第11章 統(tǒng)計(jì)決策

第11章統(tǒng)計(jì)決策11.1統(tǒng)計(jì)決策的基本概念11.2完全不確定型決策11.3一般風(fēng)險(xiǎn)型決策11.4貝葉斯決策學(xué)習(xí)目標(biāo)

1. 統(tǒng)計(jì)決策的基本概念、基本工具和基本步驟；2. 完全不確定決策的基本準(zhǔn)則及其使用場(chǎng)合；3. 風(fēng)險(xiǎn)型決策的基本準(zhǔn)則及其應(yīng)用；4. 貝葉斯決策的概念；5. 后驗(yàn)概率計(jì)算與后驗(yàn)分析；6. 完全信息價(jià)值與補(bǔ)充信息價(jià)值的概念及其應(yīng)用11.1統(tǒng)計(jì)決策的基本概念一、什么是統(tǒng)計(jì)決策二、統(tǒng)計(jì)決策的基本步驟三、收益矩陣表什么是統(tǒng)計(jì)決策瓦爾德(A.Wald)1950年發(fā)表專著<統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)>廣義：所有利用統(tǒng)計(jì)方法和統(tǒng)計(jì)信息的決策；狹義：研究非對(duì)抗型和不確定型決策問(wèn)題的科學(xué)的定量分析方法。對(duì)抗型決策：對(duì)策論/博弈論（多個(gè)主體）非對(duì)抗型決策：決策論/決策分析（一個(gè)主體）決策類型：確定型決策、不確定型決策不確定型決策：完全不確定型（對(duì)狀態(tài)概率一無(wú)所知）風(fēng)險(xiǎn)型決策（對(duì)狀態(tài)概率有所了解）；統(tǒng)計(jì)決策的基本步驟（一）確定決策目標(biāo)

決策目標(biāo)是在一定條件制約下，決策者希望達(dá)到的結(jié)果。反映決策目標(biāo)的變量，稱為目標(biāo)變量。（二）擬定備選方案

備選方案是決策者實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的各種可能途徑。備選方案中所調(diào)控的變量稱為行動(dòng)變量。所有備選方案的集合稱為行動(dòng)空間。（三）列出自然狀態(tài)

自然狀態(tài)是指實(shí)施行動(dòng)方案時(shí)，可能面臨的客觀條件（天氣的晴雨）。所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)的集合稱為狀態(tài)空間，而相應(yīng)的各種狀態(tài)可能出現(xiàn)的概率的集合稱為狀態(tài)空間的概率分布。（四）選擇“最佳”或“滿意”的方案（五）實(shí)施方案收益矩陣表

表11-1收益矩陣表

狀態(tài)θ1θ2…θn概率P1P2…Pn方案A1q11q12…q1nA2q21q22…q2n……………Amqm1qm2…qmn

收益矩陣的元素qij反映在狀態(tài)θj下，采用行動(dòng)方案Ai得到的收益值。這里所說(shuō)的收益是廣義收益指標(biāo)。收益是行動(dòng)方案和自然狀態(tài)的函數(shù)，可用下式表示：

qij＝Q(Ai

,θj

)i=1,2,…,m;j=1,2,…n11.2完全不確定型決策

一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則二、各種準(zhǔn)則的特點(diǎn)和適用場(chǎng)合完全不確定型決策的準(zhǔn)則

（一）最大的最大收益值準(zhǔn)則(樂觀準(zhǔn)則)在決策時(shí)，先選出各種狀態(tài)下每個(gè)方案的最大收益值，然后再?gòu)闹羞x擇最大者，并以其相對(duì)應(yīng)的方案作為所要選擇的方案。（二）最大的最小收益值準(zhǔn)則(悲觀準(zhǔn)則)在決策時(shí)，先選出各種狀態(tài)下每個(gè)方案的最小收益值，然后再?gòu)闹羞x擇最大者，并以其相對(duì)應(yīng)的方案作為所要選擇的方案。（三）最小的最大后悔值準(zhǔn)則

后悔值是由于決策失誤而造成的最大可能的收益值與實(shí)際收益值之差。方案Ai在狀態(tài)θj下的后悔值，可按下式計(jì)算：rij

＝max

Q(Ai

,θj

)－qij

≥0

maxQ(Ai

,θj

)是在第j種狀態(tài)下，正確決策有可能得到的最大收益，qij是收益矩陣的元素。決策準(zhǔn)則：應(yīng)在求出后悔矩陣的基礎(chǔ)上，先選出各種狀態(tài)下每個(gè)方案的最大后悔值，然后再?gòu)闹羞x擇最小者，并以其相對(duì)應(yīng)的方案作為所要選擇的方案。完全不確定型決策的準(zhǔn)則（續(xù)）

（四）折衷準(zhǔn)則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和判斷確定一個(gè)樂觀系數(shù)α(0≤α≤1)，以α和1－α分別作為最大收益值和最小收益值的權(quán)數(shù),計(jì)算各方案的期望收益值E(Q(ai))

E(Q(Ai))=αmax{qij

}+(1－α)min{qij

}并以期望收益值最大的方案作為所要選擇的方案。

注意：此時(shí)只考慮兩種極端狀態(tài)。

完全不確定型決策的準(zhǔn)則（續(xù)）

（五）等可能性準(zhǔn)則

該準(zhǔn)則假定各種狀態(tài)可能出現(xiàn)的概率相同，在此基礎(chǔ)上求各方案收益的期望值，并以期望收益值最大的方案作為所要選擇的方案。P375-37711.111.211.311.411.5完全不確定型決策的準(zhǔn)則（續(xù)）

各種準(zhǔn)則的特點(diǎn)和適用場(chǎng)合

最大的最大收益值準(zhǔn)則：一般只有在客觀情況確實(shí)很樂觀，或者即使決策失誤，也完全可以承受損失的場(chǎng)合才采用。最大的最小收益值準(zhǔn)；適用于對(duì)未來(lái)的狀態(tài)非常沒有把握，或者難以承受決策失誤損失的場(chǎng)合。最小的最大后悔值準(zhǔn)則：適用于不愿放過(guò)較大的獲利機(jī)會(huì)，同時(shí)又對(duì)可能出現(xiàn)的損失有一定承受力的場(chǎng)合。折衷準(zhǔn)則和等可能性準(zhǔn)則都是以各種方案的收益的期望值作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。折衷準(zhǔn)則事實(shí)上是假定未來(lái)可能發(fā)生的狀態(tài)只有兩種：即最理想狀態(tài)和最不理想狀態(tài)。前者發(fā)生的概率是α，后者發(fā)生的概率是（1－α）。當(dāng)α＝1時(shí)，該準(zhǔn)則等價(jià)于樂觀準(zhǔn)則，而當(dāng)α＝0時(shí)，該準(zhǔn)則等價(jià)于悲觀準(zhǔn)則。11.3一般風(fēng)險(xiǎn)型決策一、自然狀態(tài)概率分布的估計(jì)二、風(fēng)險(xiǎn)型決策的準(zhǔn)則三、利用決策樹進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)型決策自然狀態(tài)概率分布的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)型決策不同于完全不確定型決策,它是在估計(jì)出狀態(tài)空間的概率分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行決策.

客觀概率是一般意義上的概率，通常是由自然狀態(tài)的歷史資料推算或按照隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果計(jì)算出來(lái)的。

主觀概率是決策者基于自身的學(xué)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)作出的對(duì)某一事件發(fā)生可能性的主觀判斷。風(fēng)險(xiǎn)型決策的準(zhǔn)則（一）期望值準(zhǔn)則(應(yīng)用最廣)

以各方案收益的期望值的大小為依據(jù)，來(lái)選擇合適的方案,一般采用期望收益值最大準(zhǔn)則。式中，E(Q(Ai))是方案i的收益的期望值，是方案i在j狀態(tài)出現(xiàn)時(shí)的收益值；Pj是j狀態(tài)出現(xiàn)的概率。

注意:期望收益,只是平均意義來(lái)說(shuō)，并不是真實(shí)的收益.

（二）變異系數(shù)準(zhǔn)則(離散系數(shù)

P38111.6)收益的期望值只反映了一種平均趨勢(shì)，還要考慮方差的大小，方差大則風(fēng)險(xiǎn)大。因此在期望值達(dá)到一定數(shù)額的前提下，以變異系數(shù)較低的方案作為所要選擇的方案。方差Var(Ai)和變異系數(shù)V的計(jì)算公式如下：風(fēng)險(xiǎn)型決策的準(zhǔn)則（續(xù)）（三）最大可能準(zhǔn)則(P38211.7)

在最可能狀態(tài)下，可實(shí)現(xiàn)最大收益值的方案為最佳方案。最大可能準(zhǔn)則是將風(fēng)險(xiǎn)條件下的決策問(wèn)題，簡(jiǎn)化為確定條件下的決策問(wèn)題。只有當(dāng)最可能狀態(tài)的發(fā)生概率明顯大于其他狀態(tài)時(shí)，應(yīng)用該準(zhǔn)則才能取得較好效果。（四）滿意準(zhǔn)則(P38211.8)

利用這一準(zhǔn)則進(jìn)行決策，首先要給出一個(gè)滿意水平。然后，將各種方案在不同狀態(tài)下的收益值與目標(biāo)值相比較，并以收益值不低于目標(biāo)值的累積概率最大的方案作為所要選擇的方案。利用該準(zhǔn)則的決策結(jié)果，與滿意水平的高低有很大關(guān)系。風(fēng)險(xiǎn)型決策的準(zhǔn)則（續(xù)）利用決策樹進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)型決策決策樹是一種將決策問(wèn)題模型化的樹形圖。決策樹由決策點(diǎn)、方案枝、機(jī)會(huì)點(diǎn)、概率枝、結(jié)果點(diǎn)組成。利用決策樹對(duì)方案進(jìn)行比較和選擇，一般采用逆向分析法，即從樹形結(jié)構(gòu)的末端的條件結(jié)果開始，從后向前逐步分析。決策樹適用于求解復(fù)雜的多階段決策問(wèn)題。圖11-2例11-9的決策樹圖

11.4貝葉斯決策

一、什么是貝葉斯決策二、貝葉斯公式與后驗(yàn)概率的估計(jì)三、先驗(yàn)分析與后驗(yàn)分析四、完全信息價(jià)值與補(bǔ)充信息價(jià)值五、后驗(yàn)預(yù)分析什么是貝葉斯Bayses決策自然狀態(tài)的概率分：先驗(yàn)概率、后驗(yàn)概率；

貝葉斯決策，是利用補(bǔ)充信息根據(jù)貝葉斯公式來(lái)估計(jì)后驗(yàn)概率(修正先驗(yàn)概率)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)的一種決策方法。

利用貝葉斯決策方法，將先驗(yàn)信息和補(bǔ)充信息結(jié)合在一起進(jìn)行分析判斷，提高了決策的可靠性；同時(shí)還可以對(duì)信息的價(jià)值及是否需要采集新的補(bǔ)充信息作出科學(xué)的判斷。貝葉斯公式與后驗(yàn)概率的估計(jì)

設(shè)某種狀態(tài)θj的先驗(yàn)概率為P(θj)，通過(guò)調(diào)查獲得的補(bǔ)充信息為ek,θj給定時(shí)ek的條件概率為P(ek|θj)，則在給定信息ek的條件下,θj的條件概率即后驗(yàn)概率可用以下公式計(jì)算先驗(yàn)分析與后驗(yàn)分析

先驗(yàn)分析是利用先驗(yàn)概率進(jìn)行決策，而后驗(yàn)分析是利用后驗(yàn)概率作為選擇與判斷合適方案的依據(jù)。很多時(shí)候，兩種分析所得的結(jié)論是不一致的。后驗(yàn)分析中不僅利用了先驗(yàn)信息，還利用了補(bǔ)充信息。因此一般來(lái)說(shuō)，只要補(bǔ)充信息是準(zhǔn)確的，后驗(yàn)分析的結(jié)論更為可靠。P38811.11注：先驗(yàn)分析：前面介紹的準(zhǔn)則完全信息價(jià)值與補(bǔ)充信息價(jià)值

完全信息，是指在對(duì)某一問(wèn)題進(jìn)行決策時(shí)，對(duì)于所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)都可以提供完全確切的情報(bào)。完全信息的價(jià)值，可以由掌握完全信息前后，所采取的不同行動(dòng)方案的收益值的差額來(lái)表示。不同狀態(tài)下收益值的差額有所不同，所以用收益值差額的期望值來(lái)綜合反映完全信息的價(jià)值（EVPI）。其計(jì)算公式如下：EVPI是完全信息價(jià)值的期望值，maxiQ(Ai,θj

)表示各方案在狀態(tài)θj下的最大收益值，Q(A*,θj

)表示先驗(yàn)分析中的最佳方案在狀態(tài)θj下的收益值。EVPI越大表明通過(guò)收集補(bǔ)充信息使決策效益提高的余地越大。同時(shí)，它也代表了為取得該項(xiàng)情報(bào)可付出的代價(jià)的上限。P38911.12完全信息價(jià)值與補(bǔ)充信息價(jià)值(續(xù))

補(bǔ)充信息ek的價(jià)值VAI的計(jì)算公式如下：

VAI(ek)=先驗(yàn)EVPI-后驗(yàn)EVPI(ek)先驗(yàn)EVPI是根據(jù)狀態(tài)的先驗(yàn)概率計(jì)算的完全信息價(jià)值的期望值，后驗(yàn)EVPI(ek)是在了解補(bǔ)充信息ek后，利用根據(jù)該信息修正的后驗(yàn)概率計(jì)算的完全信息價(jià)值的期望值。VAI(ek)的取值與ek有關(guān)。為了綜合反映補(bǔ)充信息的價(jià)值，還需計(jì)算補(bǔ)充信息價(jià)值的期望值EVAI。完全信息價(jià)值與補(bǔ)充信息價(jià)值(續(xù))

EVAI是判斷收集補(bǔ)充信息是否有利的標(biāo)準(zhǔn)。在收集補(bǔ)充信息之前，應(yīng)將EVAI與收集補(bǔ)充信息的費(fèi)用加以比較，只有當(dāng)收集補(bǔ)充信息的費(fèi)用小于EVAI