查補(bǔ)易混易錯(cuò)09 帶電粒子在組合場(chǎng)、復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)-022年高考物理三輪沖刺過關(guān)（解析版）

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查補(bǔ)易混易錯(cuò)09帶電粒子在組合場(chǎng)、復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

本考點(diǎn)是高考命題的重點(diǎn)，多以計(jì)算題的形式出現(xiàn)，考查帶電粒子的多過程運(yùn)動(dòng)，考查考生的理解能力、推理論證能力和模型建構(gòu)能力，結(jié)合實(shí)際生活命題，考查考生利用物理知識(shí)分析實(shí)際問題情境的能力，對(duì)考生提出了高水平的思維要求。2021年湖南卷第13題、北京卷第18題、遼寧卷第15題、江蘇卷第15題等各地都對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行了考查。

【真題示例·2021·湖南卷·13】帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一、帶電粒子流（每個(gè)粒子的質(zhì)量為、電荷量為）以初速度垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。對(duì)處在平面內(nèi)的粒子，求解以下問題。

（1）如圖（a），寬度為的帶電粒子流沿軸正方向射入圓心為、半徑為的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場(chǎng)后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)，求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；

（2）如圖（a），虛線框?yàn)檫呴L(zhǎng)等于的正方形，其幾何中心位于。在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使匯聚到點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?，并沿軸正方向射出。求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向，以及該磁場(chǎng)區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）；

（3）如圖（b），虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長(zhǎng)等于的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長(zhǎng)等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使寬度為的帶電粒子流沿軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)椋⒀剌S正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。

【答案】（1）；（2），垂直與紙面向里，；（3），，，

【解析】（1）粒子垂直進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，在坐標(biāo)原點(diǎn)匯聚，滿足磁聚焦的條件，即粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑等于圓形磁場(chǎng)的半徑，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力

解得

（2）粒子從點(diǎn)進(jìn)入下方虛線區(qū)域，若要從聚焦的點(diǎn)飛入然后平行軸飛出，為磁發(fā)散的過程，即粒子在下方圓形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑等于磁場(chǎng)半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖所示，圖中圓形磁場(chǎng)即為最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域

磁場(chǎng)半徑為，根據(jù)可知磁感應(yīng)強(qiáng)度為

根據(jù)左手定則可知磁場(chǎng)的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶?，圓形磁場(chǎng)的面積為

（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，3和4為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓，1和2為粒子運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)的圓周

根據(jù)可知I和III中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

，

圖中箭頭部分的實(shí)線為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，可知磁場(chǎng)的最小面積為葉子形狀，取I區(qū)域如圖

圖中陰影部分面積的一半為四分之一圓周與三角形之差，所以陰影部分的面積為

類似地可知IV區(qū)域的陰影部分面積為

根據(jù)對(duì)稱性可知II中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)面積為

【易錯(cuò)分析】①考生不能理解“粒子流經(jīng)過磁場(chǎng)后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)”所指的意思，未能正確畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；②對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)的形狀判斷不明確。

【易錯(cuò)01】組合場(chǎng)中的兩種典型偏轉(zhuǎn)

垂直電場(chǎng)線進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)(不計(jì)重力)

垂直磁感線進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)(不計(jì)重力)

受力

情況

電場(chǎng)力FE＝qE，其大小、方向不變，與速度v無關(guān)，F(xiàn)E是恒力

洛倫茲力FB＝qvB，其大小不變，方向隨v而改變，F(xiàn)B是變力

軌跡

拋物線

圓或圓的一部分

運(yùn)動(dòng)

軌跡

求解

方法

利用類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解：

vx＝v0，x＝v0t

vy＝

eq\f(qE,m)

t，y＝

eq\f(qE,2m)

t2

偏轉(zhuǎn)角φ：tanφ＝

eq\f(vy,vx)

＝

eq\f(qEt,mv0)

半徑：r＝

eq\f(mv,qB)

周期：T＝

eq\f(2πm,qB)

偏移距離y和偏轉(zhuǎn)角φ要結(jié)合圓的幾何關(guān)系，利用圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律討論求解

運(yùn)動(dòng)

時(shí)間

t＝

eq\f(x,v0)

t＝

eq\f(φ,2π)

T＝

eq\f(φm,qB)

動(dòng)能

變化

不變

2.常見組合模型

(1)從電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)

電場(chǎng)中：加速直線運(yùn)動(dòng)

?

磁場(chǎng)中：勻速圓周運(yùn)動(dòng)

電場(chǎng)中：類平拋運(yùn)動(dòng)

?

磁場(chǎng)中：勻速圓周運(yùn)動(dòng)

(2)從磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)

磁場(chǎng)中：勻速圓周運(yùn)動(dòng)

?

電場(chǎng)中：勻變速直線運(yùn)動(dòng)(v與E同向或反向)

磁場(chǎng)中：勻速圓周運(yùn)動(dòng)

?

電場(chǎng)中：類平拋運(yùn)動(dòng)(v與E垂直)

【易錯(cuò)02】帶電粒子在疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1．帶電粒子在包含勻強(qiáng)磁場(chǎng)的疊加場(chǎng)中無約束情況下運(yùn)動(dòng)的幾種常見形式

受力特點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

方法規(guī)律

其他場(chǎng)力的合力與洛倫茲力等大反向

勻速直線運(yùn)動(dòng)

平衡條件

除洛倫茲力外，其他力的合力為零

勻速圓周運(yùn)動(dòng)

牛頓第二定律、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

除洛倫茲力外，其他力的合力既不為零，也不與洛倫茲力等大反向

較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)

動(dòng)能定理、能量守恒定律

2.帶電粒子在疊加場(chǎng)中有約束情況下的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在疊加場(chǎng)中受輕桿、輕繩、圓環(huán)、軌道約束的情況下，常見的運(yùn)動(dòng)形式有直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)，分析時(shí)應(yīng)注意：

(1)分析帶電粒子所受各力，尤其是洛倫茲力的變化情況，分階段明確物體的運(yùn)動(dòng)情況。

(2)根據(jù)物體各階段的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，選擇合適的規(guī)律求解。

①勻速直線運(yùn)動(dòng)階段：應(yīng)用平衡條件求解。

②勻加速直線運(yùn)動(dòng)階段：應(yīng)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解。

③變加速直線運(yùn)動(dòng)階段：應(yīng)用動(dòng)能定理、能量守恒定律求解。

【易錯(cuò)03】帶電粒子在交變電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

(1)解決帶電粒子在交變電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，關(guān)鍵要明確粒子在不同時(shí)間段內(nèi)、不同區(qū)域內(nèi)的受力特性，對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)情景、運(yùn)動(dòng)性質(zhì)做出判斷．

(2)這類問題一般都具有周期性，在分析粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意粒子的運(yùn)動(dòng)周期、電場(chǎng)周期、磁場(chǎng)周期的關(guān)系．

(3)帶電粒子在交變電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)仍遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、動(dòng)能定理、能量守恒定律等力學(xué)規(guī)律，所以此類問題的研究方法與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)相同．

1.（2021·河北卷）如圖，一對(duì)長(zhǎng)平行柵極板水平放置，極板外存在方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，極板與可調(diào)電源相連，正極板上O點(diǎn)處的粒子源垂直極板向上發(fā)射速度為、帶正電的粒子束，單個(gè)粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，一足夠長(zhǎng)的擋板與正極板成傾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，C、P是負(fù)極板上的兩點(diǎn)，C點(diǎn)位于O點(diǎn)的正上方，P點(diǎn)處放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收從上方打入的粒子，長(zhǎng)度為，忽略柵極的電場(chǎng)邊緣效應(yīng)、粒子間的相互作用及粒子所受重力。。

（1）若粒子經(jīng)電場(chǎng)一次加速后正好打在P點(diǎn)處的粒子靶上，求可調(diào)電源電壓的大小；

（2）調(diào)整電壓的大小，使粒子不能打在擋板上，求電壓的最小值；

（3）若粒子靶在負(fù)極板上的位置P點(diǎn)左右可調(diào)，則負(fù)極板上存在H、S兩點(diǎn)（，H、S兩點(diǎn)末在圖中標(biāo)出）、對(duì)于粒子靶在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，當(dāng)電壓從零開始連續(xù)緩慢增加時(shí)，粒子靶均只能接收到n（）種能量的粒子，求和的長(zhǎng)度（假定在每個(gè)粒子的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中電壓恒定）。

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】（1）從O點(diǎn)射出的粒子在板間被加速，則:

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，則半徑:

由:

解得:

（2）當(dāng)電壓有最小值時(shí)，當(dāng)粒子穿過下面的正極板后，圓軌道與擋板OM相切，此時(shí)粒子恰好不能打到擋板上，則

從O點(diǎn)射出的粒子在板間被加速，則:

粒子在負(fù)極板上方的磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng):

粒子從負(fù)極板傳到正極板時(shí)速度仍減小到v0，則:

由幾何關(guān)系可知:

聯(lián)立解得

（3）結(jié)合（2）分析可知，當(dāng)粒子經(jīng)上方磁場(chǎng)再進(jìn)入下方磁場(chǎng)時(shí)，軌跡與擋板相切時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑分別為r2、r3，則：

①當(dāng)粒子在下方區(qū)域磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡正好與OM相切，再進(jìn)入上方磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡與負(fù)極板的交點(diǎn)記為H2，當(dāng)增大兩極板的電壓，粒子在上方磁場(chǎng)中恰好運(yùn)動(dòng)到H2點(diǎn)時(shí)，粒子靶恰好能夠接收2種能量的粒子，此時(shí)H2點(diǎn)為距C點(diǎn)最近的位置，是接收2種能量的粒子的起點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可得：

②同理可知當(dāng)粒子靶接收3種能量的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

第③個(gè)粒子經(jīng)過下方磁場(chǎng)時(shí)軌跡與MN相切，記該粒子經(jīng)過H2后再次進(jìn)入上方磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡與負(fù)極板的交點(diǎn)為H3(S2)，則該點(diǎn)為接收兩種粒子的終點(diǎn)，同時(shí)也是接收3種粒子的起點(diǎn)。由幾何關(guān)系可得：

可知，粒子靶接收n種、n+1種粒子的起點(diǎn)（即粒子靶接收n種粒子的起點(diǎn)與終點(diǎn)）始終相距：

當(dāng)粒子靶接收n種能量的粒子時(shí)，可得

【易錯(cuò)分析】①考生未能理解“調(diào)整電壓的大小，使粒子不能打在擋板上”的確切含義，不能建構(gòu)粒子的運(yùn)動(dòng)模型，不能畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；②考生不能構(gòu)建不同能量的粒子進(jìn)入組合場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)情況，不能抽象出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；③考生不能由幾何關(guān)系得到粒子的運(yùn)動(dòng)半徑與CH之間的關(guān)系式一般表達(dá)式。

2.（2021·全國(guó)甲卷）如圖，長(zhǎng)度均為l的兩塊擋板豎直相對(duì)放置，間距也為l，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的粒子自電場(chǎng)中某處以大小為v0的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)過程中粒子未與擋板碰撞。已知粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°，不計(jì)重力。

（1）求粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離；

（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍；

（3）若粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與擋板MN的最近距離。

【答案】（1）；（2）；（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡見解析，

【解析】（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知

①

②

粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°，有:③

粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離:④

由①②③④式得

⑤

（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度:⑥

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)兩個(gè)臨界軌跡（分別從Q、N點(diǎn)射出）如圖所示

由幾何關(guān)系可知，最小半徑:⑦

最大半徑:⑧

帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，由向心力公式可知

⑨

由⑥⑦⑧⑨解得，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小取值范圍

（3）若粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。

由幾何關(guān)系可知:⑩

帶電粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為:?

粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與擋板MN的最近距離:?

由⑩??式解得:?

【易錯(cuò)分析】①考生未能理解和區(qū)分粒子在兩種場(chǎng)中的受力，未能區(qū)別平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)這兩種運(yùn)動(dòng)形式；②考生未能構(gòu)建兩個(gè)運(yùn)動(dòng)模型，即粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，屬于平拋運(yùn)動(dòng)模型；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型；③考生在答題時(shí)利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行推理論證能力表現(xiàn)不足：P點(diǎn)是類平拋運(yùn)動(dòng)的末點(diǎn)也是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵所在；④考生未能根據(jù)幾何知識(shí)推證出兩種臨界狀態(tài)的對(duì)應(yīng)軌跡半徑，然后求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化范圍。

3.（2020·全國(guó)Ⅱ卷）CT掃描是計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描技術(shù)的簡(jiǎn)稱，CT掃描機(jī)可用于對(duì)多種病情的探測(cè)。圖（a）是某種CT機(jī)主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖（b）所示。圖（b）中M、N之間有一電子束的加速電場(chǎng)，虛線框內(nèi)有勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始沿帶箭頭的實(shí)線所示的方向前進(jìn)，打到靶上，產(chǎn)生X射線（如圖中帶箭頭的虛線所示）；將電子束打到靶上的點(diǎn)記為P點(diǎn)。則（）

A.M處的電勢(shì)高于N處的電勢(shì)

B.增大M、N之間的加速電壓可使P點(diǎn)左移

C.偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向外

D.增大偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可使P點(diǎn)左移

【答案】D

【解析】A．由于電子帶負(fù)電，要在MN間加速則MN間電場(chǎng)方向由N指向M，根據(jù)沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低可知M的電勢(shì)低于N的電勢(shì)，故A錯(cuò)誤；

B．增大加速電壓則根據(jù)

可知會(huì)增大到達(dá)偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的速度；又根據(jù)在偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力有

可得

可知會(huì)增大在偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑，由于磁場(chǎng)寬度相同，故根據(jù)幾何關(guān)系可知會(huì)減小偏轉(zhuǎn)的角度，故P點(diǎn)會(huì)右移，故B錯(cuò)誤；

C．電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，故C錯(cuò)誤；

D．由B選項(xiàng)的分析可知，當(dāng)其它條件不變時(shí)，增大偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度會(huì)減小半徑，從而增大偏轉(zhuǎn)角度，使P點(diǎn)左移，故D正確。

故選D。

【易錯(cuò)分析】①考生容易出現(xiàn)審題錯(cuò)誤，誤把第二個(gè)磁場(chǎng)當(dāng)作偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)；②數(shù)學(xué)能力缺失，不能把偏轉(zhuǎn)的圓心角和半徑的變化聯(lián)系在一起。

4.（2021·江蘇卷）如圖1所示，回旋加速器的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域以O(shè)點(diǎn)為圓心，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，加速電壓的大小為U、質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從O附近飄入加速電場(chǎng)，多次加速后粒子經(jīng)過P點(diǎn)繞O做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，粒子在電場(chǎng)中的加速時(shí)間可以忽略。為將粒子引出磁場(chǎng)，在P位置安裝一個(gè)“靜電偏轉(zhuǎn)器”，如圖2所示，偏轉(zhuǎn)器的兩極板M和N厚度均勻，構(gòu)成的圓弧形狹縫圓心為Q、圓心角為，當(dāng)M、N間加有電壓時(shí)，狹縫中產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的電場(chǎng)，使粒子恰能通過狹縫，粒子在再次被加速前射出磁場(chǎng)，不計(jì)M、N間的距離。求：

（1）粒子加速到P點(diǎn)所需要的時(shí)間t；

（2）極板N的最大厚度；

（3）磁場(chǎng)區(qū)域的最大半徑。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)粒子在P的速度大小為，則根據(jù)

可知半徑表達(dá)式為

對(duì)粒子在靜電場(chǎng)中的加速過程，根據(jù)動(dòng)能定理有

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為

粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

解得

（2）由粒子的運(yùn)動(dòng)半徑，結(jié)合動(dòng)能表達(dá)式變形得

則粒子加速到P前最后兩個(gè)半周的運(yùn)動(dòng)半徑為

，

由幾何關(guān)系有

結(jié)合解得

（3）設(shè)粒子在偏轉(zhuǎn)器中的運(yùn)動(dòng)半徑為，則在偏轉(zhuǎn)器中，要使粒子半徑變大，電場(chǎng)力應(yīng)和洛倫茲力反向，共同提供向心力，即

設(shè)粒子離開偏轉(zhuǎn)器的點(diǎn)為，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為。由題意知，在上，且粒子飛離磁場(chǎng)的點(diǎn)與、在一條直線上，如圖所示。

粒子在偏轉(zhuǎn)器中運(yùn)動(dòng)的圓心在點(diǎn)，從偏轉(zhuǎn)器飛出，即從點(diǎn)離開，又進(jìn)入回旋加速器中的磁場(chǎng)，此時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑又變?yōu)椋缓筌壽E發(fā)生偏離，從偏轉(zhuǎn)器的點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，那么磁場(chǎng)的最大半徑即為

將等腰三角形放大如圖所示。

虛線為從點(diǎn)向所引垂線，虛線平分角，則

解得最大半徑為

5．（2021·遼寧卷）如圖所示，在x>0區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在x<0區(qū)域內(nèi)存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子甲從點(diǎn)S（-a，0）由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，與靜止在點(diǎn)P（a，a）、質(zhì)量為的中性粒子乙發(fā)生彈性正碰，且有一半電量轉(zhuǎn)移給粒子乙。（不計(jì)粒子重力及碰撞后粒子間的相互作用，忽略電場(chǎng)、磁場(chǎng)變化引起的效應(yīng)）

（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；

（2）若兩粒子碰撞后，立即撤去電場(chǎng)，同時(shí)在x≤0區(qū)域內(nèi)加上與x>0區(qū)域內(nèi)相同的磁場(chǎng)，求從兩粒子碰撞到下次相遇的時(shí)間△t；

（3）若兩粒子碰撞后，粒子乙首次離開第一象限時(shí)，撤去電場(chǎng)和磁場(chǎng)，經(jīng)一段時(shí)間后，在全部區(qū)域內(nèi)加上與原x>0區(qū)域相同的磁場(chǎng)，此后兩粒子的軌跡恰好不相交，求這段時(shí)間內(nèi)粒子甲運(yùn)動(dòng)的距離L。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）粒子甲勻速圓周運(yùn)動(dòng)過P點(diǎn)，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑

R=a

則

則

粒子從S到O，有動(dòng)能定理可得

可得

（2）甲乙粒子在P點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰后速度為、，取向上為正，則有

計(jì)算可得

兩粒子碰后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

解得

兩粒子在磁場(chǎng)中一直做軌跡相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期分別為

則兩粒子碰后再次相遇

解得再次相遇時(shí)間

（3）乙出第一象限時(shí)甲在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角度為

撤去電場(chǎng)磁場(chǎng)后，兩粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，再整個(gè)區(qū)域加上相同的磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中仍做半徑為a的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求軌跡恰好不相切，則如圖所示

設(shè)撤銷電場(chǎng)、磁場(chǎng)到加磁場(chǎng)乙運(yùn)動(dòng)了，由余弦定理可得

則從撤銷電場(chǎng)、磁場(chǎng)到加磁場(chǎng)乙運(yùn)動(dòng)的位移

【答案】（1）；方向豎直向上；（2）；（3）

【解析】

（1）小球在第四象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

qE2=mg①

得

②

小球釋放后進(jìn)入第一象限，故小球帶正電，可得電場(chǎng)方向豎直向上

（2）小球在第一象限做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球，有

③

④

⑤

由③④⑤得

小球再次回到第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，如圖所示，有

豎直方向

⑥

水平方向

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得

（3）假設(shè)x軸下方勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，從P點(diǎn)釋放的小球進(jìn)入磁場(chǎng)，有

⑨

⑩

假設(shè)Q點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為yQ，對(duì)從Q點(diǎn)釋放的小球，進(jìn)入第一象限的速度v1，同理可得

?

從Q點(diǎn)釋放的小球進(jìn)入x軸下方，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

?

從Q點(diǎn)釋放的小球在第二象限做直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力和重力的合力與洛倫茲力大小相等，v1與x軸夾角θ=45°，有

?

電場(chǎng)力和重力的合力與洛倫茲力方向相反，則MQ與NQ必然垂直，由幾何關(guān)系，得

?

由⑨⑩????并代入R，得

6.（2021·福建省南平市二檢）如圖，豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，x軸水平，在第二象限內(nèi)有一段光滑絕緣圓弧軌道，軌道末端與x軸相切于O點(diǎn)。第一象限內(nèi)存在垂直紙面向里勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中有一個(gè)半徑為L(zhǎng)的圓形區(qū)域，圓心D與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為，OD長(zhǎng)為?，F(xiàn)有一電荷量為+q，質(zhì)量為m的帶電小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），從絕緣軌道上距x軸高度為H（H未知）處靜止釋放，并沿水平方向從O點(diǎn)進(jìn)入第一象限，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡恰與圖中圓形區(qū)域外切，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，重力加速度為g，求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；

（2）高度H為多少；

（3）若僅將OD所在直線上方的磁場(chǎng)反向，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不變，并將小球放在絕緣軌道上距離x軸高度大于H的任意位置，由靜止釋放。則能到達(dá)A（4L，4L）處的小球從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A所經(jīng)過的時(shí)間。

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）帶電微粒在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

mg=Eq

解得

（2）假設(shè)帶電微粒從距x軸H高處釋放，到達(dá)O點(diǎn)處速率為v，由動(dòng)能定理∶

在第一象限的電磁場(chǎng)中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，其中r表示微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑得

由幾何關(guān)系和余弦定理得

解得

（3）假設(shè)進(jìn)入第一象限的微粒恰好能到達(dá)（4L，4L）處，其半徑為r，由幾何關(guān)系得

或

又，得

n=1、2、3

則n=1時(shí)

，

n=2時(shí)

，

n=3時(shí)

，

7.（2021·山東省煙臺(tái)市三模）如圖所示xOy坐標(biāo)系，在y>0空間存在場(chǎng)強(qiáng)為E，方向沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y<0的空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。P點(diǎn)位于y軸上，距離原點(diǎn)O的距離為OP=h，一質(zhì)量為m，帶電荷量為的帶電粒子，從P點(diǎn)以垂直于y軸的初速度射出，粒子重力和空氣阻力忽略不計(jì)。

（1）若帶電粒子飛出后經(jīng)過x軸上的D點(diǎn)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，運(yùn)動(dòng)一周后又回到P點(diǎn)，試求O、D之間的距離d的大?。?/p>

（2）在（1）的條件下，求出相應(yīng)v0的大小；

（3）若帶電粒子經(jīng)過在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，最終能擊中與O相距為d的D點(diǎn)，試討論初速度v0所有可能滿足的條件。（用m、q、B、E、d、h表示）

【答案】（1）；（2）；（3）（n=0，1，2，…）或（n=1，2，3，…）

【解析】

（1）如圖1所示，帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子以速度vD經(jīng)過D點(diǎn)，vD與x軸正向的夾角為α。進(jìn)入磁場(chǎng)后，沿半徑為R的圓弧運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)D′，又從D′進(jìn)入電場(chǎng)做類斜拋運(yùn)動(dòng)最后回到P點(diǎn)，由此可知D′與D關(guān)于O對(duì)稱，即

①

由幾何關(guān)系可得

d=Rsinα②

對(duì)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力公式有

③

vD在y軸方向的分速度大小為

④

設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為a，根據(jù)牛頓第二定律有

qE=ma⑤

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

⑥

聯(lián)立①~⑥式解得

⑦

（2）粒子在電場(chǎng)中沿x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有

d=v0t⑧

沿y方向做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有

⑨

聯(lián)立⑤⑧⑨式解得

⑩

（3）Ⅰ.假設(shè)粒子從P點(diǎn)飛出后，歷經(jīng)磁場(chǎng)n次，最終從x軸上方擊中D點(diǎn)，當(dāng)n=0時(shí)，恰好對(duì)應(yīng)粒子未經(jīng)過磁場(chǎng)直接擊中D點(diǎn)的情形，如圖2所示。

圖2

粒子經(jīng)過磁場(chǎng)回轉(zhuǎn)一次，在x軸方向倒退距離為

?

其中

?

設(shè)粒子自P點(diǎn)飛出后在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)水平位移大小為，粒子從D2出磁場(chǎng)后經(jīng)電場(chǎng)再次到達(dá)x軸，前進(jìn)2dn。如此歷經(jīng)n次循環(huán)，應(yīng)有

（n=0，1，2，…）?

根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得

?

?

聯(lián)立????解得

（n=0，1，2，…）?

Ⅱ.假設(shè)粒子從P點(diǎn)飛出后，再經(jīng)磁場(chǎng)回轉(zhuǎn)，又斜向上進(jìn)入電場(chǎng)，如此循環(huán)，歷經(jīng)磁場(chǎng)n次，最終從x軸下方擊中D點(diǎn)，