結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)

結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)一、靜定結(jié)構(gòu)分析二、超靜定結(jié)構(gòu)分析三、影響線及其應(yīng)用四、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2/2/20231§1-1概述§1-2靜定梁與靜定剛架§1-3靜定桁架§1-4靜定拱§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一、靜定結(jié)構(gòu)分析2/2/202321.工程結(jié)構(gòu)的定義:——由基本構(gòu)件（如拉桿、柱梁、板等）按照合理的方式所組成的構(gòu)件的體系，用以支承荷載并擔(dān)負(fù)預(yù)定的任務(wù)。如：橋梁、房屋等。

§1-1概述一、靜定結(jié)構(gòu)分析2/2/202332.結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對(duì)象:研究對(duì)象材料力學(xué)——研究單個(gè)桿件彈性力學(xué)——研究桿件（更精確）、板、殼、及塊體（擋土墻）等非桿狀結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)力學(xué)——研究由桿件系統(tǒng)（FramedStructure）組成的工程結(jié)構(gòu)?！?-1概述2/2/20234桁架結(jié)構(gòu)傳力分析§1-1概述2/2/20235拱結(jié)構(gòu)傳力分析§1-1概述2/2/202363.結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)：(1)研究結(jié)構(gòu)在荷載等因素作用下的內(nèi)力（強(qiáng)度）及位移（剛度）計(jì)算。

☆強(qiáng)度——結(jié)構(gòu)在外力作用下是否會(huì)破壞的問題。（如：橋在火車作用下的內(nèi)力計(jì)算問題）。☆剛度——結(jié)構(gòu)在外力作用下變形是否滿足規(guī)定值。（如：橋在火車作用下的位移、撓度、轉(zhuǎn)角計(jì)算）。

§1-1概述2/2/20237

(2)研究結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性及動(dòng)力荷載作用下的反應(yīng)。

☆穩(wěn)定性——受壓構(gòu)件在軸向壓力作用下，能否保持其直線平衡狀態(tài)。§1-1概述(3)研究結(jié)構(gòu)的組成規(guī)則和合理形式。

桿件如受壓后變彎——失穩(wěn)NN2/2/20238§1-2靜定梁與靜定剛架1.單跨靜定梁彎矩圖--習(xí)慣繪在桿件受拉的一側(cè)，不需標(biāo)正負(fù)號(hào)軸力和剪力圖--可繪在桿件的任一側(cè)，但需標(biāo)明正負(fù)號(hào)NBANABQBAQABMAB正MBA負(fù)A端B端桿端內(nèi)力內(nèi)力圖2/2/20239一般為斜直線水平線拋物線(下凸)有極值為零處有尖角(向下）有突變(突變值=

P)有極值如變號(hào)無變化

有突變（突變值=M）剪力圖彎矩圖梁上情況無外力均布力作用(q向下)集中力作用處(P向下)集中力偶M作用處鉸處無影響為零斜直線()2/2/2023101.單跨靜定梁例：令Q(X)=3qa－qx=0得X=3a2/2/2023111.單跨靜定梁利用疊加法作M圖：疊加后得：2/2/202312P

aPlabAB?應(yīng)熟記常用單跨梁的彎矩圖2/2/202313ABlqql2

22/2/202314BAqlql2

82/2/202315BAPlabPabl2/2/202316MBAablMl

alM

blMMl2/2/2023172.多跨靜定梁:

關(guān)鍵在于正確區(qū)分基本部分和附屬部分，熟練掌握截面法求控制截面彎矩，熟練掌握區(qū)段疊加法作單跨梁內(nèi)力圖。多跨靜定梁——由若干根梁用鉸相連，并用若干支座與基礎(chǔ)相連而組成的靜定結(jié)構(gòu)。2/2/202318基、附關(guān)系層疊圖多跨靜定梁簡(jiǎn)圖基本部分--不依賴其它部分而能獨(dú)立地維持其幾何不變性的部分。

附屬部分--依賴基本部分的存在才維持幾何不變的部分。2/2/2023192.多跨靜定梁

*多跨靜定梁的受力分析及內(nèi)力圖

分析計(jì)算順序：先附屬部分，后基本部分。

(1)確定全部反力（包括基本部分反力及連接基本部分與附屬部分的鉸處的約束反力），作出層疊圖。

(2)將多跨靜定梁折成幾個(gè)單跨靜定梁，按先附屬部分后基本部分的順序繪內(nèi)力圖。

2/2/2023202.多跨靜定梁例2/2/2023213.靜定平面剛架

*剛架的概念：剛架是由梁和柱共同組成的一個(gè)整體承重結(jié)構(gòu)。其特性總是有剛結(jié)點(diǎn),即梁和柱的連接是剛性連接。共同承載，可削減M峰值。剛結(jié)點(diǎn)2/2/202322保持角度不變剛結(jié)點(diǎn)處的變形特點(diǎn)3.靜定平面剛架

2/2/202323

例.作內(nèi)力圖

3.靜定平面剛架2/2/202324(1)

求反力。

切斷C鉸，考慮右邊平衡，再分析左邊部分。求得反力如圖所示：3.靜定平面剛架C2/2/202325(2)作M圖

(3)做Q、N圖

(4)校核M圖

N圖Q圖3.靜定平面剛架2/2/202326§1-4靜定桁架2/2/202327*

桁架的定義：——由若干個(gè)以鉸（Pins）結(jié)點(diǎn)連接而成的結(jié)構(gòu)，外部荷載只作用在結(jié)點(diǎn)上?！?-4靜定桁架1.結(jié)點(diǎn)法求桁架內(nèi)力截取桁架中的任一結(jié)點(diǎn)，由作用于該結(jié)點(diǎn)的外力及繞該結(jié)點(diǎn)諸桿的內(nèi)力組成的平面匯交力系的平衡條件:由此求出該結(jié)點(diǎn)處各桿的內(nèi)力。

2/2/2023281.

結(jié)點(diǎn)法求桁架內(nèi)力⑴先求出桁架的支座反力。⑵對(duì)于簡(jiǎn)單桁架，先取用兩根桿件組成的結(jié)點(diǎn)，按求其內(nèi)力，然后按幾何組成的反順序，依次求出其他桿內(nèi)力。計(jì)算順序：(組成順序：2→6→3→5→4)結(jié)點(diǎn)法計(jì)算順序：4→5→3→6→21234765如：2/2/2023291.

結(jié)點(diǎn)法求桁架內(nèi)力例2641357幾何組成：3→4→6→5→72/2/2023301.

結(jié)點(diǎn)法求桁架內(nèi)力首先取結(jié)點(diǎn)7：再取結(jié)點(diǎn)5：易求得：依次6→4→3可求得其余各桿內(nèi)力（如圖）7N5352/2/2023311.

結(jié)點(diǎn)法求桁架內(nèi)力2641357+60-45+60+750-50+15-120+25-20-202/2/2023322.

截面法求桁架的內(nèi)力原則：截取桁架的某一部分（包含二個(gè)或二個(gè)以上結(jié)點(diǎn)）作為脫離體，應(yīng)用平面一般力系的三個(gè)平衡條件，求解桁架內(nèi)力。2/2/2023332.截面法求桁架的內(nèi)力作法：(1)截取包含三根桿件部分的桁架，應(yīng)用平衡條件求解。1KN1KN1KNⅠⅠ2/2/2023342.

截面法求桁架的內(nèi)力(2)當(dāng)截取的桿件在三根以上時(shí)：1)當(dāng)截取n根桿件時(shí)，其中n－1根桿件相互平行，則用投影方程求出不與其平行桿的內(nèi)力。ⅠⅠ求2/2/2023352.

截面法求桁架的內(nèi)力2)當(dāng)截取n根桿件，其中n－1根桿相交于一點(diǎn)，則用力矩方程，求出與其不相交桿的內(nèi)力。求2/2/2023362.

截面法求桁架的內(nèi)力例1.作截面I-I，取左半部分，利用力矩平衡條件可得：2/2/2023372.

截面法求桁架的內(nèi)力作I-I截面，取上半部分：例2.求2/2/2023382.

截面法求桁架的內(nèi)力作I-I截面，取左部分：例3．求2/2/2023393.

截面法與結(jié)點(diǎn)法的聯(lián)合應(yīng)用例II2/2/2023403.

截面法與結(jié)點(diǎn)法的聯(lián)合應(yīng)用作截面I-I，取左半邊：由考慮結(jié)點(diǎn)5：考慮結(jié)點(diǎn)8：考慮結(jié)點(diǎn)6：682/2/202341§1-5靜定拱2/2/2023421.基本概念

*拱的定義拱——桿軸線為曲線，并在豎向荷載作用下將產(chǎn)生水平推力的結(jié)構(gòu)。無水平推力，為曲梁

§1-5靜定拱2/2/2023432.

三鉸拱的數(shù)解法1.

求反力：HA、HB、VA、VB§1-5靜定拱2/2/2023442.

三鉸拱的數(shù)解法取左半拱為隔離體，考慮其平衡：

——相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在C處的彎矩。

三鉸拱的約束反力只與荷載及三鉸的位置有關(guān)，

與拱軸線無關(guān)。

2/2/2023452.

三鉸拱的數(shù)解法*

內(nèi)力計(jì)算：⑴任一截面K(位置)：

⑵內(nèi)力：

2/2/2023462.

三鉸拱的數(shù)解法⑶彎矩計(jì)算：2/2/2023472.

三鉸拱的數(shù)解法

⑷軸力計(jì)算：

⑸剪力計(jì)算：

——左正、右負(fù)

三鉸拱的內(nèi)力與拱的軸線形狀有關(guān)。

2/2/2023483.

三鉸拱的合理拱軸線

(1)定義：在已知荷載作用下，能選擇三鉸拱的軸線，使得拱的所有橫截面上的彎矩為零。該拱的軸線就稱為三鉸拱的合理拱軸線。

(2)條件：拱軸線與壓力線重合時(shí)，滿足橫截面上的彎矩M＝0、Q=0，而僅有軸力N。

2/2/202349例3.

三鉸拱的合理拱軸線2/2/202350求各段的合理拱軸線。⑴AD段：

⑵DC段：

⑶BC段：3.

三鉸拱的合理拱軸線2/2/202351§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023521.變形體系的虛功原理變形體系處于平衡的充要條件是：對(duì)于任何虛位移，外力所作虛功總和等于各微段上的內(nèi)力在其形變上所作的虛功之和，或外力虛功等于變形虛功。§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/202353平面桿系：——虛功方程γγ力：位移：§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023542.位移計(jì)算的一般公式·單位荷載法桿系結(jié)構(gòu)的虛功方程:——虛力原理求位移§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023552.位移計(jì)算的一般公式·單位荷載法位移狀態(tài)（實(shí)際狀態(tài)）力狀態(tài)（虛擬狀態(tài)）△γQMN§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023562.位移計(jì)算的一般公式·單位荷載法外力：內(nèi)力：——由上式可求出位移△K。力狀態(tài)§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023572.位移計(jì)算的一般公式·單位荷載法——在虛擬的力狀態(tài)中，于所求位移點(diǎn)沿所求位移方向加一個(gè)單位荷載，以使荷載虛功恰好等于所求位移的計(jì)算位移方法。單位荷載法：§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023583.荷載作用下的位移計(jì)算若MP、NP、QP表示實(shí)際狀態(tài)中微段上的內(nèi)力。由材料力學(xué)知：§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023593.荷載作用下的位移計(jì)算——平面桿系結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023603.荷載作用下的位移計(jì)算說明：1.逐段、逐桿積分。2.精確于直桿、曲桿不精確。如其曲率不大（截面高≤R），可得較精確的解。3.對(duì)以受彎為主的結(jié)構(gòu)（梁、剛架）：對(duì)只有軸力的結(jié)構(gòu)（桁架）：組合結(jié)構(gòu)則應(yīng)分別對(duì)待?！?-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023613.荷載作用下的位移計(jì)算例：求△cy1.

建立力狀態(tài)，在C點(diǎn)加單位豎向力。2.

建立各桿內(nèi)力方程：3.

求位移：EIEI§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023623.荷載作用下的位移計(jì)算積分注意事項(xiàng)：⒈逐段、逐桿積分。⒉兩狀態(tài)中內(nèi)力函數(shù)服從同一坐標(biāo)系。⒊彎矩的符號(hào)法則兩狀態(tài)一致。§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/2023634.圖乘法可用圖乘法代替積分運(yùn)算的條件：(1)桿軸線為直線。(3)之中至少有一者為直線圖形（或由直線段組成的折線）。(2)EI沿桿長(zhǎng)不變?！?-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/202364yy0MP圖M1圖dxABxx04.圖乘法§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/202365條件：1各桿EI為常數(shù)；2桿軸為直線；3MP、M1中至少有一個(gè)為直線圖形。積分等于曲線圖形的面積乘以其形心對(duì)應(yīng)的直線圖形的縱坐標(biāo)。已知：EI為常數(shù)。求：MP圖M圖M=11例1、解：MP、M圖均為直線，縱坐標(biāo)可從任意圖形中選。PlPlB2/2/202366例2、解：已知：EI=常數(shù)。求B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。aaPAB4EIEIEIPaMP圖M圖1M=1“-”說明實(shí)際的轉(zhuǎn)角方向與所設(shè)的單位力方向相反2/2/202367§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/202368§1-５靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2/2/202369§2-1力法§2-2位移法二、超靜定結(jié)構(gòu)分析2/2/2023701.超靜定結(jié)構(gòu)的概念§2-1力法*計(jì)算方法2/2/2023712.

力法的基本概念*基本未知量思路：將對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)化為對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的分析。多余未知力——基本未知量*基本結(jié)構(gòu)§2-1力法2/2/2023722.

力法的基本概念*基本方程（幾何）位移條件方程：2/2/202373*基本步驟1、選取基本結(jié)構(gòu)。2、列出典型方程：3、計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)：4、解方程：5、作M圖：2/2/2023742.

力法的基本概念總結(jié)力法：

解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系而得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，以多余未知力作為基本未知數(shù)，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)應(yīng)與原結(jié)構(gòu)變形相同而建立的位移條件，首先求出多余未知力，然后由平衡條件即可計(jì)算其余反力、內(nèi)力的方法?！?-1力法2/2/202375力法的基本原理求解圖示單跨梁原結(jié)構(gòu)待解的未知問題AB基本結(jié)構(gòu)已掌握受力、變形primarystructureorfundamentalstructure基本體系fundamentalsystemorprimarysystem轉(zhuǎn)化2/2/202376變形協(xié)調(diào)條件力法典型方程(TheCompatibilityEquationofForceMethod)未知力的位移“荷載”的位移總位移等于已知位移已掌握的問題消除兩者差別2/2/202377疊加作彎矩圖或系數(shù)求法單位彎矩圖荷載彎矩圖

—

位移系數(shù)自乘系數(shù)和未知力等于多少？

—

廣義荷載位移互乘2/2/2023783.力法的典型方程三次超靜定x1x23§2-1力法2/2/2023793.力法的典型方程將位移展開：令分別是引起的的作用點(diǎn)沿方向的位移。同理?！?-1力法2/2/2023803.力法的典型方程于是得：可寫出其一般形式：主系數(shù)，主位移。付系數(shù)，付位移?！?-1力法2/2/2023813.力法的典型方程系數(shù)梁剛架：桁架：自由項(xiàng)梁剛架：桁架：§2-1力法2/2/202382例11、取基本結(jié)構(gòu)：2、基本方程：3、作圖，求算系數(shù)和自由項(xiàng)：解：4.實(shí)例分析2/2/2023834、解方程：5、作圖：2/2/202384例2解：1、取基本結(jié)構(gòu)：2、3、求系數(shù)。4、解方程:5、2/2/202385力法基本思路小結(jié)

根據(jù)結(jié)構(gòu)組成分析，正確判斷多余約束個(gè)數(shù)——超靜定次數(shù)。

解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定的基本結(jié)構(gòu)。多余約束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本結(jié)構(gòu)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調(diào)條件——力法典型方程。

從典型方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)分析通過轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。2/2/202386將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，通過消除已知問題和原問題的差別，使未知問題得以解決。這是科學(xué)研究的基本方法之一。2/2/202387

由于從超靜定轉(zhuǎn)化為靜定，將什么約束看成多余約束不是唯一的，因此力法求解的基本結(jié)構(gòu)也不是唯一的。解法1：原結(jié)構(gòu)基本體系FPFP解法2：原結(jié)構(gòu)基本體系FPFP2/2/202388原結(jié)構(gòu)FP基本體系FPM1圖M2圖FPaFPMP圖單位和荷載彎矩圖2/2/202389FPaFP由單位和荷載彎矩圖可勾畫出基本體系變形圖FPFPaFP由單位和荷載M圖可求得位移系數(shù)、建立方程FP（×Fpa）2/2/202390原結(jié)構(gòu)FP基本體系FPFPaFP單位和荷載彎矩圖2/2/202391對(duì)稱荷載:作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點(diǎn)對(duì)稱的荷載反對(duì)稱荷載:作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸兩側(cè),大小相等,作用點(diǎn)對(duì)稱,方向反對(duì)稱的荷載5.對(duì)稱性(Symmetry)利用對(duì)稱荷載反對(duì)稱荷載2/2/202392對(duì)稱荷載反對(duì)稱荷載PllMllPllEI=CllEI=CM右面這些荷載是對(duì)稱,反對(duì)稱荷載,還是一般性荷載?5.對(duì)稱性(Symmetry)利用2/2/2023935.對(duì)稱性利用對(duì)稱性利用原則：⑴取對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)。⑵如荷載對(duì)稱或反對(duì)稱——取半結(jié)構(gòu)。2/2/2023945.對(duì)稱性利用*取半結(jié)構(gòu)1、奇數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)：⑴對(duì)稱荷載：⑵反對(duì)稱荷載：2/2/2023955.對(duì)稱性利用2、偶數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)：⑴對(duì)稱荷載：2/2/2023965.對(duì)稱性利用⑵反對(duì)稱荷載：2/2/202397例12/2/202398例2⑴取半結(jié)構(gòu)，基本結(jié)構(gòu)：⑶求系數(shù)：⑵⑷若

強(qiáng)梁弱柱若

弱梁強(qiáng)柱

很小2/2/202399例32/2/20231006.超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算*基本原理：在荷載及多余未知力共同作用下，基本結(jié)構(gòu)的受力和位移與原結(jié)構(gòu)完全一致。因而求超靜定結(jié)構(gòu)位移，可用求基本結(jié)構(gòu)位移來代替。虛功原理§2-1力法2/2/20231016.超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算圖2II△kk圖2II§2-1力法2/2/20231026.超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

如取基本結(jié)構(gòu)求虛擬狀態(tài)的內(nèi)力，可使問題簡(jiǎn)化。圖k圖2II§2-1力法2/2/20231036.超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算再取一種基本結(jié)構(gòu)：圖k圖2II同樣可得：§2-1力法2/2/2023104*發(fā)展歷史

1864年出現(xiàn)力法。上世紀(jì)初出現(xiàn)了混凝土，出現(xiàn)了高次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法解高次超靜定問題十分繁瑣，于是建立了位移法。30年代出現(xiàn)了由位移法演變而來的漸進(jìn)法。

§2-2位移法1.概述

2/2/2023105*位移法與力法的區(qū)別

在給定的外部因素的作用下，（幾何不變的）結(jié)構(gòu)真實(shí)的解答是唯一的。兩者有確定的關(guān)系，知其一必知其二。真實(shí)解答中

力法，先求力（未知力、內(nèi)力、反力），再計(jì)算相應(yīng)位移。位移法，先確定位移，再求內(nèi)力?！?-2位移法1.概述

2/2/2023106*位移法與力法的區(qū)別

用力法求解，有6個(gè)未知數(shù)。

用位移法求解，未知數(shù)=

？個(gè)?！?-2位移法1.概述

2/2/20231072.位移法基本解題思路例：作M圖：(順時(shí)針作用于桿端的彎矩正)2/2/2023108歸納出位移法解題的基本思路：⑴依據(jù)幾何條件（支、變形），確定某些結(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)。⑵視各桿為單跨超靜定梁，建立內(nèi)力和位移的關(guān)系。⑶由基本方程（平衡方程）求位移。⑷求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。2.位移法基本解題思路2/2/2023109*位移法中需要解決的問題：⑴解出單跨超靜定梁在常見外部因素作用下的內(nèi)力。⑵確定以哪些結(jié)點(diǎn)的哪些位移為未知量。⑶如何建立一般情形下的基本方程。2.位移法基本解題思路2/2/20231103.位移法的基本未知數(shù)與基本結(jié)構(gòu)*基本未知量——結(jié)點(diǎn)的位移先確定數(shù)目⑴角位移的數(shù)目（未知量）=剛結(jié)點(diǎn)數(shù)固端支座——角位移=0鉸支座，鉸結(jié)點(diǎn)——角位移不獨(dú)立。2個(gè)角位移3個(gè)角位移3個(gè)角位移2/2/20231113.位移法的基本未知數(shù)與基本結(jié)構(gòu)⑵線位移未知量數(shù)目首先必須強(qiáng)調(diào)

那么，有兩個(gè)已知無線位移的點(diǎn)引出的不共線的受彎桿形成的新的結(jié)點(diǎn)也無線位移。一般方法：取鉸接體系：結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)=自由度數(shù)=使絞結(jié)體系成為幾何不變體系所必加的最少鉸鏈桿數(shù)

2/2/20231123.位移法的基本未知數(shù)與基本結(jié)構(gòu)2/2/20231133.位移法的基本未知數(shù)與基本結(jié)構(gòu)*基本結(jié)構(gòu)——單跨超靜定梁的組合體。⑴假設(shè)在剛結(jié)點(diǎn)處加上附加剛臂-----阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移⑵適當(dāng)?shù)丶尤敫郊渔湕U-----使結(jié)點(diǎn)無線位移2/2/20231144.位移法的典型方程及計(jì)算步驟*基本原理及基本方程——充分利用疊加原理考慮如下結(jié)構(gòu)：2/2/20231154.位移法的典型方程及計(jì)算步驟基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件是

：基本結(jié)構(gòu)在給定荷載及結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2共同作用下，在附加約束中產(chǎn)生的總約束反力R1、R2應(yīng)等于零，即2/2/20231164.位移法的典型方程及計(jì)算步驟由疊加原理求如R1、R2，分解成下列幾種情形：(1)荷載單獨(dú)作用——R1P、R2P（相應(yīng)約束反力）(2)單位位移單獨(dú)作用——2/2/20231174.位移法的典型方程及計(jì)算步驟(3)單獨(dú)作用——疊加以上結(jié)果得：——典型方程——單位位移單獨(dú)作用引起的第一個(gè)附加約束中的反力（矩）。2/2/20231184.位移法的典型方程及計(jì)算步驟當(dāng)有n個(gè)基本未知量時(shí)：根據(jù)反力互等定理：2/2/2023119解題過程：超靜定結(jié)構(gòu)拆成基本結(jié)構(gòu)加上某些條件原結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件（力法基本方程）2/2/2023120位移法：先求某些結(jié)點(diǎn)位移結(jié)構(gòu)內(nèi)力解題過程：結(jié)構(gòu)拆成單根桿件的組合體加上某些條件1.桿端位移協(xié)調(diào)條件2.結(jié)點(diǎn)的平衡條件2/2/2023121*計(jì)算步驟（實(shí)例分析）1、取基本結(jié)構(gòu)：2、列剛度方程：3、系數(shù)及自由項(xiàng)：（作、，借助表11-1）2/2/2023122解典型方程，求位移：解得4、疊加繪M圖：2/2/2023123例：1、簡(jiǎn)化原結(jié)構(gòu)，取基本結(jié)構(gòu):2、列基本方程：3、求系數(shù)：2/2/20231244、解方程得：2/2/20231255對(duì)稱性的利用

外部因素奇數(shù)跨偶數(shù)跨2/2/20231265對(duì)稱性的利用

2/2/20231275對(duì)稱性的利用

2/2/2023128例：求彎矩。1、取半結(jié)構(gòu)：2、取基本結(jié)構(gòu)：3、典型方程：4、求系數(shù)：5、解方程：6、作圖2/2/2023129§3-1概述§3-2單跨靜定梁的影響線§3-3間接荷載作用下的影響線§3-4多跨靜定梁的影響線§3-5靜定平面桁架的影響線§3-6最不利荷載位置§3-7簡(jiǎn)支梁的包絡(luò)圖三、影響線及其應(yīng)用2/2/2023130§3-1概念三、影響線及其應(yīng)用1.

移動(dòng)荷載一組力，其大小、方向、彼此間的距離保持不變，而整個(gè)力系平行移動(dòng)。移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（M、Q、N)及位移（撓度、轉(zhuǎn)角）隨著移動(dòng)荷載位置而發(fā)生變化。移動(dòng)2/2/2023131§3-1概念2.最不利荷載位置結(jié)構(gòu)的某一量值（反力、內(nèi)力、位移）隨移動(dòng)荷載位置移動(dòng)而變化，該量值最大時(shí)的荷載作用位置。在此只討論移動(dòng)荷載為單位豎向集中力的情況。2/2/2023132§3-1概念例：有一單位力在簡(jiǎn)支梁上移動(dòng)的影響線影響線：在單位集中力移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)內(nèi)某一量值（反力、內(nèi)力、位移）隨單位力作用位置變化的圖形，稱為該量值的影響線。2/2/2023133§3-2單跨靜定梁的影響線作影響線的方法靜力法——將單位集中力的任意位置用x表示，用靜力平衡條件求出某一量值與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即影響線方程，再依方程作圖。

2/2/2023134§3-2單跨靜定梁的影響線1.簡(jiǎn)支梁的影響線

*反力影響線(規(guī)定反力向上為正)：2/2/2023135§3-2單跨靜定梁的影響線*彎矩的影響線(規(guī)定梁下緣受拉為正)：(右直線)(左直線)作用于AC段作用于CB段2/2/2023136§3-2單跨靜定梁的影響線*剪力影響線(規(guī)定使梁段順時(shí)針為正)：作用在AC段（左直線）作用在CB段(右直線)2/2/2023137§3-2單跨靜定梁的影響線2.外伸梁的影響線*反力影響線：2/2/2023138*跨內(nèi)部分截面的內(nèi)力影響線：（1）彎矩影響線：在DC段時(shí)在CE段時(shí)§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023139（2）剪力影響線：在DC段時(shí)在CE段時(shí)§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023140*外伸跨內(nèi)力影響線：（1）彎矩影響線：在DK段時(shí)在KE段時(shí)KK§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023141（2）剪力影響線：在DK段時(shí)在KE段時(shí)KK1§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023142如果K在A截面處：在DK(A)段在K(A)E段K§3-2單跨靜定梁的影響線2/2/2023143§3-3間接荷載作用下的影響線2/2/2023144§3-3間接荷載作用下的影響線傳力過程：輪壓→→→→→→橋面板縱梁橫梁主梁橋臺(tái)地基主梁只是在與橫梁連接處受到集中荷載的作用。通過橫梁傳遞給主梁的集中力稱為間接荷載，又稱為結(jié)點(diǎn)荷載。（panelpoint）2/2/2023145§3-3間接荷載作用下的影響線間接荷載作用下主梁上MC的影響線：縱梁主梁橫梁CDXEdyDyEycADEBCP=12/2/2023146§3-3間接荷載作用下的影響線（1）單位力P=1作用在結(jié)點(diǎn)處(A、D、E、F、B)，各結(jié)點(diǎn)處的影響線豎標(biāo)與P=1直接作用在主梁AB上MC影響線相同。ADEBCP=1F2/2/2023147§3-3間接荷載作用下的影響線（2）單位力P=1作用在兩相鄰結(jié)點(diǎn)間,如DE間，假定P=1作用在縱梁上時(shí)產(chǎn)生的MC影響線豎標(biāo)為Y。P=1產(chǎn)生的影響線MC豎標(biāo)應(yīng)等于其分力(d-x)/d和x/d產(chǎn)生的MC影響線豎標(biāo)之和。ADEBCP=1F2/2/2023148§3-3間接荷載作用下的影響線作用：——在DE間呈直線變化。2/2/2023149§3-3間接荷載作用下的影響線間接荷載作用下主梁影響線作法：1.先作直接荷載作用下所求量值的影響線。2.取各結(jié)點(diǎn)處豎標(biāo)，將各點(diǎn)在每一縱梁范圍內(nèi)連以直線。2/2/2023150§3-3間接荷載作用下的影響線例1：2/2/2023151例2：§3-4多跨靜定梁的影響線2/2/2023152§3-4多跨靜定梁的影響線2/2/2023153§3-5靜定平面桁架的影響線1.桁架影響線分析的特點(diǎn)*桁架上移動(dòng)的荷載作用形成：下承式：上承式：P=1在下弦移動(dòng)P=1在上弦移動(dòng)2/2/2023154*桁架中移動(dòng)荷載是通過縱、橫梁系傳遞到橫梁的結(jié)點(diǎn)上的。因此，間接荷載影響線的計(jì)算方法適用于桁架影響線的計(jì)算?！?-5靜定平面桁架的影響線1.桁架影響線分析的特點(diǎn)2/2/20231552.桁架支反力影響線——與相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁的支反力影響線相同?！?-5靜定平面桁架的影響線2/2/20231563.桁架內(nèi)力影響線：*力矩法：——一般用于求上、下弦桿的內(nèi)力影響線*投影法：——一般用于求腹桿的內(nèi)力影響線*結(jié)點(diǎn)法：——求端支斜桿影響線§3-5靜定平面桁架的影響線2/2/2023157例：(一)力矩法求的影響線。§3-5靜定平面桁架的影響線2/2/2023158取右側(cè)平衡：由c、當(dāng)在12段時(shí)，運(yùn)用間接荷載影響線性質(zhì)（1）求，作截面。a、在A1段取左側(cè)平衡：由b、在2B段2/2/2023159(2)求上弦桿的影響線。2/2/2023160二、用投影法求腹桿的影響線。a、b、c、2/2/2023161三、用結(jié)點(diǎn)法求支座斜桿的影響線。c、b、a、2/2/2023162靜定桁架影響線作法：1、區(qū)分P=1在桁架上或下弦桿移動(dòng)。2、用力矩法作出的影響線，其左、右兩直線恒交于矩心的下方。3、用投影法求出的影響線，其左、右兩直線相互平行，曲折部分在切斷面作在載重鉸間。2/2/2023163*最不利荷載位置：移動(dòng)荷載作用下，某一量值（內(nèi)力、反力、變形）隨位置而變化，使得某一量值發(fā)生最大（或最?。┲禃r(shí)的荷載位置，稱為該量值的最不利荷載位置?！?-6最不利荷載位置2/2/20231642、最不利荷載位置的確定(1)

影響線為折線形：一組集中力作用在結(jié)構(gòu)的某一位置上，量值為：（規(guī)定以逆時(shí)針為正,即沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)到角時(shí)為正）§3-6最不利荷載位置2/2/2023165通常使用的方法：將移動(dòng)荷載中數(shù)值較大且較多密集的集中力組放在影響線的最大豎標(biāo)附近。將移動(dòng)荷載盡可能放在同一符號(hào)的影響線線段范圍內(nèi)?！?-6最不利荷載位置2/2/2023166§3-7簡(jiǎn)支梁的包絡(luò)圖包絡(luò)圖——聯(lián)結(jié)各截面的最大、最小的內(nèi)力的圖形。包絡(luò)圖作用荷載活載需要考慮其沖擊力影響（動(dòng)力影響），用沖擊系數(shù)來表示。2/2/2023167

設(shè)活載——均布荷載q

，某內(nèi)力影響線正負(fù)面積及總面積活載的換算荷載為k，于是該力在恒載活載共同作用下的最大最小值分別為：§3-7簡(jiǎn)支梁的包絡(luò)圖2/2/2023168§4-1概述§4-2單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程§4-3單自由度體系的自由振動(dòng)§4-4單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力計(jì)算§4-5單自由度體系在任意荷載作用下的動(dòng)力計(jì)算§4-6多自由度體系的自由振動(dòng)§4-7多自由度體系主振型的正交性四、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2/2/2023169為什么要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析？§4-1概述TacomaNarrowsBridge1940.7.1-11.72/2/2023170

1940年11月7日上午，位于美國(guó)華盛頓州剛建成四個(gè)月，主跨853米，位居當(dāng)時(shí)世界第三的塔科馬海峽橋（TakomaNarrowBridge），在八級(jí)大風(fēng)（風(fēng)速19m/s）作用下，經(jīng)過劇烈的扭曲震蕩后，橋面結(jié)構(gòu)解體損毀，半跨墜落水中。當(dāng)時(shí)該橋沒有封閉交通。在塔科馬橋風(fēng)毀前，橋梁風(fēng)毀時(shí)有發(fā)生（其中以懸索橋居多），人們總是把橋梁的風(fēng)毀歸咎于對(duì)靜力風(fēng)荷載估計(jì)不足，而導(dǎo)致強(qiáng)度或變形破壞。然而塔科馬橋的設(shè)計(jì)是經(jīng)過充分的抗風(fēng)靜力計(jì)算，足以支承數(shù)以萬噸計(jì)的重量和荷載，卻仍在較低風(fēng)速下被風(fēng)吹毀，不能不令全世界橋梁工程師為之震驚。風(fēng)作用引起的抖振、渦激共振等是造成橋梁疲勞損傷的元兇。

§4-1概述2/2/2023171海城地震破壞現(xiàn)場(chǎng)

震級(jí)：7.3級(jí)時(shí)間：1975年2月4日死亡：2041人損失：17.5億元2/2/2023172唐山地震破壞現(xiàn)場(chǎng)

震級(jí)：7.8級(jí)時(shí)間：1976年7月28日死亡：24.2萬人損失：超過200億元2/2/2023173麗江地震破壞現(xiàn)場(chǎng)

震級(jí)：7.0級(jí)時(shí)間：1996年2月3日死亡：309人損失：30.5億元2/2/2023174921臺(tái)灣地震東勢(shì)地區(qū)嚴(yán)重的災(zāi)情

----到處可見樓如骨牌般倒塌2/2/2023175地震災(zāi)害：死亡人數(shù)最多，最容易引起社會(huì)恐慌的災(zāi)害全國(guó)各種災(zāi)害死亡人數(shù)對(duì)比（1949-1991）40%54%地震災(zāi)害氣象災(zāi)害地質(zhì)災(zāi)害海洋、林業(yè)災(zāi)害其他災(zāi)害§4-1概述2/2/2023176§4-1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)（2）研究單自由度及多自由度的自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)。1、任務(wù)：（1）研究動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等計(jì)算原理和計(jì)算方法。求出它們的最大值并作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù)。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)：主要研究結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下的靜力反應(yīng)（靜內(nèi)力和靜位移等）。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)：主要研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移、速度、加速度等）。2、內(nèi)容：2/2/2023177§4-1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)2、內(nèi)容：2/2/2023178輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）控制系統(tǒng)（裝置、能量）第一類問題：反應(yīng)分析——正問題§4-1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)2、內(nèi)容：當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示：2/2/2023179當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示：控制系統(tǒng)（裝置、能量）輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）第二類問題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識(shí)別§4-1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)2、內(nèi)容：2/2/2023180控制系統(tǒng)（裝置、能量）輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）第三類問題：荷載識(shí)別。二、三為反問題當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示：§4-1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)2、內(nèi)容：2/2/2023181輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）控制系統(tǒng)（裝置、能量）第四類問題：控制問題當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示：§4-1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)2、內(nèi)容：2/2/2023182§4-1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)3、靜荷載和動(dòng)荷載（1）靜荷載：荷載的大小、方向和作用點(diǎn)不隨時(shí)間變化或隨時(shí)間極其緩慢地變化，不致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的加速度，由此引起的慣性力與作用荷載相比可以略去不計(jì)的荷載。（2）動(dòng)荷載：荷載的大小、方向和作用點(diǎn)不僅隨時(shí)間變化，而且加載速率較快，由此產(chǎn)生的慣性力在結(jié)構(gòu)分析中不容忽視的荷載。2/2/20231834、特點(diǎn)（2）內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜平衡。必須考據(jù)慣性力。依達(dá)朗伯原理，加慣性力后，將動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題。(1)必須考慮慣性力。(3)分析自由振動(dòng)即求自振頻率、振型、阻尼參數(shù)等是求強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力反應(yīng)的前提和準(zhǔn)備。(4)學(xué)習(xí)循序漸進(jìn)?！?-1概述2/2/2023184動(dòng)荷載可有多種分類方法，常見的是：動(dòng)荷載確定不確定風(fēng)荷載地震荷載其他無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡(jiǎn)諧荷載非簡(jiǎn)諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動(dòng)荷載二、動(dòng)力荷載的種類

2/2/2023185二、動(dòng)力荷載的種類——常見荷載

1、簡(jiǎn)諧周期荷載：荷載按正弦余弦規(guī)律變化（偏心轉(zhuǎn)子對(duì)結(jié)構(gòu)的沖擊）。P(t)=psint2/2/2023186二、動(dòng)力荷載的種類——常見荷載

2、沖擊荷載：荷載在短時(shí)間內(nèi)急劇增加或減少（鍛錘對(duì)基礎(chǔ)的沖擊、爆炸等）。P(t)totdP(t)totd3、風(fēng)荷載4、地震荷載2/2/2023187三、振動(dòng)體系的自由度

1、基本未知量：

以質(zhì)點(diǎn)位移作為基本未知量。結(jié)構(gòu)上全部質(zhì)點(diǎn)有幾個(gè)獨(dú)立的位移，就有幾個(gè)獨(dú)立的未知量。2、自由度：

結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定全部質(zhì)點(diǎn)位置所需要的獨(dú)立幾何參變量的數(shù)目（與幾何組成自由度不同）?！?-1概述2/2/2023188（2）與幾何組成分析中的自由度不同。

對(duì)梁和剛架（1）略去軸向變形（2）略去慣性力矩∴只有一個(gè)自由度M=ml分布質(zhì)量，有無限自由度ml3、有關(guān)自由度的幾點(diǎn)說明：（1）基本未知量數(shù)目與自由度數(shù)目是一致的。前者強(qiáng)調(diào)獨(dú)立位移數(shù)目，后者強(qiáng)調(diào)獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。（3）一般采用“集中質(zhì)量法”，將連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)研究。2/2/2023189

（4）并非一個(gè)質(zhì)量集中點(diǎn)一個(gè)自由度（分析下例）。

（5）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無關(guān)。2個(gè)自由度2個(gè)自由度4個(gè)自由度靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定結(jié)構(gòu)3次超靜定結(jié)構(gòu)2/2/2023190EIy2y1(2個(gè))EI(0個(gè))y1(1個(gè))(6)自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目無關(guān)EI=∞EIy1(1個(gè))(1個(gè))2/2/2023191（7）可用加鏈桿的方法確定自由度。(8)彈簧支撐：彈簧對(duì)自由度無影響EIy2y1EIy2y12/2/20231922、引起振幅衰減是因能量損耗，其主要原因有：（2）周圍介質(zhì)對(duì)振動(dòng)的阻力。（1）結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)摩擦阻力。（4）地基土等的摩擦阻力。（5）建筑物基礎(chǔ)振動(dòng)引起土體振動(dòng)，振波傳播，能量擴(kuò)散。（3）支座、結(jié)點(diǎn)等構(gòu)件聯(lián)結(jié)處的摩擦力。四、體系振動(dòng)的衰減現(xiàn)象，阻尼力1、自由振動(dòng)的衰減：

結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)時(shí)的振幅隨時(shí)間逐漸減小，直至振幅為零、震動(dòng)停止的現(xiàn)象。2/2/2023193

4、粘滯阻尼理論（伏伊特理論）：

阻尼力與體系振動(dòng)的變形速度成正比，方向與速度方向相反。

3、阻尼：

使能量耗散的因素，統(tǒng)稱為阻尼。(c為阻尼系數(shù)）2/2/2023194§4-2

單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程一、研究單自由度體系振動(dòng)的重要性

1、單自由度體系是工程上一些實(shí)際結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化。

2、單自由度體系是研究復(fù)雜動(dòng)力計(jì)算的基礎(chǔ)。建筑物基礎(chǔ)水塔的水平振動(dòng)2/2/2023195二、單自由度體系振動(dòng)的簡(jiǎn)化模型

mk11ck11cm恢復(fù)力簡(jiǎn)化為一彈簧，阻尼力簡(jiǎn)化為一阻尼器1、彈簧剛度系數(shù)（k11）：使彈簧伸長(zhǎng)或壓縮單位長(zhǎng)度所需之力。2、彈簧柔度系數(shù)（11）:在單位力作用下，彈簧的伸長(zhǎng)或壓縮量。2/2/2023196三、單自由度體系振動(dòng)微分（運(yùn)動(dòng)）方程的建立

mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)取物塊為隔離體,其上共作用五個(gè)力1、達(dá)朗伯原理是建立運(yùn)動(dòng)方程所依據(jù)的基本原理。2、剛度法列動(dòng)力平衡方程S(t)-彈簧張力D(t)-阻尼力I(t)-慣性力P(t)-外力W-重力2/2/20231973、柔度法列位移方程S(t)WI(t)D(t)P(t)以彈簧為研究對(duì)象,分析它與物塊聯(lián)結(jié)點(diǎn)處的位移。y0S’(t)任意時(shí)刻的位移:即:將代入上式,得:2/2/2023198單自由度體系振動(dòng)微分（運(yùn)動(dòng)）方程:彈簧張力阻尼力慣性力干擾力mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)2/2/2023199§4-3

單自由度體系的自由振動(dòng)一、無阻尼自由振動(dòng)2、運(yùn)動(dòng)方程及其解的形式：令則其解則tc2cy令cc2c1

1、特點(diǎn)：

(1)無能量耗散,振動(dòng)一經(jīng)開始永不休止：(2)無振動(dòng)荷載：2/2/20232003、幾個(gè)概念（1）周期：振動(dòng)一次所需的時(shí)間。（2）工程頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)（與周期互為倒數(shù)）。單位為1/秒。（3）頻率（圓頻率）：旋轉(zhuǎn)向量的角速度，即體系在2秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)。自由振動(dòng)時(shí)的圓頻率稱為“自振頻率”。單位為弧度/秒。2/2/2023201頻率定義式：頻率計(jì)算式：周期計(jì)算式：自振頻率是體系本身的固有屬性，與體系的剛度、質(zhì)量有關(guān)，與激發(fā)振動(dòng)的外部因素?zé)o關(guān)。2/2/2023202自振頻率和周期的特性：

①只與質(zhì)量和剛度有關(guān)，與荷載無關(guān)；是結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的重要標(biāo)志。②剛度越大，頻率越高，周期越短；質(zhì)量越大，頻率越低，周期越長(zhǎng)。§4-3

單自由度體系的自由振動(dòng)2/2/20232034、微分方程中各常數(shù)由初始條件確定

代入：將時(shí)得：于是：2/2/2023204進(jìn)一步可確定式中的c和cc2c15、分析例題2/2/2023205例1:列振動(dòng)方程，求自振周期和頻率。mEIEIEIEIEA=∞lll12i/l2k解：6i/lkΔ=15、分析例題2/2/2023206例2:列振動(dòng)方程，求自振周期和頻率。

解：mEIEI1=∞lmEIkk12i/l212i/l212i/l2Δ=1EImlT1223p=lEIlik24/12232=x=mlEImk2243w==lyEIym02423=+&&2/2/2023207例3:求自振周期和頻率。解：mEI1=∞EAllEIF=1lN=12/2/2023208例4:列振動(dòng)方程，求自振周期和頻率。

l/2ll/2l/2EA=∞E1I1=∞EIEIααNA2/2/2023209αNA2/2/20232102/2/2023211——產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角位移需要的力偶——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2/2/2023212A具有共同的自由度時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才能相加。2/2/2023213ll/2l/2EI=∞例5:求自振周期和頻率。

解2/2/2023214二、有阻尼的自由振動(dòng)1、振動(dòng)方程及其解令則特征方程特征根S(t)WI(t)D(t)P(t)y0S’(t)2/2/2023215或：（1）k＜ω，小阻尼情況式中稱為“有阻尼振動(dòng)的圓頻率”相應(yīng)地稱為“有阻尼振動(dòng)的自振周期”y’t2（一對(duì)共軛復(fù)根）結(jié)論：振幅e-kt衰減的自由振動(dòng)。2/2/2023216特征根（2）k＞ω，大阻尼情況（兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根）通解令則或結(jié)論：上式中不含簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子，阻尼使能量耗盡，故不振動(dòng)。2/2/2023217yyttoo特征根（3）k=ω，臨界阻尼情況（兩個(gè)相同的實(shí)根）結(jié)論：由振動(dòng)過渡到非振動(dòng)的臨界狀態(tài)。通解大阻尼情況下的振動(dòng)曲線：2/2/20232182、阻尼系數(shù)的確定（1）阻尼比的概念實(shí)際工程中K＜＜ω，屬于小阻尼衰減性振動(dòng)。通常以阻尼比作為基本參數(shù)。根據(jù)定義故阻尼系數(shù)臨界狀態(tài)時(shí)2/2/2023219（2）阻尼比的確定yt于是：依上式可繪出振動(dòng)圖形：2/2/2023220（3）阻尼系數(shù)的確定根據(jù)實(shí)測(cè)兩個(gè)相鄰振幅來計(jì)算阻尼比，進(jìn)而求阻尼系數(shù)。實(shí)測(cè)振幅相隔一個(gè)周期的振幅比值不變阻尼對(duì)自振頻率的影響很小2/2/2023221例1:解：取整數(shù)n=5，經(jīng)過5個(gè)周期（1.5s)以后，振幅可降到初始位移的5%以下2/2/2023222解（1）對(duì)數(shù)遞減量：（2）阻尼比：（3）阻尼系數(shù)：（4）振動(dòng)5周期后的振幅：

例2:圖示門式剛架作自由振動(dòng)。t=0時(shí)，y0=0.5cm，y0=0。測(cè)得Ｔ’=1.5S;一周期后,y1=0.4cm。求門架的阻尼系數(shù)及振動(dòng)5周期后的振幅y5。.PM=1120tEI=∞2/2/2023223§4-4

單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力計(jì)算一、考慮阻尼時(shí)運(yùn)動(dòng)方程及其解2、運(yùn)動(dòng)方程設(shè)：則：通解包括兩部分：1、強(qiáng)迫振動(dòng)——結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載（外干擾力）作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。2/2/20232243、求齊次解：特征方程：特征根：4、求特解（待定系數(shù)法）：設(shè)：將上式代入原方程后，可確定D1、D2：2/2/2023225設(shè)：進(jìn)一步，可得：于是可將特解寫為的形式。將各量代入后，可求出特解：通解：2/2/2023226利用可確定通解中的常數(shù)C1、C2，于是：初始條件決定的自由振動(dòng)伴生自由振動(dòng)穩(wěn)態(tài)（純）強(qiáng)迫振動(dòng)2/2/2023227分析上式，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后：——穩(wěn)態(tài)（純）強(qiáng)迫振動(dòng)，按干擾力頻率而振動(dòng)。振動(dòng)階段過渡階段——三種振動(dòng)共存平穩(wěn)階段——只有純強(qiáng)迫振動(dòng)2/2/2023228達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)運(yùn)動(dòng)方程的解為：運(yùn)動(dòng)方程:二、動(dòng)位移幅值的計(jì)算（考慮阻尼）：利用和(AS為干擾力幅值產(chǎn)生的靜位移)運(yùn)動(dòng)方程的解（任意時(shí)刻的位移）可改寫為：1、考慮阻尼2/2/2023229動(dòng)位移幅值為：于是：稱為“動(dòng)力系數(shù)”或“放大系數(shù)”。令：2/2/20232302、不考慮阻尼時(shí)動(dòng)位移幅值的計(jì)算不考慮阻尼時(shí)，令動(dòng)力放大系數(shù)計(jì)算式中3、共振時(shí)動(dòng)位移幅值的計(jì)算共振時(shí)，令動(dòng)力放大系數(shù)計(jì)算式中放大系數(shù)：放大系數(shù)：動(dòng)位移幅值：動(dòng)位移幅值：2/2/20232314、影響動(dòng)位移幅值大小的因素（1）與干擾力幅值成正比；（2）與/的比值有關(guān)；（a）當(dāng)＜＜時(shí)--------動(dòng)荷載可作為靜荷載處理；（b）當(dāng)＞＞時(shí)--------與阻尼無關(guān)，結(jié)構(gòu)可視為靜止；（c）當(dāng)=時(shí)--------共振，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)避免共振。由于阻尼的存在，振幅不會(huì)無限大。分析下式：2/2/20232325、位移和振動(dòng)荷載之間的相位關(guān)系（1）當(dāng)不計(jì)阻尼（=0）時(shí)（a）當(dāng)/＜1時(shí):φ=0，A與P同相位；（b）當(dāng)/＞1時(shí):φ=，A與P反相位。有阻尼振動(dòng)的特解：式中：tg=0,且為正值tg0/2tg=0,且為負(fù)值2/2/2023233（2）當(dāng)考慮阻尼時(shí)（a）當(dāng)/＜1時(shí)--------0＜φ＜/2；A與P有相位差；（b）當(dāng)/＞1時(shí)--------/2＜φ＜，A與P有相位差；（c）當(dāng)/=1時(shí)--------φ=/2，A與P相位差為/2。1、強(qiáng)迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，振動(dòng)荷載輸入的能量等于體系振動(dòng)過程中消耗的能量。三、強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)的能量轉(zhuǎn)換2、依能量關(guān)系同樣可以推導(dǎo)出振幅的計(jì)算式：2/2/20232341、一般方法由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位移達(dá)到幅值時(shí)，內(nèi)力也應(yīng)達(dá)到幅值（不計(jì)阻尼時(shí)，位移與動(dòng)荷載同相位）。將慣性力幅值和干擾力幅值同時(shí)加在體系上，然后按靜力學(xué)方法求解，即可求得反力和內(nèi)力的幅值。四、動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算m2/2/20232352、比例算法當(dāng)動(dòng)力荷載與慣性力共線時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的位移與外力成正比，位移、內(nèi)力同時(shí)達(dá)到幅值，故可以按比例計(jì)算。將慣性力幅值放大倍后加在質(zhì)量處，而后按靜力學(xué)方法求解即可。mm時(shí)，位移為時(shí)，位移最大依比例關(guān)系：2/2/2023236

1、純強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可由干擾力振幅P所引起的靜位移AS放大倍而得到。

五、計(jì)算動(dòng)位移幅值、動(dòng)內(nèi)力幅值時(shí)應(yīng)注意的問題

2、當(dāng)結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)易求時(shí)，動(dòng)位移幅值可按下式計(jì)算：

3、若荷載直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，動(dòng)位移幅值按下式計(jì)算：

若荷載不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，則應(yīng)以-Rip代替P，或以ip代替P11。2/2/2023237mmm4、當(dāng)動(dòng)力荷載與慣性力共線時(shí)，既是動(dòng)位移放大系數(shù)，也是各截面動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移的放大系數(shù)。若荷載直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，動(dòng)位移幅值按下式計(jì)算：若荷載不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，則應(yīng)以-Rip代替P，或以ip代替P11（見下圖）。2/2/20232382m2m例