2）求異面直線CD′和BC′所成的角的度數(shù).解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是異面直線BC′與A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴異面直線BC′與A′B′所成的角的度數(shù)為90°.（2）連接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是異面直線CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等邊三角形.∴∠AD′C=60°，即異面直線CD′和BC′所成的角的度數(shù)為60°.點(diǎn)評(píng)：“平移法”是求兩異面直線所成角的基本方法.思路2例1在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和棱CC1求證：EB1∥DF，ED∥B1F活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，然后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生.證明：如圖9，設(shè)G是DD1的中點(diǎn)，分別連接EG，GC1.圖9∵EGA1D1，B1C1A1D1,∴EGB1C1.四邊形EB1C∴EB1GC1.同理可證DFGC1，∴EB1DF.∴四邊形EB1FD是平行四邊形.∴ED∥B1F變式訓(xùn)練如圖10，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1圖10（1）AB與CC1；（2）A1B1與DC；（3）A1C與D1（4）DC與BD1；（5）D1E與CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,∴AB與CC1異面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，則A1、B、C、D∴A1C與D1（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,∴DC與BD1異面.（5）如圖10，CF與DA的延長(zhǎng)線交于G，連接D1G∵AF∥DC，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，∴A為DG的中點(diǎn).又AE∥DD1，∴GD1過(guò)AA1的中點(diǎn)E.∴直線D1E與CF相交.點(diǎn)評(píng)：兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行（或重合）.兩條直線相交，總可以找到它們的交點(diǎn).作圖時(shí)用實(shí)點(diǎn)標(biāo)出.兩條直線異面，有時(shí)看上去像平行（如圖中的EB與A1C），有時(shí)看上去像相交（如圖中的DC與D1例2如圖11，點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF=AD，求異面直線AD和BC所成的角.圖11解：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接EG、FG.因E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故EG∥BC且EG=，F(xiàn)G∥AD，且FG=.由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即∠EGF為所求.由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.點(diǎn)評(píng)：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G，按定義過(guò)G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在△EFG中求角.通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系.變式訓(xùn)練設(shè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，若AB=，CD=，且HG·HE·sin∠EHG=，求AB和CD所成的角.解：如圖12，由三角形中位線的性質(zhì)知，HG∥AB，HE∥CD，圖12∴∠EHG就是異面直線AB和CD所成的角.由題意可知EFGH是平行四邊形，HG=，HE=，∴HG·HE·sin∠EHG=sin∠EHG.∴sin∠EHG=.∴sin∠EHG=.故∠EHG=45°.∴AB和CD所成的角為45°.（四）知能訓(xùn)練如圖13，表示一個(gè)正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有對(duì)____________.圖13答案：三（五）拓展提升圖14是一個(gè)正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：圖14①AB與CD所在直線垂直；②CD