函數方程與零點精

函數的零點.【高考考情解讀】?？疾椋?.結合函數與方程的關系，求函數的零點.2.結合根的存在性定理或函數圖像，對函數是否存在零點或存在零點的個數進行判斷.3.判定函數零點(方程的根)所在的區(qū)間.4.利用零點(方程實根)的存在求相關參數的值或取值范圍.高考題突出數形結合思想與函數方程思想的考查，以客觀題的形式為主.瞄準高考主干知識梳理瞄準高考(1)函數與方程的關系：函數f(x)有零點臺方程f(x)=0有根臺函數f(x)的圖象與x軸有交點矽fx)與g(x)有交點Ofx)=g(x).函數F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的根，即函數y=f(x)的圖像與函數y=g(x)的圖像交點的橫坐標.(2)函數f(x)的零點存在性定理：如果函數f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)-f(b)<0,那么，函數f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，即存在cG(a,b)，使f(c)=0.注：①如果函數f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數f(x)在區(qū)間［a,b］上是一個單調函數，那么當f(a)?f(b)<0時，函數f(x)在區(qū)間(a,b)內有唯一的零點，即存在唯一的c￡(a,b)，使f(c)=0.②如果函數f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a).f(b)>0,那么，函數f(x)在區(qū)間(a,b)內不一定沒有零點.③如果函數f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當函數f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點時不一定有f(a)?f(b)<0,也可能有f(a)-f(b)>0.(3)判定函數零點的方法:①解方程法；②利用零點存在性定理判定；③數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結合求解.解析高考熱點分類突破解析高考(2013-重慶)若a<b<c,則函數f(x)=(x—a)(x—b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A. (a, b)和3,c)內 B. (一8, a)和5, b)內C. (b, c)和(C,+8)內 D. (—8, a)和(如+8)內(2)函數f(x)=的零點個數是Inx—x2+2x(x>0)2x(2)函數f(x)=的零點個數是第1頁共1頁

01230123答案(1)A(2)D解析 (1)由于a<b<c,所以f(a)=0+(a一 b)(a一c) + 0>0, f(b)=(b 一 c)(b一a)<0,f(c) =(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)-f(b)<0,f(b)-f(c)<0,又因f(x)是關于x的二次函數，函數的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數f(x)的兩零點分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內，故選A.(2)依題意，當x>0時，在同一個直角坐標系中分別作出y=lnx和y=x2-2x=(x-1)2-1的圖象，可知它們有兩個交點；當xW0時，作出y=2x+1的圖象，可知它和x軸有一個交點.綜合知，函數y=f(x)有三個零點.探究提高(1)函數零點(即方程的根)的確定問題，常見的有①函數零點值大致存在區(qū)間的確定；②零點個數的確定；③兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結合求解.(2)提醒：函數的零點不是點，是方程f(x)=0的根，即當函數的自變量取這個實數時，其函數值等于零.函數的零點也就是函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標.(1)(2012?天津)函數f(x尸2x+x3—2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是()A.0B.1C.2D.3(2)已知函數f(x)=ax+x—b的零點x0￡(n,n+1)(nGZ)，其中常數a、b滿足2a=3,3b=2,貝°n=.答案(1)B(2)—1解析(1)先判斷函數的單調性，再確定零點.因為f(x)=2xln2+3x2>0,所以函數f(x)=2x+x3-2在(0,1)上遞增，且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1個零點.(2fx)=ax+x-b的零點x0就是方程ax=-x+b的根. 、、「/設y1=ax，y2=-x+b， 一」才故x0就是兩函數交點的橫坐標，如圖， "J'」當x=-1時，y1=a=log32Vy2=1+b=1+log32，；.-1<x0<0，；.n=-1.(2013?青島模擬)函數f(x)=log2x—；的零點所在的區(qū)間為()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)［解答］由f(1)=—1<0,f(2)=1>0可得f(x)在(1,2)內必有零點.第2頁共2頁[答案]B11-I%—11,%￡(—8,2),2.若函數f(%)=11 , 則函數F(%)=%f(%)—1的零點的個數為()[f%—2),%￡[2,+8), ，A.4 B.5 C.6 D.7[解答]據題意，函數F(%)=%f(%)-1的零點個數可轉化為函數尸f(%)與函數尸1圖像交%由圖可知共有6個交點，故函數F(%)=%f(%)-1的零點個數為6.[答案]CUI,%三y,(2013.武漢模擬)定義運算M：%町=1 設函數f(%)=(%2—3)?(%—1),若函數y%, %<y.=f(%)—c恰有兩個零點，則實數c的取值范圍是()A.[—3,—2) B.[—3,—2]U[3,+8) c.[—2,2] D.(—3,—2)U[2,+8)1%—11,%W—1或%三2,[解答]由%2—3三%—1解得%W—1或%三2,所以f(%)=1 函數y%2—3,—1<%<2.=f(%)—c恰有兩個零點，即函數y=f(%),y=c的圖像恰有兩個交點，作出函數y=f(%),y=c的圖像如圖，由圖可知一3<c<—2或c三2時，兩個圖像有兩個不同的交點，故實數c的取值范圍是(一3,—2)U[2,+8).[答案]D一“ 23.函數f(%)=2%---a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是()%A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解析：??.函數f(x)有一個零點在(1,2)內，」.八1>f(2)<0,即-a(3-a)<0,「.0<a<3.答案：C'k%+1,%W0,4.若函數f(%)=1 則當k>0時，函數y=ff%)]+1的零點個數為()、ln%, %>0,A.1 B.2 C.3 D.4解析：結合圖像分析，當k>0時，j\f(%)]=-1,則f(%)=t]￡(-8,-k)或f(%)=12￡(0,1).對于f(x)=11,存在兩個零點x1,與對于f(x)=12，存在兩個零點13,%4，共存在4個零—x2+1x,x<0,(2013?濰坊模擬)函數fx)=1 2 若函數y=f(x)-kx有三個零點，則k的取值、ln(x+1),x三0.范圍為.［考題揭秘］本題考查二次函數、對數函數的圖像、性質以及函數的零點問題，意在考查考生的推理論證能力、運算求解能力、轉化與化歸能力以及數形結合思想的運用能力.［審題過程］第一步：審條件.題目已知函數f(x)的解析式以及函數y=f(x)-kx有三個零點.第二步：審結論.求實數k的取值范圍.第三步：建聯系.問題等價于函數y=f(x)的圖像與直線y=kx有三個不同的交點［規(guī)范解答］顯然x=0是函數y=f(x)-kx的一個零點.因此只要函數y=f(x)的圖像與直線y=kx的圖像在xW0時有兩個不同的交點即可.又函數f(x)在(-8,+8)上單調遞增，結合函數圖像，只需尋找函數y=f(x)的圖像與直線y=kx有兩個交點的條件即可? ①畫出函數y=f(x)及y=kx的圖像，如圖所示.當直線y=kx與曲線y=ln(x+1)相切時，y'=x+1在x=0時恰好等于1，即k=1，所以直線y=x與曲線y=ln(x+1)恰好相切于坐標原點.結合圖像，可知只有當0<k<1時，y=kx與y=ln(x+1)的圖像在(0，+8)上只有一個交點.同理，直線y=2x與曲線y=-x2第4頁共4頁

+1%在坐標原點相切，結合函數的圖像，可知只有當k>2時，函數y=k%與函數y=-%2+21-2故③%的圖像在(-8,1-2故③要使y=f(%)-kx有三個零點，則k的值為上述兩個k值的交集,<k<1. ④[答案]@，1)1.設方程3%=llg(-%)1的兩個根為%1,x2(x1cx2),則()A.%1%2<0 B.%1%2=0 C.%1%2>1 D.0<%1%2<2解析：在同一平面直角坐標系中畫出函數y=3%和y=llg(-％)1的圖像，可知-2<%]<-1,-2.當%￡(3,4)時，不等式loga(%-2)+(%-3)2<0恒成立，則實數a的取值范圍是()A.[2A.[2,+^)B.(1,2]D.TOC\o"1-5"\h\z解析：由log (% -2)+ (%-3)2<0知(％-3)2< -log (% -2)= 10g (%—2),要使函數 y=a a 1log(%—2)(%￡(3,4))的圖像在函數y=(%-3)2(%￡(3,4))的圖像的上方,則1>1,1 a數形結合可知log(4—2)三(4-3)2,即10g2三log1,故1W2,a三],故1Wa<1.1 1 1aa 2 2a a a答案：C1.已知函數f(%)=(3)%—log2%，實數a,b,c滿足f(a)-f(b)-f(c)<0(0<a<b<c)，若實數%0為方程f(%)=0的一個解，那么下列不等式中，不可能成立的是()A.A.%0<b B.%0>bC.%0<c D.%0>c第5頁共5頁答案D解析函數f(x)=(3)x-log2x,在其定義域(0,+8)上是減函數，</0<a<b<c,:fa)>f(b)>f(c).夫?：fa)f(b)f(c)<0,則f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,或者f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0.若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,則x0<a，若f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,則b<x0<c，故x0>c不可能成立，故選D.2.若f(x)+2.若f(x)+1=fx+i)，當x￡［0,1］時，f(x尸x，若在區(qū)間(一1,1］內，g(x)=f(x)—mx—m有兩個零點，則實數m的取值范圍是([0,2)1 ,5，+8))[0,3)(0,2]答案D解析根據方程與函數關系.設x￡(-1,0),則x+1￡(0,1),**.f(x)=〃)1、-1=~~7-1,fx+1) x+1???畫出f(x)在(-1,1]上的圖象(如右圖),g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]上有兩個零點，即f(x)=m(x+1)有兩個不同根,即y=f(x)與y=m(x+1)有兩個不同交點.如右圖，當過(-1,0)的直線處于l與x軸之間時,滿足題意，則0<m<2..賣店函數f(x)=log2x—；的零點所在的區(qū)間為()(0,2)(0,2)(2,1)(1,2)D.(2,3)f(2)=1og22-1=1-2=|>0,解析函數f(x)的定義域為(0f(2)=1og22-1=1-2=|>0,=10g22-1=-1-2=-3<0,f(1)=10g21-1=0-1<0,21 12 L,f(3)=10g23-3>1-3=鏟0，即f(1)-f(2)<0,?,.函數f(x)=1og2x-嚏的零點在區(qū)間(1,2)內.第6頁共6頁答案C(2011?新課標全國)在下列區(qū)間中，函數f(x)=ex+4x—3的零點所在區(qū)間為().解析,2-1>0解析,2-1>0,2 1=e2+4X2-3=e乙又?:f(x)為R上的增函數,且f(：)?f(；)<0，故選C.7.函數f(x)=x2—2x的零點個數為解析由于f(-1)=1-2T=1>0,又f(0)=0-1<0,則在區(qū)間(-1,0)內有1個零點；又f(2)=22-22=0,f(4)=42-24=0,故有3個零點.答案3(2012?湖北高考)函數f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2n]上的零點的個數為 ().A.2B.3 C.4D.5兀一解析令f(x)=xcos2x=0,「.x=0或cos2x=0,即x=0或2x=kn+2,k￡Z.乙x￡[0,2n]x￡[0,2n],5 74m4m故選D.(2013?天津調研)函數f(x)=2x+x3—2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是().A.0B.1C.2D.3［思路點撥］先根據零點存在性定理證明有零點，再根據函數的單調性判斷零點的個數.解析因為f(x)=2xln2+3x2>0,所以函數f(x)=2x+x3—2在(0,1)上遞增.又f(0)=1+0—2=—1<0,f(1)=2+1—2=1>0,所以有1個零點.(1)x-2(2013?湛江模擬)設函數y=x3與y=12J 圖象的交點為(x0,y0),則x0所在的區(qū)間是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)［思路點撥］畫出兩個函數的圖象尋找零點所在的區(qū)間.(1\x-2解析設f(x)=x3-2 ,x0是函數f(x)的零點.在同一坐標系下畫出函數y=x3與y=(1)x-2- 的圖象，如圖所示.I2)第7頁共7頁

A2)=8-:?％￡(L2).=7>0,"1)/(2)<0,又A2)=8-:?％￡(L2).2x—1,第>0,已知函數段)=_若函數g(x)=?-m有3個零點，則實數m的取值范已知函數段)=圍是2%一1x>0' ’的圖象，如右圖所示，發(fā)現當0<mvl時,-x2-2x,x<0解析在坐標系內作出函數八%)=,即函數g(%)=_/(%)-機有3個零點..若函數/OOnN—q%一》圍是2%一1x>0' ’的圖象，如右圖所示，發(fā)現當0<mvl時,-x2-2x,x<0解析在坐標系內作出函數八%)=,即函數g(%)=_/(%)-機有3個零點..若函數/OOnN—q%一》的兩個零點是2和3,則函數g(%)=Z?%2—q%—1的零點是解析由C22-2?-Z?=0,得,32-3?-Z?=0a=5 11..，?g(%)=-6%2-5%-1的零點為-5，-Z.b=~6 乙3kF 1 1合案一5，一3.設定義域為R的函數八%)=<llgx\,x>0,一 則關于％的函數丁=雜(%)—寸(%)+1的零~x2—2x,xW0,點的個數為答案7解析由y=奪(%)-3危)+1