正方形的性質與判定（第1課時） 【教材精講精研】 九年級數學上冊 （北師大版）

第一章特殊平行四邊形北師大版八年級數學上冊崇德尚禮篤學求真3.1正方形的性質與判定學習&目標1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會運用正方形的判定條件進行有關的論證和計算.3.探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.（重點）4.會運用正方形的判定條件進行有關的論證和計算.（難點）正方形的定義有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。平行四邊形一組鄰邊相等一個角是直角正方形情境&導入正方形的對角線相等并且互相垂直平分.正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的定義情境&導入如圖，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開．怎樣剪才能剪出一個正方形？提示：剪口線與折痕成45°角即可。探索&交流滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結論，并與同伴交流．

議一議有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角對角線相等對角線垂直探索&交流活動1

準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形一組鄰邊相等對角線互相垂直正方形活動2

把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？菱形一個角是直角對角線相等正方形探索&交流探索&交流

議一議（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？（2）你認為正方形具有哪些性質？與同伴交流.正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質.探索&交流相關圖形性質的關系平行四邊形的性質對邊平行且相等對角相等對角線互相平分菱形的性質四條邊相等對角線互相垂直四個角都是直角對角線相等矩形的性質正方形的性質探索&交流已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD.探索&交流已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.正方形的性質定理：正方形的四個角都是直角，四條邊相等.定理：正方形的對角線相等并且互相垂直平分.探索&交流

想一想正方形有幾條對稱軸？正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.正方形有4條對稱軸.正方形對角線邊邊對角線對角線角對邊平行且相等相互平分相等四個角相等都是90°相互垂直且平分對角四邊相等對稱性軸對稱圖形（4條對稱軸）探索&交流面積為邊長的平方或對角線長平方的一半.例題&解析

例題欣賞?例1.如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F為BC延長線上一點，且CE＝CF.BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四條邊相等，四個角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.例題&解析(2)延長BE交DF于點M(如圖)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.探索&交流

議一議

平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有么關系？你能用一個你喜歡的方式直觀地示它們之間的關系嗎？與同伴交流.矩形菱形正方形平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質,正方形都有.例題&解析

例題欣賞?例2.如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，F為BC延長線上一點，CE=CF.(1)求證：△BCE≌△DCF；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度數.例題&解析（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.（2）解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=60°-45°=15°.證明：練習&鞏固1.正方形具有而菱形不一定具有的性質（）

A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等練習&鞏固2.如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長是(

)A．3

B．4

C．5

D．6練習&鞏固3.如圖，在正方形ABCD中，兩條對角線相交于O點，OA=2，求∠AOB、∠O