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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.2.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.193.的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.634.木匠師傅對一個圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件,則該木件的體積()A. B. C. D.5.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)6.如圖所示,矩形的對角線相交于點(diǎn),為的中點(diǎn),若,則等于().A. B. C. D.7.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,設(shè),則()A. B. C. D.8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612429.已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為,發(fā)球次數(shù)為,若的數(shù)學(xué)期望,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點(diǎn)O的位置有關(guān)11.已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)在處取得極大值,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)命題:,,則:__________.14.已知,則=___________,_____________________________15.已知,則________.(填“>”或“=”或“<”).16.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn),并說明理由;(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.18.(12分)2018年9月,臺風(fēng)“山竹”在我國多個省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的面積.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設(shè)直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點(diǎn),.(1)若,求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn),若,求直線的斜率.21.(12分)購買一輛某品牌新能源汽車,在行駛?cè)旰?,政府將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費(fèi)者,就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查,其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)將頻率視為概率,從擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取人,記對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)統(tǒng)計(jì)最近個月該品牌汽車的市場銷售量,得其頻數(shù)分布表如下:月份銷售量(萬輛)試預(yù)計(jì)該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛?附:對于一組樣本數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.22.(10分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請問的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進(jìn)而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因?yàn)?,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.2、B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,模擬程序的運(yùn)行過程,代入四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.3、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出,則出,該項(xiàng)為:;②出,則出,該項(xiàng)為:;③出,則出,該項(xiàng)為:;綜上所述:合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識,考查理解能力,計(jì)算能力,分類討論和應(yīng)用意識.4、C【解析】
由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為,底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為,圓錐的高,圓錐母線,截去的底面弧的圓心角為120°,底面剩余部分的面積為,故幾何體的體積為:.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.5、B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍?!驹斀狻扛鶕?jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。6、A【解析】
由平面向量基本定理,化簡得,所以,即可求解,得到答案.【詳解】由平面向量基本定理,化簡,所以,即,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,其中解答熟記平面向量的基本定理,化簡得到是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,數(shù)基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時,,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時,,則,令則,當(dāng)時,,則在時單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,即,則在時單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.8、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。9、A【解析】
根據(jù)題意,分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知,,,則解得,由可得,答案選A【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解,易錯點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況:三次都不成功、第三次成功10、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點(diǎn)O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因?yàn)?,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.12、B【解析】
由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號,然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)在處取得極大值,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.時,,時,,當(dāng)或時,;當(dāng)時,.故選:【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值,判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù),由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項(xiàng),是判斷圖像問題常見方法,有一定難度.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、,【解析】
存在符號改任意符號,結(jié)論變相反.【詳解】命題是特稱命題,則為全稱命題,故將“”改為“”,將“”改為“”,故:,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全(特)稱命題.對全(特)稱命題進(jìn)行否定的方法:(1)改寫量詞:全稱量詞改寫為存在量詞,存在量詞改寫為全稱量詞;(2)否定結(jié)論:對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.14、?196?3【解析】
由二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)得:,令x=1,則1+a0+a1+…+a7=(1+1)×(1-2)7=-2,所以a0+a1+…+a7=-3,得解.【詳解】由二項(xiàng)式(1?2x)7展開式的通項(xiàng)得,則,令x=1,則,所以a0+a1+…+a7=?3,故答案為:?196,?3.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng),屬于中等題.15、【解析】
注意到,故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知,,故有.又由,故有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式比較大小,涉及到換底公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.16、【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)是函數(shù)的極大值點(diǎn),理由詳見解析;(2)1.【解析】
(1)將直接代入,對求導(dǎo)得,由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷,故而構(gòu)造函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況,最后得出,是函數(shù)的極大值點(diǎn);(2)利用題目已有條件得,再證明時,不等式恒成立,即證,從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:(1)當(dāng)時,.令,則當(dāng)時,.即在內(nèi)為減函數(shù),且∴當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).綜上,是函數(shù)的極大值點(diǎn).(2)由題意,得,即.現(xiàn)證明當(dāng)時,不等式成立,即.即證令則∴當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,的最大值為.∴當(dāng)時,.即當(dāng)時,不等式成立.綜上,整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值,最值,判斷函數(shù)的單調(diào)性,由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍,對學(xué)生要求較高,然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問題,為難題18、(1)3360元;(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個農(nóng)戶的平均損失;(2)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值,再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)記每個農(nóng)戶的平均損失為元,則;(2)由頻率分布直方圖,可得損失超過1000元的農(nóng)戶共有(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15(戶),損失超過8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50=3(戶),隨機(jī)抽取2戶,則X的可能取值為0,1,2;計(jì)算P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列為;X012P數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×+1×+2×=.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算問題,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)先消去參數(shù),化為直角坐標(biāo)方程,再利用求解.(2)直線與曲線方程聯(lián)立,得,求得弦長和點(diǎn)到直線的距離,再求的面積.【詳解】(1)由已知消去得,則,所以,所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2)由,得,設(shè),兩點(diǎn)對應(yīng)的極分別為,,則,,所以,又點(diǎn)到直線的距離所以【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點(diǎn)參數(shù)和,再利用M點(diǎn)的參數(shù)為A、B兩點(diǎn)參數(shù)和的一半即可求M的坐標(biāo);(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到,再利用計(jì)算即可,但要注意判別式還要大于0.【詳解】(1)由已知,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其普通方程為,當(dāng)時,將(為參數(shù))代入得,設(shè)直線l上A、B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為,中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為,則,所以的坐標(biāo)為;(2)將代入得,則,因?yàn)榧?,所以,故,由得,所?【點(diǎn)睛】本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.21、(1)1.7;(2),見解析;(2)2.【解析】
(1)平均數(shù)的估計(jì)值為每個小矩形組中值乘
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