結(jié)構(gòu)動力學(xué)-總復(fù)習(xí)

動力學(xué)的研究內(nèi)容及分析步驟研究內(nèi)容：研究結(jié)構(gòu)的動力特性及其動荷載作用下動力反應(yīng)規(guī)律。動力學(xué)分析步驟：1）建立運動方程——描述結(jié)構(gòu)中力與變形關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式（也稱動力方程）。2）確定初邊值條件——初始條件和邊界條件3）對運動方程求解——利用初邊值條件求解微分方程（偏微分方程）4）結(jié)果分析及相關(guān)工程應(yīng)用一、結(jié)構(gòu)動力計算（問題）的特點1、動荷載定義：荷載（大小、方向和作用位置）隨時間變化；在其作用下，結(jié)構(gòu)上的慣性力與外荷載相比不可忽視。2、動力計算特點（1）所考慮的力系中要包含慣性力。慣性力是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動力反應(yīng)的根本原因（內(nèi)因，外因是動力荷載作用）。（2）動力平衡方程是瞬時平衡。荷載，內(nèi)力，變形等都是時間的函數(shù)。10-1動力計算特點和動力自由度二、動力計算中體系的自由度1、動力自由度：確定體系（運動時）質(zhì)量位置所需的獨立坐標（參數(shù)）數(shù)目。動力自由度與質(zhì)點（集中質(zhì)量）個數(shù)無關(guān)！靜力自由度：確定體系（運動時）幾何位置所需的獨立坐標（參數(shù)）數(shù)目。2、結(jié)構(gòu)離散化：把無限自由度問題轉(zhuǎn)化為有限自由度的過程。常用簡化方法有： 1）集中質(zhì)量法； 2）廣義坐標法； 3）有限單元法。

自由振動：結(jié)構(gòu)受到干擾離開平衡位置以后，不再受到任何外力影響的振動過程。yykmc彈簧-質(zhì)點模型mk簡化模型mEIhEI實際模型yykm無阻尼時，c=0一、自由振動微分方程建立基本方法：動靜法；

剛度法；

柔度法

10.2單自由度體系的自由振動1）動靜法/剛度法——基于體系的動態(tài)平衡條件mEIlyykmm動靜法步驟：1.在振動的任意時刻，求質(zhì)點的慣性力和所受的彈性力；2.考慮t時刻的瞬時平衡。剛度法步驟：1.在任意時刻，求質(zhì)點的慣性力和所受的彈性力；2.考慮該時刻的瞬時平衡力系沿動位移方向虛位移所作虛功=0。mk：彈簧剛度系數(shù)，使彈簧單位長度所施加的力（對立柱，使柱頂產(chǎn)生單位水平位移時所施加的水平力）1l柔度法步驟：1.求質(zhì)點沿振動方向慣性力；2.虛設(shè)單位荷載下體系質(zhì)點處沿振動方向靜位移；3.求慣性力作用引起的動位移mEIl柔度法-基于體系的位移協(xié)調(diào)條件δ為彈簧柔度系數(shù)：單位力作用下產(chǎn)生的位移，它與彈簧剛度系數(shù)互為倒數(shù)。體系振動任意時刻t的動位移，是由慣性力作用引起yykmδ二、自由振動微分方程的解yykm二階線性齊次常微分方程初始條件三、自由振動解的分析自振周期自振圓頻率(自振頻率)初相位角振幅頻率單位時間內(nèi)的振動次數(shù)2π個單位時間內(nèi)的振動次數(shù)完成一次振動循環(huán)所需時間四、自振頻率和自振周期計算（重點）1）T和ω只與結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界干擾因素?zé)o關(guān)；2）T與質(zhì)量平方根成正比，與剛度平方根成反比，要改變結(jié)構(gòu)自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度入手；3）T和ω是結(jié)構(gòu)動力性能的一個重要數(shù)量標志。

Δst表示在質(zhì)點上沿振動方向施加數(shù)值為W的荷載時質(zhì)點沿振動方向所產(chǎn)生的靜位移。自振周期和自振頻率計算舉例——例1l/2l/2mEI1l/4求δ，作單位荷載作用下彎矩圖，如圖示例2判斷下列結(jié)構(gòu)頻率大小關(guān)系，不計梁自重l/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEI定性判斷定量判斷1l/4一、強迫振動的力學(xué)模型及運動方程mEIlFp(t)yykmm非齊次常系數(shù)微分方程求解時，標準化微分方程10.3單自由度體系的強迫振動1、簡諧荷載作用常微分方程求解全部解=通解+特解F:荷載幅值,θ:荷載圓頻率yykm二、微分方程求解初始條件：穩(wěn)態(tài)反應(yīng)瞬態(tài)反應(yīng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：按荷載頻率振動的部分，起主要作用瞬態(tài)反應(yīng)：按自振頻率振動的部分，在實際振動中，由于阻尼存在，這部分將會逐漸消失。最大靜位移，是指把荷載幅值F當做靜荷載作用時，結(jié)構(gòu)沿振動方向產(chǎn)生的靜位移2、簡諧荷載下穩(wěn)態(tài)階段的振動解分析顯然，動力系數(shù)是關(guān)于頻率比的函數(shù)，見下圖動力系數(shù)曲線（圖）動力系數(shù)的討論動內(nèi)力幅值分析上述分析表明：簡諧荷載作用下，在平穩(wěn)階段，體系的動位移、動內(nèi)力和慣性力與動荷載同步，同時達到幅值。動位移和動內(nèi)力幅值（如彎矩和剪力）在動荷載幅值作用下可以按靜力方法計算，再乘以動力系數(shù)即可。

該結(jié)論只適用于單自由度體系！mEIlFp(t)Fp(t)x簡諧振動計算舉例例10-3l/2l/2mEI1l/4解：（1）求自振頻率已知：l=4m，I28b工字鋼，E=2.1×105MPa，電機G=35kN,轉(zhuǎn)速n=500r/min，離心力FP=10kN，豎向分量FPsinθt，求動力系數(shù)、最大彎矩、最大正應(yīng)力和最大撓度。為避免單位弄錯，建議都采用國際單位?。?）求荷載頻率l/2l/2mEI電機重量引起的靜撓度轉(zhuǎn)子偏心力引起的動撓度平衡位置（3）求動力系數(shù)（4）求最大彎矩（5）求最大正應(yīng)力（6）求最大撓度Fp(t)dτdS=Fpdττtt-τtFp(t)對于任意動力荷載的反應(yīng)，整個加載過程相當于一系列瞬時沖量所組成。在任意時間t結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，等于t以前所有瞬時沖量作用下動反應(yīng)之和。3、一般動力荷載作用下的微分方程解上式也稱J.M.C.Duhamel（杜哈梅/杜哈美/杜哈曼）積分，給出的解是一個由動力荷載引起的相應(yīng)于零初始條件的特解。如果初始條件不為零，則需要再疊加上由非零初始條件引起的自由振動。杜哈梅積分的幾點說明：1）杜哈梅積分法只適用于線彈性體系；2）若荷載Fp(t)是簡單函數(shù)，積分相對簡單，若Fp(t)是一個很復(fù)雜的函數(shù)，精確積分會遇到困難；3）杜哈梅積分法是一種直接積分法，其計算效率不高。因為對于計算任一個時間點t的反應(yīng)，積分都要從0積到t，計算相當耗時。這時可采用效率更高的數(shù)值解法，如逐步積分法。1）突加荷載Fp(t)Fp0t0幾種動荷載的杜哈梅公式2）短時荷載Fp(t)Fp0t0u（短時荷載）動力系數(shù)反應(yīng)譜1、阻尼定義：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用。2、阻尼來源（物理機制）： 1）固體材料變形時的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散； 2）結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦； 3）結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。

一、阻尼概述10.4阻尼對振動的影響阻尼力對質(zhì)點運動起阻礙作用，其方向總與質(zhì)點速度/位移方向相反，數(shù)值上，有以下幾種假設(shè)：1）粘滯阻尼：阻尼力大小與質(zhì)點速度成正比；2）摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無關(guān)，一般為常數(shù)；3）滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比(相位與速度相同)；4）流體阻尼：阻尼力與質(zhì)點速度的平方成正比。

上述幾種阻尼力中，粘滯阻尼力的分析比較簡單，表達式為：FD=-cv，其中c為阻尼系數(shù)

，它是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是通過結(jié)構(gòu)原型振動試驗的方法得到。3、阻尼（阻尼力）基本假設(shè)二、有阻尼體系力學(xué)模型和運動方程yy(t)kmcmkm三、有阻尼體系運動方程求解1、有阻尼的自由振動運動方程標準常微分方程有阻尼自由振動：結(jié)構(gòu)受到擾動離開平衡位置以后，受阻尼影響的振動過程。運動方程（微分方程）解的形式解的討論（1）當ξ>1，大阻尼，指數(shù)衰減，無振動（2）當ξ=1，臨界阻尼，指數(shù)衰減，無振動（3）當ξ<1，低阻尼，有振動——重點（1）低阻尼解的形式初始條件低阻尼體系的自振頻率與自振周期1）自振頻率2）自振周期（1）阻尼使結(jié)構(gòu)自振頻率變小，自振周期變大；（2）現(xiàn)場實測考慮阻尼作用，因而得到的是有阻尼的自振頻率和自振周期；在理論計算時，往往給出的是無阻尼的自振頻率和自振周期。（3）工程結(jié)構(gòu)阻尼比ζ在1%—5%之間，一般不超過20%，因此可以用有阻尼體系的結(jié)果代替無阻尼結(jié)果。方法一（基本原理）：任意兩個相鄰振動峰值的比值運動衰減及阻尼比測量阻尼比很小時，自由振動衰減較慢。為提高精度，采用相隔幾周的振動峰值比來計算結(jié)構(gòu)阻尼比。設(shè)相隔n個周期（2）臨界阻尼-無振動（3）大阻尼-無振動算例:用自由振動法研究一單層框架結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，用一鋼索給結(jié)構(gòu)的屋面施加Fp=73kN的水平力，使框架結(jié)構(gòu)產(chǎn)生Δst=5.0cm的水平位移，突然切斷鋼索，讓結(jié)構(gòu)自由振動，經(jīng)過2.0s，結(jié)構(gòu)振動完成了4周循環(huán)，振幅變?yōu)?.5cm。從以上數(shù)據(jù)計算：①阻尼比ξ；②無阻尼自振周期T；③等效剛度k；④等效質(zhì)量m。解：（1）阻尼比（3）等效剛度k（4）等效質(zhì)量m（2）自振周期2、有阻尼（低阻尼）的強迫振動運動方程標準常微分方程運動方程解——杜哈曼積分公式瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fp(t)Fp0t0（1）突加荷載兩種動荷載作用下的杜哈曼積分ysty(t)0ωtπ2π3π4π5π通解特解運動方程：方程全解：（2）簡諧荷載——重點初始條件：利用特解條件和初始條件確定各系數(shù)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可得運動方程的全解為最大靜位移，是指把荷載幅值F當做靜荷載作用時，結(jié)構(gòu)沿振動方向產(chǎn)生的靜位移有阻尼體系的穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振幅相位角動力系數(shù)有阻尼動力系數(shù)動力系數(shù)分析動力荷載作用下，阻尼體系動反應(yīng)滯后動力荷載的時間通過相位角α來反映。如果時間滯后t0，則相位角

α=θt0相位角分析動荷載主要由恢復(fù)力來平衡同步（同相位）同步（同相位）動荷載主要由阻尼力來平衡滯后π/2同步動荷載主要由慣性力來平衡反相，滯后π算例分析重量G=35kN的發(fā)電機置于簡支梁的中點上，梁長4m，梁的慣性矩I=8.8×10-5m4,E=210GPa,發(fā)電機轉(zhuǎn)動時其離心力的垂直分力為Fpsinθt，且Fp=10kN，不計梁的自重。若阻尼比ξ=0.02，試求（1）發(fā)電機每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時，梁的最大彎矩和撓度。（2）共振時最大位移。解：1）求結(jié)構(gòu)自振頻率及荷載頻率2）有阻尼的動力放大系數(shù)3）有阻尼的最大彎矩和最大撓度4）共振時最大撓度剛度法：基于體系平衡（瞬時平衡）條件，建立其微分方程。適用于剪切型剛架的運動方程。柔度法：基于體系位移協(xié)調(diào)條件，建立其微分方程。適用于梁和簡單剛架的運動方程。l/3l/3mEIl/3m§10.4多自由度體系的自由振動m1m2y2y1m1m2r2r1y1r2r1y21k12k221k11k21r1：使質(zhì)點單獨產(chǎn)生位移y1所施加的力；r2：使質(zhì)點單獨產(chǎn)生位移y2所施加的力。1、運動方程（一）剛度法——兩個自由度1k12k221k11k21k2k1k12:質(zhì)點2產(chǎn)生單位位移時（質(zhì)點1保持不動），在質(zhì)點1上所需施加的力第二下標：引起力的原因第一下標：引起力的方向2、自由振動方程解及其分析構(gòu)造解的兩個特點：1）振動中，兩個質(zhì)點具有相同的頻率ω和相位角α，只是位移幅值不同；2）振動中，兩個質(zhì)點位移在數(shù)值上隨時間變化，但二者的比值保持不變振型方程顯然，ω1和ω2與引起振動的原因無關(guān)，僅取決于體系的質(zhì)量分布和剛度分布，是體系固有的，所以常稱他們?yōu)轶w系的固有圓頻率或特征圓頻率。頻率方程/特征方程3、振型（主振型，固有振型）顯然，振型也與引起振動的原因無關(guān)，僅取決于體系的質(zhì)量分布和剛度分布，也是體系固有的，故又稱固有振型。k2k1P1=P2=04、算例計算ki層間側(cè)移剛度：層間產(chǎn)生單位相對側(cè)移時所需施加的力kij:質(zhì)點j產(chǎn)生單位位移時（質(zhì)點i保持不動），在質(zhì)點i上所需施加的力層間側(cè)移剛度mEIlEIl對于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架),當兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時,兩層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側(cè)移剛度。mEIlFp(t)1EIllEIEIEI層間側(cè)移剛度EIEI1EIhlEIEIEIEIEI解：1）求固有頻率和固有振型m1m22）假設(shè)m1=m2=m，k1=k2=km1m23）假設(shè)m1=nm2,k1=nk2該算例表明，頂部質(zhì)量和剛度突然變小，導(dǎo)致頂部位移反應(yīng)過大。振動中這種引起巨大反響的現(xiàn)象，稱為鞭梢效應(yīng)。女兒墻，小閣樓開裂破壞問題。（一）剛度法——多自由度體系m1mnmim1mnmim1mnyny1miyi1niy1yiynm1mnmi1、運動方程以矩陣形式表示剛度矩陣K為對稱方陣，質(zhì)量矩陣M為對角矩陣2、運動方程的解及其分析將行列式展開，可得到一個關(guān)于頻率參數(shù)ω2的n次代數(shù)方程（n是體系自由度的次數(shù)），求該方程可得到n個根：ω12，ω22，…，ωn2，即可得出體系的n個自振頻率：ω1，ω2

，…，ωn

。把全部自振頻率由小到大排列而成的向量稱為頻率向量，其中最小的頻率稱為基本頻率或第一頻率，其他頻率依次稱為第二，…，第n頻率。主振型顯然，主振型向量Y與頻率ω有關(guān)。令Y(i)表示與頻率ωi

相應(yīng)的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T,代入振型方程，可得令i=1,2，……，n，可得到n個向量方程，由此可求出n個主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)，對于每一個主振型向量Y(i)可由代數(shù)方程組直接求出，其中Y1i,Y2i,…,Yni為未知數(shù)。上述代數(shù)方程組為齊次方程，如果Y1i,Y2i,…,Yni為方程組的解，則CY1i,CY2i,…,CYni也是方程組的解。即主振型Y(i)的形狀可以唯一確定，但不能唯一的確定它的振幅。為了使主振型Y(i)的振幅有確定值，需要另外補充條件——標準化主振型。作法有：1）特定坐標的歸一化方法。

做法一：令振型向量中的第一元素為1。

做法二：令振型向量中的最大元素為1。

2）正交歸一化。Y(i)TMY(i)=11、運動方程（二）柔度法—兩個自由度體系m1m2y2y1m1m2y21y11m1m2y22y12m1m2y2y1m1m2δ21δ11m1m2δ22δ122、自由振動方程解代入得消元頻率方程/特征方程要使線性方程組有解，要求系數(shù)行列式=0振型方程頻率方程（特征值方程）展開并求解自振頻率振型3、柔度法算例l/3l/3mEIl/3m2l/912l/91解：先求柔度系數(shù)主振型mm11mm-11第一主振型第二主振型第一主振型為正對稱第二主振型為反對稱習(xí)題10-20l/2mEIm解：1）求柔度系數(shù)l/2l/2l/2超靜定結(jié)構(gòu)，采用力矩分配法11/21/23l/16-3l/32-3l/3203l/32-3l/32013l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/641l/41l/4（二）柔度法——多自由度體系m1mnynny1nmiyinm1mnyny1miyim1mnyn1y11miyi1m1mnyniy1imiyii1、運動方程整理為或簡寫為柔度矩陣δ為對稱方陣，質(zhì)量矩陣M為對角矩陣2、運動方程的解及其分析行列式展開得到一個關(guān)于頻率參數(shù)1/ω2的n次代數(shù)方程，求該方程可得到n個自振頻率：ω1，ω2

，…，ωn

。非零解的條件主振型令Y(i)表示與頻率ωi

相應(yīng)的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T，代入振型方程可得主振型向量令i=1，2，……，n，可得到n個向量方程，由此可求出n個主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)。一、主振型的正交性1、兩個自由度體系mmmm§10.5主振型正交性第一正交關(guān)系第二正交關(guān)系設(shè)ωl和ωk為兩個不同的自振頻率，相應(yīng)的主振型向量分別為2、n個自由度體系二、主振型矩陣

n個多自由度體系n個自振頻率對應(yīng)的振型（或主振型）向量Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T（i=1,2,……,n）。將n個振型向量組成矩陣，則該矩陣稱為主振型矩陣。顯然，主振型矩陣為一個方陣，它的轉(zhuǎn)置矩陣為三、廣義剛度和廣義質(zhì)量定義廣義質(zhì)量矩陣廣義剛度矩陣四、正交性的應(yīng)用1）利用正交關(guān)系來判斷主振型的形狀特點對剪切模型，振型特點為：一階振型不變符號，二階振型變一次符號，三階振型變二次符號。推而廣之，對應(yīng)ωj的第j階振型向量的各元素有（j-1）次變號，即振型曲線有（j-1）個節(jié)點（原點除外?。??！n本三個自由度例題2）利用正交關(guān)系來確定位移展開公式中的系數(shù)在多自