CG教案7-2曲線(xiàn)曲面

2023/2/21第七章曲線(xiàn)與曲面7.1曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)7.2三次樣條曲線(xiàn)曲面7.3Bézier曲線(xiàn)和曲面7.4B樣條曲線(xiàn)和曲面7.5非均勻有理B樣條曲線(xiàn)曲面7.6用OpenGL生成曲線(xiàn)和曲面2023/2/22曲線(xiàn)與曲面概述

曲線(xiàn)曲面的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)源于20世紀(jì)60年代的飛機(jī)和汽車(chē)工業(yè)。1963年美國(guó)波音公司的Ferguson提出用于飛機(jī)設(shè)計(jì)的參數(shù)三次方程；1962年法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的Bézier提出以逼近為基礎(chǔ)的曲線(xiàn)曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)UNISURF，此前deCasteljau大約于1959年在法國(guó)另一家汽車(chē)公司雪鐵龍的CAD系統(tǒng)中有同樣的設(shè)計(jì)，但因?yàn)楸Ｃ艿脑蚨鴽](méi)有公布；1964年Coons提出了一類(lèi)布爾和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分別給出B樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均勻B樣條曲線(xiàn)曲面，美國(guó)錫拉丘茲大學(xué)的

Versprille研究了有理B樣條曲線(xiàn)曲面，20世紀(jì)80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人對(duì)有理B樣條曲線(xiàn)曲面進(jìn)行了深入的研究，并形成非均勻有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline，簡(jiǎn)稱(chēng)NURBS)；1991年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織(ISO)正式頒布了產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)STEP，NURBS是工業(yè)產(chǎn)品幾何定義唯一的一種自由型曲線(xiàn)曲面。2023/2/23曲線(xiàn)曲面設(shè)計(jì)方法的要求

整個(gè)曲線(xiàn)曲面設(shè)計(jì)方法的發(fā)展史表明了曲線(xiàn)曲面設(shè)計(jì)方法的要求：避免高次多項(xiàng)式函數(shù)可能引起的過(guò)多拐點(diǎn)，曲線(xiàn)曲面設(shè)計(jì)宜采用低次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行組合；組合曲線(xiàn)曲面在公共連接處滿(mǎn)足一定的連續(xù)性；繪圖過(guò)程具有明確的幾何意義，且操作方便；具有幾何不變性；具有局部修改性。2023/2/247.1曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)7.1.1曲線(xiàn)、曲面的表示形式1.曲線(xiàn)的表示形式平面曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)表示形式為：

或其參數(shù)方程則為：平面上一點(diǎn)的位置可用自原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量表示：

上式稱(chēng)為曲線(xiàn)的矢量方程，其坐標(biāo)分量表示式是曲線(xiàn)的參數(shù)方程。2023/2/25r(t2)r(t1)OYXZ圖7-1空間曲線(xiàn)

三維空間曲線(xiàn)可理解為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，位置矢量r隨時(shí)間t變化的關(guān)系就是一條空間曲線(xiàn)。

矢量方程為：三維空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程為：2023/2/26用s表示曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線(xiàn)方程稱(chēng)為自然參數(shù)方程。以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線(xiàn)，其切矢為單位矢量，記為t(s)。切矢t(s)對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，所得導(dǎo)矢dt(s)/ds與切矢相垂直，稱(chēng)為曲率矢量，如圖7-2，其單位矢量稱(chēng)為曲線(xiàn)的單位主法矢，記為n(s)，其模長(zhǎng)稱(chēng)為曲線(xiàn)的曲率，記為k(s)。曲率的倒數(shù)稱(chēng)為曲線(xiàn)的曲率半徑，記為ρ(s)。

與t和n相互垂直的單位矢量稱(chēng)為副法矢，記為b(s)。由t和n張成的平面稱(chēng)為密切平面；由n和b張成的平面稱(chēng)為法平面；由t和b張成的平面稱(chēng)為從切面。

法平面密切平面從切面tnρbP圖7-2曲線(xiàn)特性分析

曲率，其幾何意義是曲線(xiàn)的單位切矢量t(s)對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率。撓率的絕對(duì)值等于副法線(xiàn)方向b(s)(或密切平面)對(duì)于弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率.曲率和撓率)(ssTD+)(sTTDO

曲率和撓率（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1BqDqD2023/2/282.曲面的表示形式一般曲面可表示為：

其參數(shù)表達(dá)式為：

曲面的矢量方程為：

參數(shù)u、v的變化區(qū)間常取為單位正方形，即u,v∈[0,1]。x，y，z都是u和v二元可微函數(shù)。當(dāng)(u，v)在區(qū)間[0，1]之間變化時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y，z)就在空間形成一張曲面。

u映射空間域參數(shù)域v2023/2/29r對(duì)

u和v的一階偏導(dǎo)數(shù)為：

一階偏導(dǎo)數(shù)ru(u，v)和rv(u，v)繼續(xù)對(duì)u，v求偏導(dǎo)數(shù)，得到四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)ruu、ruv、rvu、rvv：ruv和rvu稱(chēng)為二階混合偏導(dǎo)數(shù)，在二階連續(xù)時(shí)，兩者相同。2023/2/210rvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)圖7-3空間曲面

如圖7-3，曲面上一點(diǎn)的切矢ru和rv所張成平面稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的切平面。曲面上所有過(guò)該點(diǎn)的曲線(xiàn)在此點(diǎn)的切矢都位于切平面內(nèi)。切平面的法矢就是曲面在該點(diǎn)的法矢。2023/2/211

直紋面

旋轉(zhuǎn)面對(duì)于固定的u，它是一條直線(xiàn)，當(dāng)u變化時(shí)，就成了面，即“線(xiàn)動(dòng)成面”。

雙線(xiàn)性插值曲面

3.幾種典型的面2023/2/212Coons曲面是已知曲面片的四條邊界曲線(xiàn)，由兩張直紋曲面的和減去一張雙線(xiàn)性插值曲面得到的：

這種布爾和形式的曲面是Coons于1967年研究的，拼合時(shí)整張曲面C0連續(xù)，即位置連續(xù)。要達(dá)到C1連續(xù)，必須考慮跨界切矢的插值。

Coons曲面（麻省理工學(xué)院）2023/2/213

雙線(xiàn)性插值曲面，采用了“先定義線(xiàn)，然后線(xiàn)動(dòng)成面”的思想。張量積曲面也是采用“線(xiàn)動(dòng)成面”的思想，是CAGD中應(yīng)用最廣泛的一類(lèi)曲面生成方法。映射空間域參數(shù)域vu

張量積曲面2023/2/214

定義在uv平面的矩形區(qū)域上的這張曲面稱(chēng)為張量積曲面。張量積曲面的特點(diǎn)是將曲面問(wèn)題化解為簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)問(wèn)題來(lái)處理，適用于拓?fù)渖铣示匦蔚那嫘螤?。樣條的歷史很早的繪圖員利用壓鐵“ducks”和有柔性的木條（樣條）來(lái)繪制曲線(xiàn)木質(zhì)的樣條具有二階連續(xù)并且通過(guò)所有的控制點(diǎn)ADuck(weight)Duckstraceoutcurve7.1.2曲線(xiàn)曲面的光滑連接2023/2/2161.插值、擬合與逼近插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線(xiàn)順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線(xiàn)稱(chēng)為插值曲線(xiàn)。擬合：構(gòu)造一條曲線(xiàn)使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過(guò)這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線(xiàn)為擬合曲線(xiàn)。逼近：在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，逼近繼承了這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近。

原始數(shù)據(jù)點(diǎn)精確原始數(shù)據(jù)點(diǎn)不精確給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線(xiàn)順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線(xiàn)稱(chēng)為插值曲線(xiàn)。線(xiàn)性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個(gè)線(xiàn)形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱(chēng)為的線(xiàn)性插值函數(shù)。拋物線(xiàn)插值：已知在三個(gè)互異點(diǎn)的函數(shù)值為，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)使拋物線(xiàn)在結(jié)點(diǎn)處與在處的值相等。插值xyo1y2y)(xfy=)(xyj=1x2xxyo1y2y)(xfy=)(xyj=1x2x3x3y(a)(b)

線(xiàn)性插值和拋物插值逼近：構(gòu)造一條曲線(xiàn)使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過(guò)這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線(xiàn)稱(chēng)為逼近曲線(xiàn)。在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。

曲線(xiàn)的逼近逼近求給定型值點(diǎn)之間曲線(xiàn)上的點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的插值。將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線(xiàn)序列稱(chēng)為控制多邊形或特征多邊形。

曲線(xiàn)的逼近凸殼（凸包）凸殼Convexhull的定義：

包含一組控制點(diǎn)的凸多邊形邊界。凸殼的作用提供了曲線(xiàn)或曲面與包圍控制點(diǎn)的區(qū)域之間的偏差的測(cè)量以凸殼為界的樣條保證了多項(xiàng)式沿控制點(diǎn)的平滑前進(jìn)凸殼光順(Firing)指曲線(xiàn)的拐點(diǎn)不能太多。對(duì)平面曲線(xiàn)而言，相對(duì)光順的條件是：a.具有二階幾何連續(xù)性(G2)；b.不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；c.曲率變化較小。光順2023/2/224XYX’Y’由一組基函數(shù)及相聯(lián)系的系數(shù)矢量來(lái)表示：采用不同的基函數(shù)，曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)表示方法就不同?；瘮?shù)一旦確定，系數(shù)矢量就完全定義了曲線(xiàn)。2.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中的曲線(xiàn)的一般表示形式規(guī)范基表示具有幾何不變性。即同樣的點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中生成的曲線(xiàn)相同。拋物線(xiàn)方程不具有幾何不變性。2023/2/2253.曲線(xiàn)曲面的光滑連接給定一段曲線(xiàn)，如果在整個(gè)參數(shù)定義域內(nèi)處處k次可微，則稱(chēng)該曲線(xiàn)為Ck參數(shù)連續(xù)。給定兩段內(nèi)部Ck連續(xù)的參數(shù)曲線(xiàn)r1(u1)，u1∈[0,1]和r2(u2)，u2∈[0,1]，則兩段曲線(xiàn)在公共連接點(diǎn)處不同階次的連續(xù)性對(duì)應(yīng)不同的要求。2023/2/2261）位置連續(xù) 曲線(xiàn)段r1(u1)的末端和曲線(xiàn)段r2(u2)的首端達(dá)到位置連續(xù)的條件為：r1(1)=r2(0)

位置連續(xù)是C0連續(xù)。2023/2/2272）

斜率連續(xù)曲線(xiàn)段r1(u1)的末端和曲線(xiàn)段r2(u2)的首端達(dá)到斜率連續(xù)的條件為：r'1(1)=kr'2(0)若k=1，說(shuō)明曲線(xiàn)段r1(u1)的末端切矢與曲線(xiàn)段r2(u2)的首端切方向相同、模長(zhǎng)相等，稱(chēng)為C1連續(xù)。若k≠1，則說(shuō)明兩段曲線(xiàn)在公共連接點(diǎn)處的切矢方向相同，但模長(zhǎng)不相等。這種情況是幾何連續(xù)的，稱(chēng)為G1連續(xù)。也稱(chēng)視覺(jué)連續(xù)。切矢方向與模：方向相同，模不同，G1連續(xù)；方向相同，模相同，C1連續(xù)；2023/2/2283）曲率連續(xù)兩曲線(xiàn)段曲率連續(xù)應(yīng)滿(mǎn)足：（1）位置連續(xù)；（2）斜率連續(xù)；（3）曲率相等且主法矢方向一致。曲率連續(xù)的條件為：C2連續(xù)滿(mǎn)足條件:

幾何意義是：曲線(xiàn)段r2(u)首端的二階導(dǎo)矢應(yīng)處在由曲線(xiàn)段r1(v)末端的二階導(dǎo)矢和一階導(dǎo)矢所張成的平面內(nèi)。

對(duì)于曲面片，若兩個(gè)曲面片在公共連接線(xiàn)上處處滿(mǎn)足上述各類(lèi)連續(xù)性條件，則兩個(gè)曲面片之間有同樣的結(jié)論。

2023/2/230n次多項(xiàng)式的全體構(gòu)成n次多項(xiàng)式空間，在其中任選一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式都可以作為基。

冪基

ui，i=0，1，…，n，是最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式基，相應(yīng)的參數(shù)多項(xiàng)式曲線(xiàn)方程為：

對(duì)于給定的n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,2,…,n，欲構(gòu)造其插值曲線(xiàn)或逼近曲線(xiàn)，必先得到對(duì)應(yīng)于各數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi的參數(shù)值ui，ui是一個(gè)嚴(yán)格遞增的序列△U：u0<u1<…<un。4.參數(shù)多項(xiàng)式曲線(xiàn)2023/2/231采用不同的參數(shù)化，得到的曲線(xiàn)也不同。常用的參數(shù)化方法有：均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)積累弦長(zhǎng)參數(shù)化向心參數(shù)化修正弦長(zhǎng)參數(shù)化對(duì)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化，將參數(shù)值ui代入前面所述方程，使之滿(mǎn)足插值條件：得一線(xiàn)性方程組：2023/2/232解線(xiàn)性方程組，可得系數(shù)矢量的唯一解。然而，冪基多項(xiàng)式曲線(xiàn)方程中的系數(shù)矢量幾何意義不明確，構(gòu)造曲線(xiàn)時(shí)，需解線(xiàn)性方程組，n較大時(shí)，不可取。其它多項(xiàng)式插值曲線(xiàn)如Lagrange、Newton、Hermite等較之冪基多項(xiàng)式曲線(xiàn)在計(jì)算性能等方面有較大改進(jìn)，但總體上多項(xiàng)式曲線(xiàn)存在兩個(gè)問(wèn)題：l

次數(shù)增高時(shí)，出現(xiàn)多余的拐點(diǎn)；l

整體計(jì)算，一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的微小改動(dòng)，可能引起曲線(xiàn)整體大的波動(dòng)。2023/2/233由于高次多項(xiàng)式曲線(xiàn)存在缺陷，單一低次多項(xiàng)式曲線(xiàn)又難以描述復(fù)雜形狀的曲線(xiàn)。所以采用低次多項(xiàng)式按分段的方式在一定連續(xù)條件下拼接復(fù)雜的組合曲線(xiàn)是唯一的選擇。

低次多項(xiàng)式組合曲線(xiàn)以三次多項(xiàng)式為例：2023/2/234y1(x)=a1+b1x+c1x2+d1x3y2(x)=a2+b2x+c2x2+d2x3y3(x)=a3+b3x+c3x2+d3x3“線(xiàn)動(dòng)成面”

如何選擇基函數(shù)使系數(shù)具有幾何意義，且操作方便、易于修改是曲線(xiàn)曲面設(shè)計(jì)方法的發(fā)展方向。7.5.1樣條描述n次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線(xiàn)的矩陣：7.5Himerte樣條

基函數(shù)(blengingfunction)，或稱(chēng)混合函數(shù)。7.5.2三次樣條給定n+1個(gè)點(diǎn)，可得到通過(guò)每個(gè)點(diǎn)的分段三次多項(xiàng)式曲線(xiàn)：7.5.3自然三次樣條定義：給定n+1個(gè)型值點(diǎn)，現(xiàn)通過(guò)這些點(diǎn)列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線(xiàn)，要求在所有曲線(xiàn)段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有C2連續(xù)性。還需要兩個(gè)附加條件才能解出方程組.

特點(diǎn)：1.只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合2.不能“局部控制”

7.5.4三次Hermite樣條定義：假定型值點(diǎn)Pk和Pk+1之間的曲線(xiàn)段為p(t),t∈[0,1]，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿(mǎn)足下列條件的三次參數(shù)曲線(xiàn)為三次Hermite樣條曲線(xiàn)：

推導(dǎo)：幾何形式對(duì)三次參數(shù)曲線(xiàn)，若用其端點(diǎn)位矢P(0)、P(1)和切矢P￠(0)、P￠(1)描述。將P(0)、P(1)、P￠(0)和P￠(1)簡(jiǎn)記為P0、P1、P￠0和P￠1，代入得

Mh是Hermite矩陣。Gh是Hermite幾何矢量。三次Hermite樣條曲線(xiàn)的方程為：

通常將T?Mk稱(chēng)為Hermite基函數(shù)（或混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）：

H(t)t10.20.40.60.80.20.40.60.81`-0.2H0(t)H1(t)H2(t)H3(t)Hermite基函數(shù)特點(diǎn)分析：1.可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線(xiàn)段僅依賴(lài)于端點(diǎn)約束。2.Hermite曲線(xiàn)具有幾何不變性2023/2/248Bézier曲線(xiàn)是法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的工程師Bézier于1962年提出。1972年在UNISURF系統(tǒng)中正式投入使用。Bézier曲線(xiàn)采用一組特殊的基函數(shù)，使得基函數(shù)的系數(shù)具有明確的幾何意義。其曲線(xiàn)方程：

其中從a0到an首尾相連的折線(xiàn)稱(chēng)為Bézier控制多邊形。7.3Bézier曲線(xiàn)和曲面(注：Bézier本人也不能解釋該公式的來(lái)源)a0a1a2a3ai為相對(duì)位置矢量7.3.1Bézier曲線(xiàn)2023/2/249當(dāng)n=3時(shí):f0(t)f1(t)f2(t)f3(t)1102023/2/250英國(guó)的Forest于1972年將上述Bézier曲線(xiàn)中的控制多邊形頂點(diǎn)改為絕對(duì)位置矢量的Bernstein基表示形式：當(dāng)n=3時(shí):

P0P1P2P3Pi為絕對(duì)位置矢量B0,3(t)B1,3(t)B3,3(t)B2,3(t)三次基函數(shù)的圖像2023/2/251三次Bezier曲線(xiàn)的矩陣表示取為幾何矩陣GBEZ取為基矩陣MBEZ2023/2/252注意：有的教材中三次Bézier曲線(xiàn)的矩陣表示形式為：三次Bézier曲線(xiàn)：2023/2/253曲線(xiàn)的生成：參數(shù)離散計(jì)算型值點(diǎn)連接型值點(diǎn)折線(xiàn)2023/2/254#defineX0#defineY1#defineZ2typedeffloatVector[3];voidDisplayCubicBezierCurve(VectorP[4],intcount){floatC[3][4],t,deltat;VectorV,newV;inti,j;for(j=0;j<3;j++) /*C=GBEN*MBEN*/{ C[j][0]=P[0][j]; C[j][1]=-3*P[0][j]+3*P[1][j]; C[j][2]=3*P[0][j]-6*P[1][j]+3*P[2][j]; C[j][3]=-P[0][j]+3*P[1][j]-3*P[2][j]+P[3][j];}V[X]=P[0][X];V[Y]=P[0][Y];V[Z]=P[0][Z];/*將曲線(xiàn)的起點(diǎn)賦給矢量V*/detat=1.0/count;t=0.0;for(i=1;i<=count;i++){ t+=deltat; newV[X]=C[X][0]+t*(C[X][1]+t*(C[X][2]+t*C[X][3])); newV[Y]=C[Y][0]+t*(C[Y][1]+t*(C[Y][2]+t*C[Y][3])); newV[Z]=C[Z][0]+t*(C[Z][1]+t*(C[Z][2]+t*C[Z][3])); Line(V,newV); V[X]=newV[X];V[Y]=newV[Y];V[Z]=newV[Z];}}程序：生成三次Bezier曲線(xiàn)2023/2/255Bezier曲線(xiàn)的性質(zhì)端點(diǎn)位置2023/2/256端點(diǎn)切矢量

Bezier曲線(xiàn)在起點(diǎn)與終點(diǎn)處分別與控制多邊形的第一條邊與最后一條邊相切，它們?cè)趦啥它c(diǎn)處的切矢量分別為：2023/2/257對(duì)稱(chēng)性如果保持全部控制頂點(diǎn)位置不變，但次序顛倒，即Pi

變作Pn-i，則Bezier曲線(xiàn)形狀不變，但參數(shù)變化方向相反，即2023/2/258仿射不變性仿射不變性指的是某些幾何性質(zhì)不隨坐標(biāo)變換而變化，這些幾何性質(zhì)包括曲線(xiàn)的形狀、曲率、撓率等。仿射不變性還表現(xiàn)在，對(duì)于任意的仿射變換A，曲線(xiàn)的表示形式不變，即對(duì)曲線(xiàn)做變換只要對(duì)控制頂點(diǎn)做變換即可。2023/2/259凸包性點(diǎn)集 的凸包指的是包含這些點(diǎn)的最小凸集。Bezier曲線(xiàn)位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi)?？刂祈旤c(diǎn)的凸包為連接P0P3所形成的多邊形區(qū)域：(a)P0P1P2P3(b)P0P1P3P22023/2/260直線(xiàn)再生性 若控制頂點(diǎn)P0,P1,…,Pn

落于一條直線(xiàn)上，由凸包性可知，該Bezier曲線(xiàn)必為一條直線(xiàn)段。2023/2/261變差縮減性： 平面內(nèi)任一條直線(xiàn)與Bezier曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線(xiàn)與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。這一性質(zhì)說(shuō)明了Bezier曲線(xiàn)比其控制多邊形的波動(dòng)小，更光滑。平面曲線(xiàn)的保型性假設(shè) 位于一張平面之內(nèi)，則Bezier曲線(xiàn)是平面曲線(xiàn)，它具有下面兩條性質(zhì)：保凸性：

如果控制多邊形是凸的， 則Bezier曲線(xiàn)也是凸的。2023/2/262擬局部性局部性：其含義是指移動(dòng)一個(gè)控制點(diǎn)，它只影響曲線(xiàn)的某個(gè)局部。Bezier曲線(xiàn)不具備局部性的性質(zhì)，但它具有擬局部性。擬局部性：指的是移動(dòng)一個(gè)控制點(diǎn)Pi

時(shí)，對(duì)應(yīng)參數(shù)t=i/n的曲線(xiàn)上的點(diǎn)變動(dòng)最大，遠(yuǎn)離i/n的曲線(xiàn)上的點(diǎn)變動(dòng)越來(lái)越小。2023/2/263形狀的易控性控制多邊形大致上勾畫(huà)了Bezier曲線(xiàn)的形狀，要改變曲線(xiàn)只要改變頂點(diǎn)的位置即可。因此Bezier曲線(xiàn)的人機(jī)交互與形狀控制比較容易。2023/2/264單一Bézier曲線(xiàn)不能滿(mǎn)足描述復(fù)雜形狀的要求,必須采用組合Bézier曲線(xiàn)。P0P1P2P3組合Bézier曲線(xiàn)示意圖Bézier曲線(xiàn)的特點(diǎn)參數(shù)連續(xù)是對(duì)曲線(xiàn)光順性的過(guò)分要求，在組合曲線(xiàn)的連接點(diǎn)處，參數(shù)連續(xù)不僅要求切矢具有共同的切矢方向，而且要求切矢模長(zhǎng)相等。幾何連續(xù)只要求在連接點(diǎn)處切矢方向相同，切矢模長(zhǎng)可以不相等，由此產(chǎn)生了不同控制手段的多種曲線(xiàn)，如Gamma()樣條曲線(xiàn)、Beta()樣條曲線(xiàn)等，給曲線(xiàn)設(shè)計(jì)提供了極大的靈活性。2023/2/265若要組合Bézier曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處具有一定的連續(xù)性，構(gòu)成曲線(xiàn)的位置點(diǎn)矢量之間存在約束條件，可用Bézier曲線(xiàn)方程的一階、二階導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)。Bézier曲線(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)是具有明確的幾何意義，給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的控制多邊形確定曲線(xiàn)的形狀，在設(shè)計(jì)過(guò)程中具有很強(qiáng)的可操作性。對(duì)于局部參數(shù)的Bézier曲線(xiàn)，當(dāng)弦長(zhǎng)差異較大時(shí)，弦長(zhǎng)較長(zhǎng)的那段曲線(xiàn)過(guò)分平坦，弦長(zhǎng)較短的那段曲線(xiàn)則鼓得厲害。P0P1P2P3組合Bézier曲線(xiàn)示意圖7.6.5Bezier曲線(xiàn)的遞推(deCasteljau)算法

計(jì)算Bezier曲線(xiàn)上的點(diǎn)，可用Bezier曲線(xiàn)方程，但使用deCasteljau提出的遞推算法則要簡(jiǎn)單的多。如下圖所示，設(shè)、、是一條拋物線(xiàn)上順序三個(gè)不同的點(diǎn)。過(guò)和點(diǎn)的兩切線(xiàn)交于點(diǎn),在點(diǎn)的切線(xiàn)交和于和，則如下比例成立：

這是所謂拋物線(xiàn)的三切線(xiàn)定理。(示意圖見(jiàn)下頁(yè))

0P1P2P11P10P20PBezier曲線(xiàn)上的點(diǎn)

拋物線(xiàn)三切線(xiàn)定理當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，有：

t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線(xiàn)。將一、二式代入第三式得：當(dāng)t從0變到1時(shí)，它表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線(xiàn)。并且表明：這二次Bezier曲線(xiàn)P20可以定義為分別由前兩個(gè)頂點(diǎn)（P0，P1）和后兩個(gè)頂點(diǎn)（P1，P2）決定的一次Bezier曲線(xiàn)的線(xiàn)性組合。依次類(lèi)推，由四個(gè)控制點(diǎn)定P(t)=p0+(p1-p0)t義的三次Bezier曲線(xiàn)P30可被定義為分別由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)確定的二條二次Bezier曲線(xiàn)的線(xiàn)性組合，由(n+1)個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)定義的n次Bezier曲線(xiàn)Pn0可被定義為分別由前、后n個(gè)控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線(xiàn)P0n-1與P1n-1的線(xiàn)性組合：由此得到Bezier曲線(xiàn)的遞推計(jì)算公式：這便是著名的deCasteljau算法。用這一遞推公式，在給定參數(shù)下，求Bezier曲線(xiàn)上一點(diǎn)P(t)非常有效。上式中：是定義Bezier曲線(xiàn)的控制點(diǎn)，即為曲線(xiàn)上具有參數(shù)t的點(diǎn)。deCasteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀(guān)簡(jiǎn)便，可以編出十分簡(jiǎn)捷的程序，是計(jì)算Bezier曲線(xiàn)的基本算法和標(biāo)準(zhǔn)算法。當(dāng)n=3時(shí)，decasteljau算法遞推出的Pki呈直角三角形，對(duì)應(yīng)結(jié)果如下圖所示。從左向右遞推，最右邊點(diǎn)P30即為曲線(xiàn)上的點(diǎn)。

0P1P2P3P10P11P12P20P21P30Pn=3時(shí)niP的遞推關(guān)系這一算法可用簡(jiǎn)單的幾何作圖來(lái)實(shí)現(xiàn)。給定參數(shù)，就把定義域分成長(zhǎng)度為的兩段。依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是由第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn),對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級(jí)中間頂點(diǎn)。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級(jí)遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)即為所求曲線(xiàn)上的點(diǎn)，如下圖所示。

)3/1(30PP=011/3

幾何作圖法求Bezier曲線(xiàn)

上一點(diǎn)（n=3，t=1/3）0P1P2P3P10P11P12P20P21P7.6.6Bezier曲線(xiàn)的升階與降階1．Bezier曲線(xiàn)的升階所謂升階是指保持Bezier曲線(xiàn)的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點(diǎn)數(shù)，也即是提高該Bezier曲線(xiàn)的次數(shù)。增加了控制頂點(diǎn)數(shù)，不僅能增加了對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應(yīng)用。對(duì)于一些由曲線(xiàn)生成曲面的算法，要求那些曲線(xiàn)必須是同次的。應(yīng)用升階的方法，我們可以把低于最高次數(shù)的的曲線(xiàn)提升到最高次數(shù)，而獲得同一的次數(shù)。曲線(xiàn)升階后，原控制頂點(diǎn)會(huì)發(fā)生變化。下面，我們來(lái)計(jì)算曲線(xiàn)提升一階后的新的控制頂點(diǎn)。設(shè)給定原始控制頂點(diǎn)，定義了一條n次Bezier曲線(xiàn)：

增加一個(gè)頂點(diǎn)后，仍定義同一條曲線(xiàn)的新控制頂點(diǎn)為，則有：

對(duì)上式左邊乘以，得到：

比較等式兩邊項(xiàng)的系數(shù)，得到：

化簡(jiǎn)即得：

其中。此式說(shuō)明：新的控制頂點(diǎn)是以參數(shù)值按分段線(xiàn)性插值從原始特征多邊形得出的。升階后的新的特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)特征多邊形更靠近曲線(xiàn)。三次Bezier曲線(xiàn)的升階實(shí)例如下圖所示。*00PP=1P2P*43PP=*1P*2P*3P

Bezier曲線(xiàn)升階2．Bezier曲線(xiàn)的降階降階是升階的逆過(guò)程。給定一條由原始控制頂點(diǎn)定義的n次Bezier曲線(xiàn)，要求找到一條由新控制頂點(diǎn)定義的n-1次Bezier曲線(xiàn)來(lái)逼近原始曲線(xiàn)。假定是由升階得到，則由升階公式有：從這個(gè)方程可以導(dǎo)出兩個(gè)遞推公式：

和

給定空間16個(gè)位置點(diǎn)rij，可以確定一張三次Bezier曲面片。首先生成四條v向的三次Bezier曲線(xiàn)：

根據(jù)“線(xiàn)動(dòng)成面”的思想，按設(shè)定間隔取v*∈[0,1]，在四條v線(xiàn)上取點(diǎn)，沿u向生成三次Bezier曲線(xiàn)：

7.3.2Bézier曲面片rijuvuvV*uv將u,v向曲線(xiàn)方程合并得：

2023/2/280Bézier曲面片的矩陣表達(dá)式rijuv2023/2/281用Bézier曲面片組合曲面時(shí)，曲面拼合處應(yīng)位置連續(xù)，即要求：r1(1,v)=r2(0,v)（上標(biāo)表示曲面片1或曲面片2）[1111]AM1AT=[1000]AM2AT

C0連續(xù)的Bézier組合曲面(位置連續(xù))2023/2/282C0連續(xù)的Bézier曲面片的拼接曲面片1曲面片22023/2/283若要得到跨界一階導(dǎo)矢的連續(xù)性,對(duì)于0≤v≤1,曲面片1在u=1的切平面和曲面片2在u=0處的切平面重合,曲面的法矢在跨界處連續(xù),即:

其中λ(ν)是考慮法矢模長(zhǎng)的不連續(xù)。

因?yàn)榱頒1連續(xù)的Bézier組合曲面(導(dǎo)矢連續(xù))可以得到組合曲面所有等v線(xiàn)的梯度連續(xù)的矩陣表示。

2023/2/2842023/2/285取λ(ν)=λ，得到表明跨界的四對(duì)棱邊必須共線(xiàn)。

2023/2/286曲面片1曲面片22023/2/287B樣條曲線(xiàn)是Schocenberg于1946年提出的，1972年deBoor和Cox分別給出B樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法。作為CAGD的一種形狀描述的數(shù)學(xué)方法是Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bézier曲線(xiàn)的基礎(chǔ)上給出的。B樣條曲線(xiàn)方程為：其中Pi，i＝0，1，….，n為控制頂點(diǎn)

K次規(guī)范B樣條基函數(shù)Ni,K(t)（i＝0，1，…，n）定義如下：ti（i=0，1，…，n）是對(duì)應(yīng)于給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)。7.4B樣條曲線(xiàn)和曲面2023/2/2880次（1階）B-樣條曲線(xiàn)K=0時(shí)的B-樣條基函數(shù)2023/2/2890次B-樣條曲線(xiàn)示例2023/2/2901次（2階）B-樣條基函數(shù)K=1時(shí)的基函數(shù)2023/2/291K=1時(shí)定義的曲線(xiàn)示例2023/2/2922次（3階）B-樣條基函數(shù)K=2時(shí)的基函數(shù)2023/2/293續(xù)前頁(yè)：2023/2/294續(xù)前頁(yè)：2023/2/295續(xù)前頁(yè)：2023/2/296續(xù)前頁(yè)：2023/2/2973階B-樣條基函數(shù)圖形2023/2/298[t0,t1][t1,t2][t2,t3][t3,t4][t4,t5]區(qū)間1階基函數(shù)2階基函數(shù)3階基函數(shù)4階基函數(shù)5階基函數(shù)節(jié)點(diǎn)矢量：由于每個(gè)基函數(shù)Ni,k需要的支撐區(qū)間是[ti,ti+k+1]，考慮基函數(shù)的下標(biāo)從0開(kāi)始到n，所以節(jié)點(diǎn)矢量為[t0,tn+k+1]。遞推計(jì)算2023/2/299B-樣條曲線(xiàn)的定義共n-k+2段有效區(qū)間：[ti,ti+1]區(qū)間上定義k個(gè)非零基函數(shù)(Ni-k+1,k~Ni,k)

因此，有效區(qū)間的下標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足i>=k-1；與控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)，有效基函數(shù)下標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足：i<=n。故：總有效區(qū)間為[tk-1,tn+1]。2023/2/21003階B樣條曲線(xiàn)示例T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]2023/2/2101B-樣條基函數(shù)的性質(zhì)局部性權(quán)性連續(xù)性2023/2/2102B-樣條基函數(shù)的局部性在每一個(gè)區(qū)間上至多只有k個(gè)基函數(shù)非零，它們是：2023/2/2103B-樣條基函數(shù)的權(quán)性上式右端根據(jù)遞推公式展開(kāi)并化簡(jiǎn)得到：2023/2/2104B-樣條基函數(shù)的連續(xù)性2023/2/2105B-樣條曲線(xiàn)的分類(lèi)根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量的不同形式分類(lèi)均勻B樣條曲線(xiàn)準(zhǔn)均勻B樣條曲線(xiàn)分段Bezier曲線(xiàn)非均勻B樣條曲線(xiàn)采用均勻節(jié)點(diǎn)矢量，即所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為大于0的常數(shù)，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了均勻B-樣條基，從而定義出均勻B-樣條曲線(xiàn)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量在首末端點(diǎn)處有K重重復(fù)度，而在內(nèi)部為均勻分布時(shí)，可定義準(zhǔn)均勻B-樣條曲線(xiàn)。節(jié)點(diǎn)矢量在首末端點(diǎn)處有K重重復(fù)度，而在內(nèi)部為非均勻分布。2023/2/2106均勻B-樣條曲線(xiàn)均勻節(jié)點(diǎn)矢量均勻B-樣條基均勻B-樣條曲線(xiàn)2023/2/2107例：三次均勻B樣條曲線(xiàn)（1）2023/2/2108三次均勻B樣條曲線(xiàn)（2）2023/2/2109基函數(shù)的平移性三次均勻B樣條曲線(xiàn)（3）1階基函數(shù)2階基函數(shù)2023/2/2110三次均勻B樣條曲線(xiàn)（4）2023/2/2111三次均勻B樣條曲線(xiàn)（5）由前面推導(dǎo)過(guò)程得到：2023/2/2112三次均勻B樣條曲線(xiàn)（6）2023/2/2113三次均勻B樣條曲線(xiàn)（7）2023/2/2114三次均勻B樣條曲線(xiàn)（8）2023/2/2115三次均勻B樣條曲線(xiàn)（9）上式即為區(qū)間[tj,tj+1]上3次均勻B樣條曲線(xiàn)的矩陣表達(dá)式。2023/2/2116P(3)P(4)P(5)2023/2/2117當(dāng)K＝3，且采用均勻參數(shù)化時(shí)，得到三次均勻B樣條曲線(xiàn)：7.4.1均勻B樣條曲線(xiàn)2023/2/2118在分段連接點(diǎn)處B樣條曲線(xiàn)的值和導(dǎo)矢量為：

上式描述的三次均勻B樣條曲線(xiàn)段的幾何特性如圖所示：曲線(xiàn)段首點(diǎn)位于以didi+1和di+1di+2為鄰邊的平行四邊形的1/6處；其切失與didi+2平行，模為長(zhǎng)度的1/2；首點(diǎn)二階導(dǎo)矢是以di+1di和di+1di+2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)。曲線(xiàn)末端也有類(lèi)似的結(jié)論。圖7-13三次均勻B樣條曲線(xiàn)段的幾何特性2023/2/2119圖7-13三次均勻B樣條曲線(xiàn)段的幾何特性由圖7-13可以看出：當(dāng)di、di+1和di+2三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，曲線(xiàn)段起點(diǎn)Si(0)處二階導(dǎo)數(shù)S"i(0)為0，Si(0)可能為拐點(diǎn)（如圖7-14）；當(dāng)di、di+1、

di+2和di+3四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，其所定義的曲線(xiàn)段退化為直線(xiàn)段；當(dāng)di+1和di+2兩頂點(diǎn)重合時(shí)，曲線(xiàn)段起點(diǎn)Si(0)和末點(diǎn)Si(1)分別與didi+1和與di+1di+2

相切，且端點(diǎn)曲率為0（如圖7-15）；2023/2/2120當(dāng)di+1、di+2和di+3三頂點(diǎn)重合時(shí)，則曲線(xiàn)段在重點(diǎn)處出現(xiàn)尖點(diǎn)，重點(diǎn)與前點(diǎn)和后點(diǎn)在尖點(diǎn)前后各形成一段直線(xiàn)段（如圖7-16）。曲線(xiàn)的上述退化情形在實(shí)際設(shè)計(jì)中很有用，如圖7-17是應(yīng)用曲線(xiàn)退化情形設(shè)計(jì)的尖點(diǎn)和直線(xiàn)段。2023/2/2121

對(duì)于三次均勻B樣條曲線(xiàn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)于參數(shù)[ui,ui+1]這段曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，要用到Ni-3,3(u)、Ni-2,3(u)、Ni-1,3(u)、Ni,3(u)四個(gè)基函數(shù)，涉及ui-3到ui+4共8個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值。

B樣條曲線(xiàn)的基函數(shù)是局部支撐的，修改一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，在修改處影響最大，對(duì)其兩側(cè)的影響快速衰減，其影響范圍只有前后各K段曲線(xiàn)，對(duì)曲線(xiàn)的其它部分沒(méi)有影響。這是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)所需要的局部修改性。2023/2/2122

B樣條曲線(xiàn)的基函數(shù)是局部支撐的，均勻B樣條曲線(xiàn)未考慮曲線(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布對(duì)參數(shù)化的影響，當(dāng)曲線(xiàn)弦長(zhǎng)差異較大時(shí)，弦長(zhǎng)較長(zhǎng)的曲線(xiàn)段比較平坦，而弦長(zhǎng)較短的曲線(xiàn)段則臌漲，甚至于因過(guò)“沖”而產(chǎn)生“紐結(jié)”。2023/2/21237.4.2均勻B樣條曲面

給定16個(gè)頂點(diǎn)dij（i=1,2,3,4；j=1,2,3,4）構(gòu)成的特征網(wǎng)格，可以定義一張曲面片。d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22首先用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4)構(gòu)建四條V向曲線(xiàn)C1、C2、C3和C4（圖中虛線(xiàn)）;2023/2/2124均勻B樣條曲面（續(xù)）參數(shù)v在[0,1]之間取值vk，對(duì)應(yīng)于vk，曲線(xiàn)C1、C2、C3和C4上可得到V1k、V2k、V3k和V4k四個(gè)點(diǎn)，該四點(diǎn)構(gòu)成u向的一個(gè)特征多邊形，定義一條新的曲線(xiàn)P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k當(dāng)參數(shù)vk在[0,1]之間取不同值時(shí)，P(u,vk)沿如圖所示的黃色箭頭方向掃描，即得到由給定特征網(wǎng)格dij(i=1,2,3,4;j=1,2,3,4)定義的雙三次均勻B樣條曲面片P(u,v)。2023/2/2125

雙三次均勻B樣條曲面P(u,v)的矩陣表示d24uvV1kd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2V2kV3kV4kd41P(u,vK)d222023/2/2126考慮曲線(xiàn)弦長(zhǎng)的影響，則曲線(xiàn)的基函數(shù)不再具有同樣的格式，必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行弦長(zhǎng)參數(shù)化，然后根據(jù)基函數(shù)的定義用如下的曲線(xiàn)方程計(jì)算各段曲線(xiàn)上的點(diǎn)：

非均勻B樣條曲線(xiàn)考慮了弦長(zhǎng)的影響，曲線(xiàn)不會(huì)因?yàn)楣?jié)點(diǎn)分布不均勻而產(chǎn)生過(guò)沖和紐結(jié)。非均勻B樣條曲線(xiàn)比均勻B樣條曲線(xiàn)具有更好的光順性，更符合數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布。7.5非均勻有理B樣條曲線(xiàn)曲面7.5.1非均勻B樣條曲線(xiàn)曲面非均勻B樣條均勻B樣條2023/2/2127根據(jù)非均勻B樣條曲線(xiàn)方程，計(jì)算曲線(xiàn)上的點(diǎn)需要對(duì)應(yīng)參數(shù)區(qū)間上的基函數(shù)的值和控制多邊形的頂點(diǎn)?；瘮?shù)的值根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化進(jìn)行計(jì)算?？刂贫噙呅蔚捻旤c(diǎn)依據(jù)曲線(xiàn)是否通過(guò)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)確定。若生成的曲線(xiàn)不通過(guò)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，則給定數(shù)據(jù)點(diǎn)就是控制多邊形頂點(diǎn)。若生成的曲線(xiàn)通過(guò)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，則首先必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)反求控制多邊形的頂點(diǎn)，然后再代入曲線(xiàn)。

非均勻B樣條曲線(xiàn)的實(shí)現(xiàn)2023/2/2128

給定數(shù)據(jù)點(diǎn)di（i=0,1,…,n-1）就是控制多邊形的頂點(diǎn)。不過(guò)點(diǎn)三次非均勻B樣條開(kāi)口和閉口曲線(xiàn)需要分別處理。對(duì)于開(kāi)口曲線(xiàn)，n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)只畫(huà)n-3段曲線(xiàn)，需n-2個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。而計(jì)算[Ui,Ui+1]上的一點(diǎn)，要用到除它們之外的前3個(gè)和后3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，所以在首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要n+4個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值。為使曲線(xiàn)過(guò)給定數(shù)據(jù)的首末點(diǎn)，令U0=U1=U2=0；Un+1=Un+2=Un+3=1；全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：U0=U1=U2=0；UK，UK＋1，…，Un；Un+1=Un+2=Un+3=1；（1）不過(guò)點(diǎn)三次非均勻B樣條曲線(xiàn)2023/2/2129用Hartley－Judd方法，即所畫(huà)曲線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的控制多邊形的長(zhǎng)度與總控制多邊形的長(zhǎng)度之比確定節(jié)點(diǎn)參數(shù)。計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，就可以用前述的遞歸函數(shù)計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，得到基函數(shù)的值，就可以代入曲線(xiàn)方程計(jì)算各段曲線(xiàn)上的點(diǎn)。圖7-22不過(guò)點(diǎn)非均勻B樣條曲線(xiàn)2023/2/2130對(duì)于閉合曲線(xiàn)，n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)畫(huà)n段曲線(xiàn)，需n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)曲線(xiàn)；首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，共n＋7個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。由于不過(guò)點(diǎn)閉合曲線(xiàn)，不通過(guò)控制多邊形的首末點(diǎn)，全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：

U0＝0<U1<U2<UK<UK＋1<…<Un＋3<Un+4<Un+5<Un+6=1各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值采用Hartley－Judd方法。計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，就可以計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，然后用曲線(xiàn)方程計(jì)算各段曲線(xiàn)上的點(diǎn)。2023/2/2131對(duì)于過(guò)點(diǎn)曲線(xiàn)，給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n-1)是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。由曲線(xiàn)方程知，必須先計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)，再計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線(xiàn)方程，才能反算出控制多邊形的頂點(diǎn)：

n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，反求出n+2個(gè)控制頂點(diǎn)，畫(huà)n-1段曲線(xiàn)，需n個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)；首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要n+6個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值；在曲線(xiàn)首端重3段曲線(xiàn)首段的長(zhǎng)度，在曲線(xiàn)的末端重3段曲線(xiàn)末段的長(zhǎng)度。所有節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：

U0＝0<U1<U2<UK<UK＋1<…<Un＋2<Un+3<Un+4<Un+5=1i=1,2,……,n+5,L為包含附加段在內(nèi)的總長(zhǎng)。（2）過(guò)點(diǎn)三次非均勻B樣條曲線(xiàn)2023/2/2132根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線(xiàn)方程可以計(jì)算n個(gè)已知的曲線(xiàn)上的點(diǎn)，得如下方程：

寫(xiě)成矩陣形式如下：

對(duì)于開(kāi)口曲線(xiàn)，d0=P0,dn+1=Pn-1，上述方程組是“追趕法”能夠求解的三對(duì)角方程。求出d0,d1,……,dn,dn+1共n+2個(gè)控制頂點(diǎn)，即可以畫(huà)出n-1曲線(xiàn)。（閉合曲線(xiàn)省略）2023/2/2133wi，i=0，1，…，n稱(chēng)為權(quán)因子；Ni,K(u)是B樣條的基函數(shù)

有理B樣條曲線(xiàn)非均勻B樣條考慮節(jié)點(diǎn)分布不勻稱(chēng)的影響，但與所有已介紹的計(jì)算曲線(xiàn)一樣，非均勻B樣條不能精確表達(dá)二次曲線(xiàn)曲面，采用有理B樣條，可以統(tǒng)一表達(dá)自由曲線(xiàn)曲面和二次曲線(xiàn)曲面。

有理B樣條曲線(xiàn)的表達(dá)式為：

當(dāng)Ni,K(u)是均勻基函數(shù)時(shí)，p(u)為均勻有理B樣條曲線(xiàn)；當(dāng)Ni,K(u)是非均勻基函數(shù)時(shí)，p(u)為非均勻有理B樣條

(Non-UniformRationalB-Spline，簡(jiǎn)稱(chēng)NURBS)曲線(xiàn)；通過(guò)合理的定義權(quán)系數(shù)，NURBS曲線(xiàn)能夠精確地描述二次圓錐曲線(xiàn)。目前已納入到產(chǎn)品形狀定義的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)之中。2023/2/2134曲線(xiàn)設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵在于基函數(shù)的選擇，選擇合適的基函數(shù)能夠使系數(shù)矢量具有更明確的幾何意義，繪圖操作簡(jiǎn)單直觀(guān)?；瘮?shù)和參數(shù)化方法的選擇對(duì)曲線(xiàn)的精度、光順性、局部修改性具有決定性的影響。整個(gè)曲線(xiàn)設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)方向是在提高精度、保證光順性的同時(shí)追求靈活的操作、明確的幾何意義和良好的局部修改性。

曲線(xiàn)設(shè)計(jì)結(jié)論：2023/2/21357.6用OpenGL生成曲線(xiàn)和曲面

OpenGL中繪制Bezier曲線(xiàn)曲面是通過(guò)定值器完成的。（參考/OpenGL/credbook/evaluator.html

）1.定義定值器

指定定值器類(lèi)型，每個(gè)方向的起止范圍、次數(shù)（控制點(diǎn)數(shù)），每個(gè)方向步進(jìn)一個(gè)單位對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn)值個(gè)數(shù)，控制點(diǎn)清單。如glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3,0.0,1.0,3,4,&ctrlpoints[0][0]);2.打開(kāi)定值器voidglEnable（定值器類(lèi)型）;3.引用定值器

glEvalCoord(Ui,Vi);

當(dāng)前生成的點(diǎn)的值域注意與1.中取得一致，如果總的值域?yàn)閇0,1]，則100個(gè)點(diǎn)組成的曲線(xiàn)上第i點(diǎn)的值域?yàn)?1-0)*i/100。2023/2/2136用OpenGL生成NURBS曲線(xiàn)和曲面

在OpenGL中，GLU函數(shù)庫(kù)提供了一個(gè)NURBS接口。用戶(hù)需要提供的數(shù)據(jù)包括控制點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)等數(shù)據(jù)，控制點(diǎn)描述曲線(xiàn)的大致形狀，節(jié)點(diǎn)控制B樣條函數(shù)的形狀。繪制一條NURBS曲線(xiàn)的步驟：（1）提供控制點(diǎn)序列和節(jié)點(diǎn)序列；（2）創(chuàng)建一個(gè)NURBS對(duì)象，設(shè)置NURBS對(duì)象屬性；（3）繪制曲線(xiàn)；參考/ArticleShow.asp?id=4539&categoryid=8創(chuàng)建一個(gè)NURBS對(duì)象，用如下兩條語(yǔ)句：

GLUnurbsObj*theNurbs；

theNurbs=gluNewNurbsRender()；2023/2/2137用OpenGL生成一條NURBS曲線(xiàn)(續(xù))創(chuàng)建對(duì)象后，用如下函數(shù)設(shè)置NURBS對(duì)象屬性：voidgluNurbsProperty(GLUnurbsObj*nobj，GLenumproperty，Glfloatvalue)；曲線(xiàn)的繪制是在gluBeginCurve()/gluEndCurve()函數(shù)對(duì)中完成。繪制曲線(xiàn)的函數(shù)為：voidgluNurbsCu