應(yīng)用舉例（第4課時）坡度、坡角問題【知識精講+高效備課】 九年級數(shù)學(xué)下冊 課件（人教版）

人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第28章銳角三角函數(shù)28.2.2應(yīng)用舉例第4課時坡度、坡角問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知道坡度、坡角的概念2.用解直角三角形的知識解決與坡度、坡角有關(guān)的實際問題.(2)兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)邊角之間的關(guān)系：(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2

上述（3）中的A都可以換成B，同時把a(bǔ)，b互換.直角三角形五個元素之間的關(guān)系：復(fù)習(xí)回顧水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i'

=1:2.5，求斜坡AB的坡角，壩底寬AD和斜坡AB的長.引入新課我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l

的比叫坡度（或叫坡比），用字母i

表示.即：如圖：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.坡度一般寫成1﹕m的形式，如：i=1﹕5(即i=).一、坡度、坡角問題新知探究思考：坡度i與坡角之間具有什么關(guān)系？（1）坡面鉛直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平寬度有什么關(guān)系？（2）

坡面水平寬度一定，鉛直高度與坡度有什么關(guān)系？例1：(1)右圖中坡面AD的鉛直高度、水平寬度、坡角分別是什么？坡面BC呢?(2)根據(jù)上圖，坡面AD的i表示哪兩條線段的比？坡面BC呢？請你分別寫出坡角的三角函數(shù)與鉛直高度、水平寬度的關(guān)系式.答：坡面AD的鉛直高度是DE、水平寬度是AE、坡角是∠α；坡面BC的鉛直高度是CF、水平寬度是BF、坡角是∠β.典例分析1.斜坡的坡度是，則坡角α=______度.2.斜坡的坡角是45°

，則坡比是________.3.斜坡長是12米，坡高6米，則坡比是_______.αlh301:1針對訓(xùn)練4.

一段二級公路路基坡角約為30°，則坡度i約為

;5.

在坡度為1:2的山坡上種樹，要求株距6米，山坡上相鄰兩棵樹間的坡面距離是

米.(精確到0.1米)6.如圖，一山坡的坡度為i＝，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點B，則小辰上升了

米.6.71007.

一個公共房門前的臺階高出地面1.2米，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說法正確的是（）

A.

斜坡AB的坡度是10°

B.

斜坡AB的坡度是tan10°

C.

AC＝1.2tan10°米

D.

AB=米B注意:（1）坡度的結(jié)果不是一個度數(shù)，而是一個比值，不要與坡角相混淆；（2）坡度通常寫成“

h:l”的形式；（3）坡度i和坡角α的關(guān)系為i＝tanα.歸納小結(jié)例2：水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i

′=1:2.5，求壩底寬AD和斜坡AB的長.(精確到0.1m，tan18°26′≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)二、坡度、坡角的實際應(yīng)用典例分析解：作BE⊥AD，CF⊥AD.∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5

=132.5(m).在Rt△ABE和Rt△CDF中，因為斜坡AB的坡度≈72.7(m).在Rt△ABE中sin=，答：AD的寬度為132.5m，AB的長為72.7m.例3：如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240m到達(dá)點C.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米（角度精確到0.01°，長度精確到0.1m）？i=1:2典例分析在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由題意可得因此α≈26.57°.答：這座山坡的坡角約為26.57°，小剛上升了約107.3m．從而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．因此i=1:2解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．由題意可知

DE＝CF＝4(米)，CD＝EF＝12(米)．1.一段路基的橫斷面是梯形，高為4米，上底的寬是12米，路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°，求路基下底的寬(精確到0.01米，

，).

45°30°4米12米ABCD在Rt△ADE中，EF針對訓(xùn)練

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93(米)．答：路基下底的寬約為22.93米．(米).(米).45°30°4米12米ABCDEF2.如圖，小明周末上山踏青，他從山腳處的B點出發(fā)時，測得坡面AB的坡度為1:2，走米到達(dá)山頂A處．這時，他發(fā)現(xiàn)山的另一坡面AC的最低點C的俯角是30°．請求出點B和點C的水平距離．ACBD30°答案：點B和點C的水平距離為米.3.如圖水壩的橫斷面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背水坡的坡度為1:(坡面的鉛直高度DF與水平寬度AF的比)，壩高CE(DF)是45米，求AF、BE的長，迎水坡BC的長，以及BC的坡度.AF=m，BE=m，BC=90m，.利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實際問題的答案．解決坡度問題時，可適當(dāng)添加輔助線，將梯形分割為直角三角形和矩形來解決問題．歸納小結(jié)1.如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1:，壩高BC=3m，則坡面AB的長度是（）A.9mB.6m

C.m

D.mACBB課堂鞏固2.

如圖，小王在長江邊某瞭望臺D處，測得江面上的漁船A的俯角為40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡長BC＝10米，則此時AB的長約為（）(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

A．5.1米

B．6.3米C．7.1米

D．9.2米A3.如圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為34°的斜坡，從A滑行至B，已知AB＝500米，則這名滑雪運動員的高度下降了____米．(參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)2804.為加強(qiáng)防汛工作，某市對一攔水壩進(jìn)行加固．如圖，加固前攔水壩的橫斷面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后攔水壩的橫斷面為梯形ABED，tanE＝

，則CE的長為_______米．81.水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精確到1°)；ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：

斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由計算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α為22°.能力提升解：分別過點B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，由題意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)壩底AD與斜坡AB的長度(精確到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故壩底AD的長度為132.5m，斜坡AB的長度為72.7m.EFADBCi=1:2.5236αi=1:31.（3分）（2021?山西14/23）太原地鐵2號線是山西省第一條開通運營的地鐵線路，于2020年12月26日開通，如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i=5：12（為鉛直高度與水平寬度的比）．王老師乘扶梯從扶梯底端A以0.5米/秒的速度用時40秒到達(dá)扶梯頂端B，則王老師上升的鉛直高度BC為

米．【考點】解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題【分析】由坡度的定義，可設(shè)BC=5a米，則AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．感受中考【解答】解：由題意得：∠ACB=90°，AB=0.5×40=20（米），∵扶梯AB的坡度

，∴設(shè)BC=5a米，則AC=12a米，由勾股定理得：(5a)2+(12a)2=202，解得：

（負(fù)值已舍去），∴

（米），故答案為：

．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題以及勾股定理等知識；熟練掌握坡度的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵．2.（4分）（2021?重慶B卷10/26）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i=1：2.4，坡頂D到BC的垂直距離DE=50米（點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點D處測得建筑物頂A點的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）為i=1：2.4，求出CE的長，從而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的長．感受中考【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）為i=1：2.4，∴DE：CE=5:12，∵DE=50，∴CE=120，∵BC=150，∴BE=150-120=30，∴AB=tan50°×30+50=85.7．故選：D．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，明確坡度、仰角、俯角是解題的關(guān)鍵．3.（4分）（2020?重慶A卷9/26）如圖，在距某居民樓AB樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i=1：0.75，山坡坡底C點到坡頂D點的距離CD=45m，在坡頂D點處測得居民樓樓頂A點的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）A．76.9mB．82.1m C．94.8m D．112.6m感受中考【解答】解：如圖，由題意得，∠A