概率論第一章課件

1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主講教師：陳紅燕部門：基礎(chǔ)教育學(xué)院2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門研究和探索隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是數(shù)學(xué)的分支學(xué)科,在金融、保險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)、管理、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、氣象與自然災(zāi)害預(yù)報(bào)等等方面都起到非常重要的作用。我校本著培養(yǎng)應(yīng)用型人才的辦學(xué)宗旨，重基礎(chǔ)、重實(shí)踐、強(qiáng)應(yīng)用，將這門課程列為經(jīng)管與理工類各專業(yè)的必修課，以培養(yǎng)學(xué)生處理隨機(jī)現(xiàn)象的能力，適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展和需求。

課程簡(jiǎn)介3

概率論：是根據(jù)大量同類的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷，并對(duì)這種出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述，比較這些可能性的大小，研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一套數(shù)學(xué)理論和方法。本內(nèi)容以具有不確定性的隨機(jī)現(xiàn)象為研究對(duì)象，以探討和研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性為任務(wù)，主要研究隨機(jī)事件及其概率，隨機(jī)變量及其概率分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征。4

數(shù)理統(tǒng)計(jì)：是應(yīng)用概率的理論來(lái)研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，對(duì)通過(guò)科學(xué)安排一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)方法給出嚴(yán)格的理論證明，并判定各種方法應(yīng)用的條件及方法，公式、結(jié)論的可靠程度的局限性，使我們能從一組樣本來(lái)判定是否能以相當(dāng)大的概率來(lái)保證某一判斷是正確的。并可以控制發(fā)生錯(cuò)誤的概率，通過(guò)對(duì)點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)的研究，介紹了怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，并對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷或預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決斷和行動(dòng)提供可靠依據(jù)和建議。5關(guān)鍵詞：隨機(jī)事件 頻率和概率古典概型 條件概率 事件的獨(dú)立性第一章隨機(jī)事件及其概率6Definition：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽(yáng)東升西落”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”等等.“水從高處流向低處”,例1兩種現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象.§1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件一、基本概念7

Definition：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.例2

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象

結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.8結(jié)果有可能為:

例3

“拋擲一枚骰子,觀觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.“1”,“2”,“3”,“4”,“5”，“6”.例4

“一只燈泡的壽命”可長(zhǎng)可短.

例5

“對(duì)某路公交車某站點(diǎn)下車人數(shù)”，人數(shù)可能多可能少.9

隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的.如何來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象?10

例6（1）拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果；（2）拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；（3）對(duì)某路公交車某站點(diǎn)下車人數(shù)；（4）從一批燈泡中任取一只，測(cè)試其壽命；

它們具有以下特性：

(1)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行

(2)事先知道所有可能出現(xiàn)的結(jié)果

(3)進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果一定會(huì)發(fā)生3.隨機(jī)試驗(yàn)Definition：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)。在概率論中，將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為E.11

4.樣本空間Definition：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間，記為S={e}，稱S中的元素e為基本事件或樣本點(diǎn)．

一枚硬幣拋一次S={0,1,2,…}；S={正面H，反面T}；

某路公交車某站點(diǎn)下車人數(shù)

從一批燈泡中任取一只，測(cè)試其壽命

拋擲一枚骰子S={1，2，3，4，5，6}；12Definition：樣本空間S的子集A稱為隨機(jī)事件，A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生。

例7某路公交車某站點(diǎn)下車人數(shù)，S={0,1,2,…}；

記A＝{至少有10人下車}＝{10,11,12,…}A為隨機(jī)事件，A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。如果將S亦視作事件，則每次試驗(yàn)S總是發(fā)生， 故又稱S為必然事件。為方便起見，記為不可能事件，不包含 任何樣本點(diǎn)。 5.隨機(jī)事件131.包含關(guān)系若事件A出現(xiàn),必然導(dǎo)致B出現(xiàn),則稱事件B包含事件A,記作例8

“長(zhǎng)度不合格”必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長(zhǎng)度不合格”.圖示

B包含

A.SBA★二、隨機(jī)事件間的關(guān)系14若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.2.事件的和(并)例8’

某種產(chǎn)品(如圓柱體)的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長(zhǎng)度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

SBA153.事件的交(積)推廣16圖示事件A與B的積事件.SABAB例8’

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的交或積事件.17和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)18例2’

拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”是互不相容的兩個(gè)事件.4.事件的互不相容(互斥)

若事件A、B滿足則稱事件A與B互不相容.195.事件的差圖示A與B的差SABSB例8’“長(zhǎng)度合格但直徑不合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的差.A事件“A出現(xiàn)而B不出現(xiàn)”，稱為事件A與B的差.記作A-B(或)20

若事件A、B滿足則稱A與B為對(duì)立

(或互逆)事件.A的逆記作

例3’

骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”圖示A與B的對(duì)立.SBA6.事件的對(duì)立（互逆）對(duì)立21三、事件間的運(yùn)算22

德·摩根（1806～1871）

主要在分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史及邏輯學(xué)等方面作出重要的貢獻(xiàn)。他提出的「雙重代數(shù)」，對(duì)建立復(fù)數(shù)性質(zhì)的幾何表示有一定的幫助。德·摩根對(duì)數(shù)學(xué)史亦十分精通，曾為牛頓及哈雷作傳，并制作了17世紀(jì)科學(xué)家的通訊錄索引。此外，他在算術(shù)、代數(shù)、三角等方面亦撰寫了不少教材，主要著作有《微積分學(xué)》﹝1842﹞及《形式邏輯》﹝1847﹞等。他亦是最早試圖解決四色問(wèn)題的人，并對(duì)四色問(wèn)題作了一些推進(jìn)。至于在邏輯學(xué)方面，他發(fā)展了一套適合推理的符號(hào)，并首創(chuàng)關(guān)系邏輯的研究。他提出了論域概念，并以代數(shù)的方法研究邏輯的演算，建立出著名的德摩根定律。23例9設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來(lái).(5)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(4)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(2)三個(gè)事件都出現(xiàn);(1)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(6)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);24解25小結(jié)：基本概念（隨機(jī)現(xiàn)象，樣本空間，隨機(jī)事件）；隨機(jī)事件間的關(guān)系（集合間關(guān)系）；事件間的運(yùn)算.作業(yè)布置P6：2;P26：1.26復(fù)習(xí)：1、基本概念：隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間，隨機(jī)事件.2、隨機(jī)事件間的關(guān)系：（1）：至少；（2）：同時(shí)；（3）：A發(fā)生B不發(fā)生；（4）.

練習(xí)題：甲乙兩人向同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，A表示甲擊中，B表示乙擊中，用A,B表示下列事件：（1）甲乙同時(shí)擊中；（2）乙未擊中（3）甲擊中且乙未擊中；（4）目標(biāo)被擊中；（5）目標(biāo)未被擊中；（6）恰好有一人擊中.27§1.2

隨機(jī)事件的概率一、頻率

Definition：記 其中為A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；為總試驗(yàn)次數(shù).稱為A在這

次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率.頻率反映了事件A發(fā)生的頻繁程度.28*頻率的性質(zhì)：且隨的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為．

29概率的可列可加性二、概率的公理化定義30證明由概率的可列可加性得★

概率的性質(zhì)31概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得32證明33證明由圖可得得因此得34推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況35§1.3等可能概型（古典概型）Definition：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下特征（1）試驗(yàn)的樣本空間中含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；（2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機(jī)試驗(yàn)為等可能概型或古典概型。如例：拋硬幣，擲篩子等36古典概型中事件的概率計(jì)算設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則事件A的概率為：

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)37解:試出現(xiàn)正面用H表示,出現(xiàn)反面用T表示,則樣本空間

S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},

樣本點(diǎn)總數(shù)n=8.A={HTT，THT，TTH}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中樣本點(diǎn)數(shù)分別為3,1,7,例1

拋一枚均勻硬幣3次,設(shè)事件A為“恰有1次出現(xiàn)正面”,B為“3次均出現(xiàn)正面”,C為“至少一次出現(xiàn)正面”,試求

P(A),P(B),P(C).則P(A)=3／8,P(B)=1／8,P(C)=7／8.38從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種從3個(gè)元素取出2個(gè)的組合總數(shù)有3種排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.39例24只白球和2只紅球放在一袋中，隨機(jī)取球兩次，每次取一只，分別作(a)不放回抽樣，(b)放回抽樣，求（1）取到兩球都是白球的概率（2）兩球同色的概率（3）取到兩球中至少有一白球的概率解：(a)不放回情況（1）（2）（3）40解：(b)放回情況（1）（2）（3）41例3

將n只球隨機(jī)的放入N(N≥n)個(gè)盒子中去，試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率為

有r個(gè)人，每個(gè)人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩人同天生日”的概率.42

人數(shù)至少有兩人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個(gè)人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計(jì)算出來(lái)的.實(shí)際上,這個(gè)假定并不完全成立，有關(guān)的實(shí)際概率比表中給出的還要大.當(dāng)人數(shù)超過(guò)23時(shí)，打賭說(shuō)至少有兩人同生日是有利的.43例4有N件產(chǎn)品，其中有D件次品，今從中任取n件，恰有k件次品的概率是多少？（不放回抽樣）超幾何分布44例5袋中有a只白球，b只紅球，a+b個(gè)人依次在袋中取一只球，（1）放回抽樣(2)不放回抽樣，求第k個(gè)人取到白球的概率解：45

解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來(lái)訪者都是在周二、周四的概率為212/712=0.0000003.例6：某接待站在某一周曾接待12次來(lái)訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?

人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實(shí)際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來(lái)訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。46

引例袋中有6只球，其中4只白球，2只紅球，每人依次從袋中各取一球(不放回)，問(wèn)（1）第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？（2）已知第一個(gè)人取到紅球，第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？分析設(shè)A表示第一次取到紅球，B表示第二次取到紅球，將在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率記作P(B|A).則（1）P(B)=1/3

（2）P(B|A)=1/5§1.4條件概率47

若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道A已發(fā)生,故A變成了新的樣本空間,于是有公式(1).

設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱（1）

一、條件概率為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.482.對(duì)于必然事件S，P(S|A)=1.設(shè)A是一事件，且P(A)>0,則1.對(duì)任一事件A，0≤P(B|A)≤1;

而且，前面對(duì)概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率：3.設(shè)B1,…,Bn,…互不相容，則條件概率的性質(zhì)：4950例1 一只盒子裝有4只產(chǎn)品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品二次，不放回抽樣，每次任取一只，設(shè)A為“第一次取到的是一等品”，B為“第二次取到的是一等品”，求：P(B|A)解1)用定義計(jì)算:P(B|A）=2)從加入條件后改變了的情況去算51條件概率復(fù)習(xí)設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱

為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.公式變形：52二、乘法公式53例2

袋子中包含t個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回，并且再加進(jìn)a個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解：Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取到紅球”54例3一種透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10，求透鏡三次落下而未打破的概率。解：Ai(i=1,2,3)表示“第i次落下打破”55三、全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn 為E的一組事件。若：則稱B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分,或稱為一組完備事件組。B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一發(fā)生是必然的，兩兩同時(shí)發(fā)生又是不可能的。561、全概率公式全概率公式57圖示證明化整為零各個(gè)擊破58說(shuō)明全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題,分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.全概率公式常用情況：60

例4人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥?lái)一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化,往往會(huì)去分析影響股票價(jià)格的基本因素,比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),人們估計(jì),在利率下調(diào)的情況下,該支股票價(jià)格上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下,其價(jià)格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.61

２.貝葉斯公式稱此為貝葉斯公式.62證明63例564解65(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得6667解例668由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.69

§1.5隨機(jī)事件的獨(dú)立性一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率有影響然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：70引例則有71定義注.1o說(shuō)明

事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無(wú)關(guān).72獨(dú)立是事件間的概率屬性互不相容是事件間本身的關(guān)系2o獨(dú)立與互不相容的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互不相容二者之間沒有必然聯(lián)系73由此可見兩事件互不相容但不獨(dú)立.如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互不相容74獨(dú)立的性質(zhì)1、必然事件S及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.證明∵SA=A,P(S)=1∴