統(tǒng)計學基礎第4章綜合指標

第4章

綜合指標

總量指標

基本指標綜合指標相對指標派生指標平均指標變異指標派生指標綜合指標從它的作用和方法特點的角度可概括為三類：

總量指標相對指標平均指標概念：

總量指標的概念總量指標是反映社會經濟現(xiàn)象一定時間、地點、條件下總的規(guī)模、水平的統(tǒng)計指標。

總量指標表現(xiàn)形式是絕對數(shù)，也可表現(xiàn)為絕對差數(shù)。

例如：2005年我國財政收入30510億元，財政支出33510億元，財政赤字3000億元?？偭恐笜说姆N類按反映的內容不同總體標志總量總體單位總量按反映的時間不同時期指標時點指標返回按其反映的內容不同可分為：總體總量指標——

說明總體的單位數(shù)數(shù)量。

標志總量指標——

說明總體中某個標志值總和的量。

總量指標的分類

按其反映的時間狀況不同可分為：時期指標——

反映現(xiàn)象在某一時期發(fā)展過程的總數(shù)量。(可連續(xù)計數(shù)，與時間長短有關，是累計結果)時點指標——

反映現(xiàn)象在某一時刻的狀況。(間斷計數(shù)，與時間間隔無關，不能累計)

時期指標與時點指標時期指標(又稱流量指標)表明總體在一段時間內累積的總量。時點指標(又稱存量指標)表明總體在某一時刻的數(shù)量狀態(tài)。時期指標和時點指標的區(qū)別：

區(qū)別

時期指標

時點指標123

數(shù)值是連續(xù)登記結果各期數(shù)值可以直接相加數(shù)值大小與時期長短成正比數(shù)值是間斷計數(shù)的結果各時點的數(shù)值相加沒有實際意義數(shù)值大小與時點間間隔沒有直接關系。返回

根據(jù)總量指標所反映的社會經濟現(xiàn)象性質不同，計量單位分三種形式：

(1)實物單位自然單位：輛、雙、頭、根、個……

b.度量衡單位：噸、米、克、立方米……

c.雙重單位：公里/小時、人/平方公里……d.復合單位：噸公里、公斤米、千瓦小時……

(2)價值單位(貨幣單位)

貨幣單位有現(xiàn)行價格和不變價格之分。

價值單位使不能直接相加的產品產量過渡到能夠加總，用于綜合說明具有不同使用價值的產品生產總量或商品銷售量等的總規(guī)模、總水平。(3)勞動單位

工時——

工人數(shù)和勞動時數(shù)的乘積；臺時——

設備臺數(shù)和開動時數(shù)的乘積。

例

由于具體條件不同，不同企業(yè)的勞動量指標不具有可比性，因此，勞動量指標只限于企業(yè)內部使用。

是兩個有聯(lián)系的絕對指標之比。

2005年我國對外貿易進口總額增長率為16.1%，出口總額增長率為25.7%。例

相對指標的概念

-人口密度：人/平方公里

-平均每人分攤的糧食產量：千克/人

系數(shù)或倍數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1；

成數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為10；百分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為100；

千分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1000。

相對指標的數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：無名數(shù)，分以下幾種:

有名數(shù)

相對指標的種類和計算方法相對指標計劃完成相對數(shù)結構相對數(shù)比例相對數(shù)比較相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)強度相對數(shù)返回(一)計劃完成相對指標

相對指標的種類及其計算1.計算公式(1)根據(jù)絕對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

計算結果表明該廠超額10%完成總產值計劃。

設某工廠某年計劃工業(yè)總產值為200萬元，實際完成220萬元，則：

(2)根據(jù)平均數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

某化肥廠某年每噸化肥計劃成本為200元，實際成本為180元，則：實際單位成本-計劃單位成本=180-200=-20(元)計算結果表明該廠化肥單位成本實際比計劃降低了10%，平均每噸化肥節(jié)約生產費用20元。例(3)根據(jù)相對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

某企業(yè)生產某產品，上年度實際成本為420元/噸，本年度計劃單位成本降低6%，實際降低7.6%，則：∴比計劃多完成1.71%；例本題也可換算成絕對數(shù)計算：

∴計劃

-6%～394.8元/噸[(1-6%)×420]實際–7.6%～388.08元/噸[(1-7.6%)×420]

某企業(yè)計劃規(guī)定勞動生產率比上年提高10%，實際比上年提高15%，則：∴勞動生產率超額4.5%完成計劃任務。例以五年計劃來說明這個問題。

2.長期計劃的檢查(1)水平法

計算公式為：

某產品計劃規(guī)定第五年產量56萬噸，實際第五年

產量63萬噸，則：

那么，提前多少時間完成計劃？例月份一二三四五六七八九十十一十二合計第四年3.53.543.843.84(4(555449.6第五年4445555)6)666763第四年9月～第五年8月產量合計57萬噸第四年8月～第五年7月產量合計55萬噸

現(xiàn)假定第四年、第五年各月完成情況如下：

(單位：萬噸)正好生產56萬噸的時間應是第四年八月第X天到第五年八月第(31-X)天。圖示如下：

∴X=15.5(天)即提前四個月又15天半完成五年計劃。

51(31-x)56(31-x)xx第四年9月～第五年7月第四年8月第五年8月（2）累計法

計算公式為：

提前完成計劃時間＝（計劃期月數(shù)－實際完成月數(shù)）+超額完成計劃數(shù)÷平均每日計劃數(shù)[例5]某市某五年計劃規(guī)定整個計劃期間基建投資總額達到500億元，實際執(zhí)行情況如下：時間第1年第2年第

3年第4年第5年5年合計一季度二季度三季度四季度投資額140135708040221820525試計算該市5年基建投資額計劃完成相對數(shù)和提前完成時間。解：

1.計劃完成相對數(shù)＝525÷500＝105％

2.從第一年的第一季度起至第5年的第三季度投資額之和505億元，比計劃數(shù)500億元多5億元，則：提前完成計劃時間＝（60-57）+5÷[500/（365×5）]=3個月零18天(二)

結構相對指標

計算公式為：

上海市“十五”期間GDP構成（%）

2001年2002年2003年2004年2005年第一產業(yè)1.731.631.491.300.87第二產業(yè)47.5847.4250.0950.8548.95第三產業(yè)50.6950.9548.4247.8550.18例(三)比例相對指標

計算公式為：

常用的比例形式有兩種：

1.將作為比較基礎的數(shù)值抽象化為1、10、100或1000，看被比較的數(shù)值是多少。

我國2000年第五次人口普查結果，男女性別比例為106.74:100，這說明以女性為100，男性人口是女性人口數(shù)的106.74倍。簡稱性比例106.74。目前已上升到116.86：100。

例2.首先將總體全部數(shù)值抽象化為100，求得各部分數(shù)值在總體中所占百分數(shù)，然后將各部分的百分數(shù)連比得比例相對數(shù)。

2005年北京市GDP抽象化為100，第一產業(yè)、第二產業(yè)、第三產業(yè)的比例為：0.87︰48.95︰50.18。

例(四)比較相對指標(類比相對指標)

計算公式為：

比較相對數(shù)的特點：

1.分子分母的數(shù)值分別屬于不同的總體。

2.分子分母是同類指標。

3.分子分母可以互換。

某年有甲、乙兩企業(yè)同時生產一種性能相同的產品，甲企業(yè)工人勞動生產率為19,307元，乙企業(yè)為27,994元。說明甲企業(yè)勞動生產率比乙企業(yè)低31%。例(五)強度相對指標

計算公式為：

①一般用復名數(shù)表示；

②也有少數(shù)用百分數(shù)或千分數(shù)表示。

1.強度相對數(shù)的數(shù)值表示有兩種方法：用百分數(shù)表示說明平均每百元銷售額負擔多少流通費。產值利潤率、資金利潤率一般用千分數(shù)表示。

例某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機構5000個，則：例2.有些強度相對數(shù)有正、逆兩種計算方法：(六)動態(tài)相對指標

計算公式為：

基期

——作為對比標準的時間報告期——

同基期比較的時期，也稱計算期

2.特點

-數(shù)量抽象性

-集中趨勢代表性1.概念

平均指標是指在同質總體內將各單位某一數(shù)量標志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

平均指標的意義和作用

-比較作用

a.同類現(xiàn)象在不同空間的對比。

b.同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標可以分析現(xiàn)象之間的依存關系

-利用平均指標可以進行數(shù)量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數(shù)量標準或參考3.作用

4.種類

算術平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù) 調和平均數(shù)幾何平均數(shù) 眾數(shù)

位置平均數(shù)

中位數(shù)1.算術平均數(shù)的基本公式

算術平均數(shù)

式中：——

算術平均數(shù)

X——

各單位的標志值

n——

總體單位數(shù)

——

總和符號2.簡單算術平均數(shù)式中：——

算術平均數(shù)

X——

各組數(shù)值

f——

各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權數(shù))3.加權算術平均數(shù)設某廠職工按日產量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產量。按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計-16413550例在掌握比重權數(shù)的情況下，可以直接利用權數(shù)系數(shù)來求加權算術平均數(shù)，其公式為：按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計-1641.0082.7加權算術平均數(shù)受兩因素的影響：

變量值大小的影響。次數(shù)多少的影響。

而簡單算術平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。加權算術平均數(shù)與簡單算術平均數(shù)不同在于：①各個變量值與算術平均數(shù)離差之和等于零4.算術平均數(shù)的數(shù)學性質簡單平均數(shù)：加權平均數(shù)：②各個變量值與算術平均數(shù)離差平方之和

等于最小值△算術平均數(shù)的特點算術平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變?。皇軜O大值的影響大于受極小值的影響；當組距數(shù)列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。

調和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)。三、調和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”)

其計算方法如下：在社會經濟統(tǒng)計學中經常用到的僅是一種特定權數(shù)的加權調和平均數(shù)。即有以下數(shù)學關系式成立：m是一種特定權數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標志值總量。已知某商品在三個集市貿易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合計-95000750001.由平均數(shù)計算平均數(shù)時調和平均數(shù)法的應用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產值(萬元)m=Xf實際產值÷計劃完成程度(%)(即計劃產值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計-1,1001,0002.由相對數(shù)計算平均數(shù)時調和平均數(shù)法的應用：例△調和平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一標志值等于零，則無法計算；較之算術平均數(shù)，受極端值的影響要小。1.簡單幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)(又稱“對數(shù)平均數(shù)”)計算時要進行對數(shù)變換，即：例

某機械廠有鑄造車間、機加工車間、裝配車間三個連續(xù)流水作業(yè)車間。本月份這三個車間產品合格率分別為95%、92%、90%，求平均車間產品合格率。解：這說明該廠車間產品平均合格率為92.31%2.加權幾何平均數(shù)△幾何平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和?。凰m用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標志值是各單位標志值的連乘積。由定義可看出眾數(shù)存在的條件：1.概念：眾數(shù)是在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個標志值

眾數(shù)M0M0M0M0M0M0若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，計算眾數(shù)是沒有意義的。①根據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)；價格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數(shù)M0=3.00(元)2.眾數(shù)的計算方法例②根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)⑵利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。⑴由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；按日產量分組(千克)工人人數(shù)(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數(shù)所在組。例計算眾數(shù)的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日產量眾數(shù)由上限公式，日產量眾數(shù)△眾數(shù)的特點

眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標志值的影響，從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標，當分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數(shù)可言；當變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數(shù)2.中位數(shù)的計算方法1.概念：將總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數(shù)。

中位數(shù)Me⑴n為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標志值

就是中位數(shù)。例⑵n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標志值的算術

平均數(shù)為中位數(shù)。②由單項數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產零件分組如下：按日產零件分組（件）工人數(shù)（人）較小制累計較大制累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例③由組距數(shù)列確定中位數(shù)

按日產量分組(千克)工人數(shù)(人)以下累計以上累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--下限公式（以下累計時用）：上限公式（以上制累計時用）：①中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個最小值。③對某些不具有數(shù)學特點或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。3.中位數(shù)的特點f如圖：(二）三者的關系1.當總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一,如圖：fX2.

當總體分布呈非對稱狀態(tài)時如圖：fX所以如果，則說明分布右偏（或上偏）如果，則說明分布左偏（或下偏）如果，則說明分布對稱一組工人的月收入眾數(shù)為700元，月收入的算術平均數(shù)為1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是：例根據(jù)卡爾·皮爾遜經驗公式，還可以推算出：

變異指標的種類和計算變異指標全距平均差標準差變異系數(shù)返回①標志變動度是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)。

標志變動度2.作用：1.概念：標志變動度是指總體中各單位標志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。

標志變動度的意義、作用和種類

甲、乙兩學生某次考試成績列表語文數(shù)學物理化學政治英語甲959065707585乙1107095508075

甲、乙兩學生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。例②標志變動度可用來反映社會生產和其他社會經濟活動過程的均衡性或協(xié)調性，以及產品質量的穩(wěn)定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標準差、離散系數(shù)等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標準差 S.D.(σ)離散系數(shù) Vσ①優(yōu)點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標志的變異程度。1.全距是總體各單位標志值最大值和最小值之差,2.全距的特點

全距R1.概念：將總體各單位的標志值按大小順序排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數(shù)，(其中第二個四分位數(shù)Q2就是數(shù)列的中位數(shù)Me)。

四分位差

Q.D.=Q3-Q1

四分位差Q.D.①根據(jù)未分組資料求Q.D.2.計算：例①四分位差不受兩端各25%數(shù)值的影響，能對開口組數(shù)列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；③四分位差不反映所有標志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標。四分位差的特點

平均差是數(shù)列中各單位標志值與平均數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。1.概念和計算：

平均差A.D.以某車間100個工人按日產量編成變量數(shù)列的資料：工人按日產量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合計100-4200-660例

平均差例題分析

某車間工人日產量量數(shù)據(jù)平均差計算表按日產量分組（件）工人數(shù)（人）f組中值

xxf40——5050——6060——7070——80122038104555657554011002470750189115161.5142.5

合計80

——4860608.0平均差例題分析

計算結果表明:每個工人日產量與平均日產量平均相差7.6件/人。(件/人)(件/人)①平均差是根據(jù)全部標志值與平均數(shù)離差而計算出的變異指標，能全面反映標志值的差異程度；②平均差計算有絕對值符號，不適合代數(shù)