吉林省吉林地區(qū)普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體2023屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)且,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.3.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.4.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形,俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.5.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.-60 B.240 C.-80 D.1806.已知函數(shù),,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.8.若表示不超過(guò)的最大整數(shù)(如,,),已知,,,則()A.2 B.5 C.7 D.89.正三棱柱中,,是的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.10.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”,實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作,每個(gè)縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.6412.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于,兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某同學(xué)周末通過(guò)拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí),拋一枚硬幣兩次,若兩次都是正面朝上,就在家學(xué)習(xí),否則出去看電影,則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為_(kāi)___________.14.若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),則正數(shù)的取值范圍是______.15.已知x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,則16.如圖,在體積為V的圓柱中,以線段上的點(diǎn)O為項(xiàng)點(diǎn),上下底面為底面的兩個(gè)圓錐的體積分別為,,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的通項(xiàng),數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線與交于兩點(diǎn),,且.(1)求的方程;(2)已知點(diǎn)是上的任意一點(diǎn),不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),直線的斜率都存在,且,求的值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.20.(12分)交通部門(mén)調(diào)查在高速公路上的平均車(chē)速情況,隨機(jī)抽查了60名家庭轎車(chē)駕駛員,統(tǒng)計(jì)其中有40名男性駕駛員,其中平均車(chē)速超過(guò)的有30人,不超過(guò)的有10人;在其余20名女性駕駛員中,平均車(chē)速超過(guò)的有5人,不超過(guò)的有15人.(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為,家庭轎車(chē)平均車(chē)速超過(guò)與駕駛員的性別有關(guān);平均車(chē)速超過(guò)的人數(shù)平均車(chē)速不超過(guò)的人數(shù)合計(jì)男性駕駛員女性駕駛員合計(jì)(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體,隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車(chē),記這3輛車(chē)中,駕駛員為女性且平均車(chē)速不超過(guò)的人數(shù)為,假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:其中臨界值表:0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知在多面體中,平面平面,且四邊形為正方形,且//,,,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22.(10分)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,從流水線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖(如圖1):規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品,在的為優(yōu)等品,在的為特優(yōu)品,銷(xiāo)售時(shí)劣質(zhì)品每件虧損元,優(yōu)等品每件盈利元,特優(yōu)品每件盈利元,以這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.(1)求每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn);(2)該企業(yè)主管部門(mén)為了解企業(yè)年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷(xiāo)售量(單位:萬(wàn)件)的影響,對(duì)該企業(yè)近年的年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用和年銷(xiāo)售量,數(shù)據(jù)做了初步處理,得到的散點(diǎn)圖(如圖2)及一些統(tǒng)計(jì)量的值.表中,,,.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,可以作為年銷(xiāo)售量(萬(wàn)件)關(guān)于年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用(萬(wàn)元)的回歸方程.①求關(guān)于的回歸方程;②用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營(yíng)銷(xiāo)費(fèi),才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大?(收益銷(xiāo)售利潤(rùn)營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)用,取)附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.2、A【解析】項(xiàng),由得到,則,故項(xiàng)正確;項(xiàng),當(dāng)時(shí),該不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤;項(xiàng),當(dāng),時(shí),,即不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤;項(xiàng),當(dāng),時(shí),,即不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述,故選.3、D【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體,前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐,體積為故答案為A.點(diǎn)睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng);俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng),寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫(huà)出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.5、D【解析】

求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng),可轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng),再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項(xiàng)為,中項(xiàng)為,所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,考查學(xué)生計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時(shí)是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時(shí),單調(diào)遞減,時(shí)單調(diào)遞增.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算求解的能力,難度較難.7、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(),所以,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

求出,,,,,,判斷出是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列,求出即可.【詳解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用.9、C【解析】

取中點(diǎn),連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點(diǎn),連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設(shè),則,,,則,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線的夾角,考查計(jì)算能力.10、D【解析】

由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問(wèn)題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.11、B【解析】

根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí),則有種不同的方案;當(dāng)按照進(jìn)行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)差法得,再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點(diǎn)為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

采用列舉法計(jì)算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家學(xué)習(xí)只有1種情況,即(正,正),故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.14、;【解析】

求出函數(shù)的零點(diǎn),讓正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列,第三個(gè)正數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間上,第四個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間外即可.【詳解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點(diǎn),然后題意,把正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列,由于0已經(jīng)是一個(gè)零點(diǎn),因此只有前3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上.由此可得的不等關(guān)系,從而得出結(jié)論,本題解法屬于中檔題.15、3【解析】

先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,畫(huà)出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,即平移直線y=2x-z,截距最大時(shí)即為所求.2y+1=0x-y-1=0點(diǎn)A(12,z在點(diǎn)A處有最小值:z=2×1故答案為:32【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類問(wèn)題的基本方法.16、【解析】

根據(jù)圓柱的體積為,以及圓錐的體積公式,計(jì)算即得.【詳解】由題得,,得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐體的體積,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù),,成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列,通過(guò)直接對(duì)進(jìn)行賦值計(jì)算出的首項(xiàng)和公比,即可求解出的通項(xiàng)公式;(2)的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式,采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.【詳解】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公比為,,,解得(2),,,,.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用,難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法,可根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來(lái)判斷.18、(1)(2)【解析】

(1)不妨設(shè),,計(jì)算得到,根據(jù)面積得到,計(jì)算得到答案.(2)設(shè),,,聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到,,代入化簡(jiǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】(1)由題意不妨設(shè),,則,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程為.(2)設(shè),,,則.∵,∴,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得.∵在上,∴,∴上式可化為.∴,,,∴,,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,定值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1)l:,C方程為;(2)=【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)填表見(jiàn)解析;有的把握認(rèn)為,平均車(chē)速超過(guò)與性別有關(guān)(2)詳見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表,計(jì)算出的值,由此判斷出有的把握認(rèn)為,平均車(chē)速超過(guò)與性別有關(guān).(2)利用二項(xiàng)分布的知識(shí)計(jì)算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)平均車(chē)速超過(guò)的人數(shù)平均車(chē)速不超過(guò)的人數(shù)合計(jì)男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計(jì)352560因?yàn)椋?,所以有的把握認(rèn)為,平均車(chē)速超過(guò)與性別有關(guān).(2)服從,即,.所以的分布列如下0123的期望【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),考查二項(xiàng)分布分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)構(gòu)造直線所在平面,由面面平行推證線面平行;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩個(gè)平面的法向量,再由法向量之間的夾角,求得二面角的余弦值.【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)交于點(diǎn),連接,如下圖所示:因?yàn)槠矫嫫矫妫医痪€為,又四邊形為正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,故可得//,為中點(diǎn);又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危堑闹悬c(diǎn),故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因?yàn)槠矫?,故?即證.(2)連接,,作交于點(diǎn),由(1)可

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