第04講平面一般力系

3.平面一般力系

定義：作用在物體上的各力的作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行，這樣的力系稱為平面一般力系。如圖起重機橫梁。

GQFAyFAxFT平面一般力系的簡化

1.力的平移定理FAOF′

F″

AOF′

M=因此：作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。

dd2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化

作用于簡化中心O點的平面匯交力系可合成為一個力，稱為該力系的主矢，其作用線過簡化中心點O。各附加力偶組成的平面力偶系的合力偶矩，稱為該力系的主矩。主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上,如圖示。主矢的大小和方向為：3.簡化結果及分析結果：平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢和一個主矩，主矢的大小和方向與簡化中心的選擇無關。主矩的值一般與簡化中心的選擇有關。

分析：（1）若，則原力系簡化為一個力和一個力偶。在這種情況下，根據力的平移定理，這個力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個合力FR，其作用線離O點的距離為，利用主矩的轉向來確定合力FR的作用線在簡化中心的哪一側。OFR′

MoOFR

dOMoFR′

OFR

d(2)若，則原力系簡化為一個力。在這種情況下，附加力偶系平衡，主矢即為原力系的合力FR，作用于簡化中心。(3)若，則原力系簡化為一個力偶，其矩等于原力系對簡化中心的主矩。在這種情況下，簡化結果與簡化中心的選擇無關。即無論力系向哪一點簡化都是一個力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若，則原力系是平衡力系。同理，如果力系是平衡力系，該力系的主矢、主矩必然為零。因此，就是平面一般力系平衡的必要與充分條件。由此可得平面一般力系的平衡方程為

：例1：求圖示梁支座的約束反力。已知

：aaaFFAB解:取梁為研究對象。受力圖如圖示。建立坐標系，列平衡方程：FyFxFByxFx-FBsin30o=0Fy+FBcos30o-2F=0-Fa-2Fa+3aFBcos30o=0即：求得：FB=2.3KNFx=1.15KNFy=2KN4.平面平行力系定義：平面力系中各力的作用線互相平行，則稱為平行力系，如圖所示。F1F2F3F4F5yxo4.平面平行力系平面平行力系的平衡方程：如取坐標系中Oy軸與各力平行，各力在x軸上的投影恒等于零，即因此，平面平行力系的平衡方程為：或式中A、B兩點連線不能與各力的作用線平行。例2：如圖示為鐵路起重機，起重機重力G1=500kN，重心C在兩鐵軌的對稱面內，最大起重力F=200kN。為保證起重機在空載和滿載時都不致翻倒，求平衡重力G及其距離x。尺寸如圖所示。

AB

空載時，以A點為矩心，列平衡方程：

GX-0.75G1=0(1)

解：設左邊鐵軌對起重機的支撐力為FA，左邊鐵軌對起重機的支撐力為FB。則：空載時，此時FB=0；滿載時，F(xiàn)A=0。

滿載時，以B點為矩心，列平衡方程：

G(X+1.5)+0.75G1-6F=0(2)

由（1）、（2）可得：

G=300KNX=1.25m例4-3起重機的自重（平衡重除外）G=400kN，平衡重W=250kN。當起重機由于超載即將向右翻倒時，左輪的反力等與零。因此，為了保證安全工作，必須使一側輪（A或B）的向上反力不得小于50kN。求最大起吊量P為多少？解：畫支座反力FNA與FNB。令FNA=50kN。列平衡方程：

P=200kN

如為空載，仍應處于平衡狀態(tài)，故

例題4.2平面力系的平衡5.物體系統(tǒng)的平衡條件由多個構件通過一定的約束組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)（物系）。系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力稱為物系外力；系統(tǒng)內部各構件之間的相互作用力稱為物系內力。二者沒有嚴格的區(qū)別。

在求解物系的平衡問題時，不僅要考慮系統(tǒng)外力，同時還要考慮系統(tǒng)內力。若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。既可以以整個系統(tǒng)為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。例3:如圖所示一三鉸拱橋。左右兩半拱通過鉸鏈C聯(lián)接起來，通過鉸鏈A、B與橋基聯(lián)接。已知G=40kN，P=10kN。試求鉸鏈A、B、C三處的約束反力。3m解:取整體為研究對象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標系。列平衡方程

解之得：取左半拱為研究對象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標系。列解平衡方程：解之得：所以：物體系統(tǒng)：由若干個物體通過適當?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng)。靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨立的平衡方程的數(shù)目。超靜定或靜不定：未知量的數(shù)目多于獨立的平衡方程的數(shù)目.

4.3物體系統(tǒng)的平衡獨立的平衡方程數(shù)：3未知力數(shù)：3獨立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)：3未知力數(shù)：4未知力數(shù)>獨立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題4.3物體系統(tǒng)的平衡獨立的平衡方程數(shù)：6未知力數(shù)：6獨立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)：6未知力數(shù)：7未知力數(shù)>獨立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題4.3物體系統(tǒng)的平衡求解過程中應注意以下幾點

首先判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問題

恰當?shù)剡x擇研究對象在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對象，這樣則不出現(xiàn)未知的內力，易于解出未知量。當不能求出未知量時應立即選取單個物體或部分物體的組合為研究對象，一般應先選受力簡單而作用有已知力的物體為研究對象，求出部分未知量后，再研究其它物體。4.3物體系統(tǒng)的平衡受力分析①首先從二力構件入手，可使受力圖比較簡單，有利于解題。②解除約束時，要嚴格地按照約束的性質，畫出相應的約束力，切忌憑主觀想象畫力。對于一個銷釘連接三個或三個以上物體時，要明確所選對象中是否包括該銷釘？解除了哪些約束？然后正確畫出相應的約束反力。③畫受力圖時，關鍵在于正確畫出鉸鏈約束力，除二力構件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。④不畫研究對象的內力。⑤兩物體間的相互作用力應該符合作用與反作用定律。4.3物體系統(tǒng)的平衡列平衡方程，求未知量①列出恰當?shù)钠胶夥匠蹋M量避免在方程中出現(xiàn)不需要求的未知量。為此可恰當?shù)剡\用力矩方程，適當選擇兩個未知力的交點為矩心，所選的坐標軸應與較多的未知力垂直。②判斷清楚每個研究對象所受的力系及其獨立方程的個數(shù)及物體系獨立平衡方程的總數(shù)，避免列出不獨立的平衡方程。③解題時應從未知力最少的方程入手，避免聯(lián)立解。④校核。求出全部所需的未知量后，可再列一個不重復的平衡方程，將計算結果代入，若滿足方程，則計算無誤。4.3物體系統(tǒng)的平衡例題例4-4圖中AD＝DB＝2m，CD＝DE＝1.5m，Q＝120kN，不計桿和滑輪的重量。試求支座A和B的約束力和BC桿的內力。解：解除約束，畫整體受力圖列平衡方程4.3物體系統(tǒng)的平衡可用，驗算FAy如下：例題4.3物體系統(tǒng)的平衡為求BC桿內力F，取CDE桿連滑輪為研究對象，畫受力圖。列方程：F=–150kN，說明BC桿受壓力。例題4.3物體系統(tǒng)的平衡求BC桿的內力，也可以取ADB桿為研究對象，畫受力圖。例題4.3物體系統(tǒng)的平衡4.4.1平面靜定桁架的構成問題的提出：工程應用背景桁架：由一些直桿彼此在兩端用鉸鏈連接而成的幾何形狀不變的結構。平面桁架：所有桿件的軸線都在同一平面內的桁架；空間桁架：桿件軸線不在同一平面內的桁架。4.4平面靜定桁架節(jié)點：桁架中桿件與桿件相連接的鉸鏈節(jié)點構造有榫接（圖a）焊接（圖b）鉚接（圖c）整澆（圖d）均可抽象簡化為光滑鉸鏈4.4.1平面靜定桁架的構成4.4平面靜定桁架各直桿兩端均以光滑鉸鏈連接；所有載荷在桁架平面內，作用于節(jié)點上；桿自重不計。如果桿自重需考慮時，也將其等效加于兩端節(jié)點上。計算桁架各桿受力時的幾點假設滿足以上假設條件的桁架稱為理想桁架。理想桁架中的各桿件都是二力桿。4.4.2桁架桿件的內力計算4.4平面靜定桁架簡單桁架：桁架由三根桿與三個節(jié)點組成一個基本三角形，然后用兩根不平行的桿件連接出一個新的節(jié)點，依次類推而構成。簡單桁架組合桁架簡單桁架與組合桁架都是靜定桁架其桿件數(shù)m及節(jié)點數(shù)n滿足：2n＝m+3組合桁架：由幾個簡單桁架，按照幾何形狀不變的條件組成的桁架。4.4.2桁架桿件的內力計算4.4平面靜定桁架桁架桿件內力計算的節(jié)點法節(jié)點法適用于求解全部桿件內力的情況以各個節(jié)點為研究對象的求解方法

求解要點逐個考慮各節(jié)點的平衡、畫出它們的受力圖應用平面匯交力系的平衡方程，根據已知力求出各桿的未知內力。在受力圖中，一般均假設桿的內力為拉力，如果所得結果為負值，即表示該桿受壓4.4.2桁架桿件的內力計算4.4平面靜定桁架桁架桿件內力計算的截面法適用于求桁架中某些指定桿件的內力求解要點被截開桿件的內力成為該研究對象外力，可應用平面一般力系的平衡條件求出這些被截開桿件的內力。由于平面一般力系只有3個獨立平衡方程，所以一般說來，被截桿件應不超出3個。假想用一截面截取出桁架的某一部分作為研究對象求解方法

4.4.2桁架桿件的內力計算4.4平面靜定桁架零桿：桁架某些不受力的桿件零桿對保證桁架幾何形狀是不可缺的。在計算中，先判斷零桿。最常見的零桿發(fā)生在圖示的節(jié)點處4.4.2桁架桿件的內力計算4.4平面靜定桁架例4-9一屋架的尺寸及載荷如圖所示，求每根桿件的內力。解：首先求支座A、H的反力，由整體受力圖(a)，列平衡方程

FAy＝FNH＝20(kN)例題4.4平面靜定桁架F6=30kN(拉)，F(xiàn)3=0(零桿)

選取A節(jié)點畫受力圖，列平衡方程F1=–33.5kN(壓)，F(xiàn)2=30kN(拉)選取B節(jié)點畫受力圖，列平衡方程例題4.4平面靜定桁架

F4=–22.4kN(拉)，F(xiàn)5=–11.2kN(壓)F8=–22.4kN(壓)，F(xiàn)7=10kN(拉)選取D節(jié)點畫受力圖，列平衡方程選取C節(jié)點畫受力圖，列平衡方程例題4.4平面靜定桁架由于結構和載荷都對稱，所以左右兩邊對稱位置的桿件內力相同，故計算半個屋架即可?，F(xiàn)將各桿的內力標在各桿的旁邊，如圖（f）所示。圖中正號表示拉力，負號表示壓力，力的單位為kN?？扇節(jié)點進行校核。例題4.4平面靜定桁架例4-10

求圖所示桁架中CD桿的內力。

解：按常規(guī)解法的思路是先求出支座B的反力，然后以節(jié)點法由節(jié)點B、F、C依