概率論頻率概率古典概型

頻率、概率、古典概型1一.頻率２．頻率的性質：(非負性)(規(guī)范性)1．頻率的定義：頻率與概率在n次試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)m稱為事件A的頻數(shù),而比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作：23．頻率的穩(wěn)定性在不變的條件下,重復進行n次試驗,事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動,并且n越大,擺動幅度越?。畡t稱常數(shù)p為事件A在該條件下發(fā)生的概率．(簡稱:頻率的穩(wěn)定值為該事件的概率)記作：P(A)=p概率統(tǒng)計定義（可列可加性）3我們首先引入的計算概率的數(shù)學模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱為古典概型4古典概型一．古典概型（等可能概型)一般,如果隨機試驗E具有：(1)有限性：它的樣本空間只有有限個樣本點則稱隨機試驗E為古典概型,也稱等可能概型(2)等可能性：在每次試驗中,每個基本事件發(fā)生的可能性相同523479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.6因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機會都是1/10234791086157我們用i表示取到i號球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機試驗為古典概型.34791086152且每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗的樣本空間如i=28記A={摸到2號球}

P(A)=?

P(A)=1/10記B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456二．古典概型中事件概率的計算公式9這里實際上是從“比例”

轉化為“概率”記B={摸到紅球}

P(B)=6/10靜態(tài)動態(tài)當我們要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應的比例.2347910861510

這樣就把求概率問題轉化為計數(shù)問題.定義

設試驗E是古典概型,其樣本空間S由n個樣本點組成,事件A由k個樣本點組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法

.

A包含的樣本點數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點總數(shù)11下面我們就來介紹如何計算古典概率.排列組合是計算古典概率的重要工具.12基本計數(shù)原理這里我們先簡要復習一下計算古典概率所要用到的1.加法原理設完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；

第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.13例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是14基本計數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設完成一件事有m個步驟，第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法,…；第m個步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，15例如，若一個男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？可以有種打扮16

加法原理和乘法原理是兩個很重要計數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時也是推導下面常用排列組合公式的基礎.17排列、組合的幾個簡單公式排列和組合的區(qū)別：順序不同是不同的排列3把不同的鑰匙的6種排列而組合不管順序18從3個元素取出2個的排列總數(shù)有6種從3個元素取出2個的組合總數(shù)有3種191、排列:

從n個不同元素取k個（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時稱全排列排列、組合的幾個簡單公式20ABDC例如：n=4,k=3第1次選取第2次選取第3次選取BDCBCDBDC……21從n個不同元素取k個（允許重復）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法222、組合:從n個不同元素取k個（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱為組合系數(shù)。你能證明嗎？23組合系數(shù)又常稱為二項式系數(shù)，因為它出現(xiàn)在下面的二項式展開的公式中：3、組合系數(shù)與二項式展開的關系24令

a=-1,b=1利用該公式，可得到許多有用的組合公式：令

a=b=1,得25由有比較兩邊

xk

的系數(shù)，可得

運用二項式展開264、n個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個元素r2個元素rk個元素…n個元素因為27請回答：對排列組合，我們介紹了幾個計算公式？排列：選排列，全排列，分組分配.組合；允許重復的排列;28三、古典概率計算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設排列結果恰好拼成一個英文單詞：CISNCEE問:在多大程度上認為這樣的結果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術？29拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結果出現(xiàn)的概率為：

這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復這一抽卡試驗，則我們所關心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次.解：七個字母的排列總數(shù)為7！30這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術.具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術.31解：=0.3024允許重復的排列問：錯在何處？例2

某城市的電話號碼由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.計算樣本空間樣本點總數(shù)和所求事件所含樣本點數(shù)計數(shù)方法不同.從10個不同數(shù)字中取5個的排列32例3

設有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品33解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例4

n雙相異的鞋共2n只，隨機地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？34“等可能性”是一種假設，在實際應用中，我們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等可能的.在實際應用中，往往只能“近似地”出現(xiàn)等可能，“完全地”等可能是很難見到的。1、在應用古典概型時必須注意“等可能性”的條件.需要注意的是：35在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認為基本事件是等可能的并在此基礎上計算事件的概率.36Ex1:擲兩顆均勻骰子，求出現(xiàn)點數(shù)之和是8的概率。答案：P=5/36擲一顆骰子，有6個等可能的結果，擲兩顆骰子，有6·6=36個等可能結果，設X為第一顆骰子擲出的點數(shù)，Y為第二顆骰子擲出的點數(shù)。A={X+Y=8},只有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）。372、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復計數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯在哪里？錯在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只38例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復計數(shù)，也不要遺漏.39“分球入箱”問題設有n個球，每個都以相同的概率1/N(Nn)落入N個箱子中的每一個中。根據(jù)以下條件，分別求事件A={某預先指定的n個箱子中各有一球}的概率p.條件：1.球編號，每個箱子容納的球數(shù)不限。2.球編號，每個箱子只容納一個球。3.球不編號，每個箱子只容納一個球。4.球不編號，每個箱子容納的球數(shù)不限以n=3,N=4為例計算。40“分球入箱”問題1.球編號，每個箱子容納的球數(shù)不限。因為每個箱子容納的球數(shù)不限，所以這是一個可重復的排列問題。41“分球入箱”問題2.球編號，每個箱子只容納一個球。這是一個選排列問題。42“分球入箱”問題3.球不編號，每個箱子只容納一個球。這是一個組合問題。43“分球入箱”問題4.球不編號，每個箱子容納的球數(shù)不限總情況數(shù)為：按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（兩端不算）個，三個球在4個箱子中的一種分布就對應于三個球在這6個位置上的一種占位法，共有443、許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型：有n個人，每個人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房453、許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型：有n個人，設每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個人的生日互不相同的概率.人任一天463、許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型：有n個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站，