【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第五章第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 A

1．已知數(shù)列{an}是一個遞增數(shù)列，滿足an∈N*，aan＝2n＋1，則a4的值等于(

)A．8

B．7C．6D．4解析：根據(jù)題意，≥a1，又＝3，若a1＝1，則與＝a1＝3矛盾，若a1＝3，則＝3＝a3，不符合題意，故a1＝2.a2＝＝3，a3＝＝5，a5＝＝7，而數(shù)列{an}是一個遞增數(shù)列，且an∈N*，故a4＝6.答案：C答案：A答案：

C4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，則a9＋a10的值為________．答案：485．古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21，…叫做三角數(shù)，它們有一定的規(guī)律性，第30個三角數(shù)與第28個三角數(shù)的差為________．解析：令a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，則an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，所以a30－a29＝30，a29－a28＝29，所以第30個三角數(shù)與第28個三角數(shù)的差為a30－a28＝59.答案：591．?dāng)?shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟(1)審題——弄清題意，分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容，在每個數(shù)學(xué)內(nèi)容中，各是什么問題．(2)分解——把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等．(3)求解——分別求解這些小題或這些“步驟”，從而得到整個問題的解答．具體解題步驟如下框圖：2．常見的數(shù)列模型(1)等差數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等差數(shù)列，利用等差數(shù)列有關(guān)知識解決問題．(2)等比數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列有關(guān)知識解決問題．(3)遞推公式模型：通過讀題分析，由題意把所給條件用數(shù)列遞推式表達出來，然后通過分析遞推關(guān)系式求解．設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.考點一等差、等比數(shù)列的綜合問題若將“S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列”改為“Sn＝2an－1，n∈N*”．

如何求解？解：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，∴an＝2an－1，∴數(shù)列{an}是首項為a1＝1，公比為2的等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－1.設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且數(shù)列{an＋1－an}(n∈N*)是等差數(shù)列，{bn－2}是等比數(shù)列，求{an}和{bn}的通項公式．解：由已知a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝－1－(－2)＝1，∴an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d＝－2＋(n－1)×1＝n－3，即an－an－1＝n－4(n≥2)．故an－an－1＝n－4，某林場為了保護生態(tài)環(huán)境，制定了植樹造林的兩個五年計劃，第一年植樹16a畝，以后每年植樹面積都比上一年增加50%，但從第六年開始，每年植樹面積都比上一年減少a畝．(1)求該林場第6年植樹的面積；(2)設(shè)前n(1≤n≤10且n∈N)年林場植樹的總面積為Sn畝，求Sn的表達式．考點二數(shù)列的實際應(yīng)用[自主解答]

(1)該林場前5年的植樹面積分別為16a,24a,36a,54a,81a.∴該林場第6年植樹的面積為80a畝．答：該林場第6年植樹的面積為80a畝．流行性感冒(簡稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染?。呈腥ツ?1月份曾發(fā)生流感，據(jù)資料統(tǒng)計，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者總共有8670人，則11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)．依題意有Sn＋T30－n＝8670，即(25n2－5n)＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670.化簡整理得n2－61n＋588＝0，所以n＝12，n＝49，又1≤n≤30，所以n＝12.所以第12日的新患者人數(shù)為20＋(12－1)×50＝570，所以11月12日該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多，且這一天新患者人數(shù)為570人．考點三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題考點四(理)數(shù)列與解析幾何的綜合問題已知曲線C：y＝x2(x>0)，過C上的點A1(1,1)作曲線C的切線l1交x軸于點B1，再過點B1作y軸的平行線交曲線C于點A2，再過點A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2，再過點B2作y軸的平行線交曲線C于點A3，…，依次作下去，記點An的橫坐標為an(n∈N*)．以數(shù)列為背景的不等式的證明問題以及以函數(shù)為背景的數(shù)列構(gòu)造問題一直是高考對本節(jié)內(nèi)容的考點，其中等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯問題，數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯問題是高考的一種重要考向．[規(guī)范解答]

(1)由題設(shè)，可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*，所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝2k(k＋1)．……………(2分)由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)，從而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2，1．解決數(shù)列綜合問題應(yīng)注意的問題(1)對等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)有深刻的理解，有些數(shù)列題目條件已指明是等差(或等比)數(shù)列，但有的數(shù)列并沒有指明，可以通過分析，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識解決相應(yīng)問題．(2)在解決數(shù)列知識與其他數(shù)學(xué)知識綜合的問題中，應(yīng)注意思維角度與解題途徑的選擇．從“數(shù)列是特殊的函數(shù)”的角度出發(fā)，運用運動變化、聯(lián)系制約的觀點解決數(shù)列綜合問題．其解題策略可借助于常見函數(shù)的性質(zhì)，也可借助于研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法．2．解決數(shù)列應(yīng)用題應(yīng)注意的問題(1)如果問題所涉及的數(shù)列是特殊數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列，或與等差、等比有關(guān)的數(shù)列等等)，應(yīng)首先建立數(shù)列的通項公式．(2)如果問題所涉及的數(shù)列不是某種特殊數(shù)列，一般應(yīng)考慮先建立數(shù)列的遞推關(guān)系(即an與an－1的關(guān)系)．(3)解決數(shù)列的應(yīng)用問題必須準確計算項數(shù)，例如與“年數(shù)”有關(guān)的問題，必須確定起算的年份，而且應(yīng)準確定義an是表示“第n年”還是“n年后”．答案：C答案：C3．已知數(shù)列an＝2n(n∈N*)，把數(shù)列

{an}的各項排列成如圖所示的三

角形數(shù)陣．記M(s，t)表示該數(shù)