第四章 時(shí)間響應(yīng)分析法

第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引言一階系統(tǒng)時(shí)域分析二階系統(tǒng)時(shí)域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算§3-1引言

一、時(shí)域法的特點(diǎn)直觀、準(zhǔn)確二、時(shí)域法典型控制過程1、典型初始狀態(tài)二、時(shí)域法典型控制過程2、典型外作用(t≥0)

（1）單位脈沖信號(hào)δ(t)（2）單位階躍信號(hào)1(t)（3）單位斜坡（速度）信號(hào)t（4）單位加速度信號(hào)(?)t2（5）正弦信號(hào)Asin(wt+?)

前四者互為導(dǎo)數(shù)關(guān)系二、時(shí)域法典型控制過程3、典型時(shí)間響應(yīng)

（1）單位脈沖響應(yīng)（2）單位階躍響應(yīng)（3）單位斜坡（速度）響應(yīng)（4）單位加速度響應(yīng)互為導(dǎo)數(shù)關(guān)系二、時(shí)域法典型控制過程

4、動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程

（1）動(dòng)態(tài)過程（過渡過程、瞬態(tài)過程）：系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程；用動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)描述。

（2）穩(wěn)態(tài)過程：系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式；用穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)描述。§3-2時(shí)域性能指標(biāo)

0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h延遲時(shí)間td（DelayTime）：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。上升時(shí)間tr（RisingTime）:響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。對(duì)于震蕩系統(tǒng)，也可定義為由零開始，首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。峰值時(shí)間tp（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作，超調(diào)量（MaximumOvershoot）：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即⑥

穩(wěn)態(tài)誤差e

ss

：期望值與實(shí)際值之差。

或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)，從整體上反映系統(tǒng)的快速性。評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。穩(wěn)定性能指標(biāo)和抗干擾能力。越小，系統(tǒng)精度越高。ess§3-3一階系統(tǒng)時(shí)域分析

一、一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例：RC電路

這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為：

(T=RC)R(

s)

C(

s)（

b）方塊圖

I(

s)R(

s)

C(

s)（c）等效方塊圖二、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)三、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)四、一階系統(tǒng)單位斜坡（速度）響應(yīng)五、一階系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)六、一階系統(tǒng)響應(yīng)小結(jié)等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分?！?-4二階系統(tǒng)時(shí)域分析

－自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）一、二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

圖3-9二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個(gè)相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個(gè)不等根0特征方程：特征根：，欠阻尼系統(tǒng)，

閉環(huán)極點(diǎn)為共扼復(fù)根，位于左半S平面。，臨界阻尼，兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，零阻尼，虛軸上一對(duì)純虛根,過阻尼，兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,負(fù)阻尼，兩個(gè)正實(shí)部的特征根，系統(tǒng)發(fā)散二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)1、負(fù)阻尼情況（）二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)2、過阻尼情況（）二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)3、臨界阻尼情況（）在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)4、欠阻尼情況（）

令時(shí)，亦可用在較大的值范圍內(nèi)，近似有：，求得

一定，即一定，

,響應(yīng)速度越快

,根據(jù)峰值時(shí)間定義，應(yīng)取

超調(diào)量在峰值時(shí)間發(fā)生，故即為最大輸出

二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)5、零阻尼情況（）二階系統(tǒng)在不同值瞬態(tài)響應(yīng)曲線例2磁懸浮列車線圈電流—)(sE間隙的大小求K=100時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。三、二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)四、二階系統(tǒng)的性能改善1、比例-微分控制（PD控制）+圖PD控制系統(tǒng)2、速度反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):兩種方法的比較:（1）附加阻尼來源不同；（2）使用環(huán)境不同；（3）對(duì)開環(huán)增益和自然頻率的影響不同；（4）對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響；（5）實(shí)現(xiàn)方法與成本。例：不加速度反饋的二階系統(tǒng)斜坡跟蹤誤差曲線具有速度反饋的二階系統(tǒng)斜坡跟蹤誤差曲線§3-5線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

一、穩(wěn)定性定義

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各類品質(zhì)指標(biāo)的分析也必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行。定義：設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動(dòng)作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動(dòng)撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。

基于穩(wěn)定性研究的問題是擾動(dòng)作用去除后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，它與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的特征，因而可用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述。

線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件三、赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于n階系統(tǒng)：該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：該系統(tǒng)的n個(gè)赫爾維茨行列式均為正。閉環(huán)特征方程的根必須位于S平面的左半平面

系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件例：如圖所示的IS機(jī)器人公司的一體化6腿微型機(jī)器人：機(jī)械腿由12種150個(gè)傳感器組成，能起到與環(huán)境交互的作用，能判斷出環(huán)境的表面形狀、結(jié)構(gòu)、硬度以及顏色。由陀螺穩(wěn)定的照相系統(tǒng)和激光測(cè)距系統(tǒng)能使其迅速移動(dòng)、跨越障礙以及其他復(fù)雜的動(dòng)作。試判斷該機(jī)器人的穩(wěn)定性。系統(tǒng)特征方程為：Q(s)=s5+s4+4s3+24s2+3s+63四、勞斯穩(wěn)定判據(jù)(Routh’sstabilitycriterion)1勞斯表令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為將各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表（=an）這樣可求得n+1行系數(shù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變化，去判別特征方程式根在S平面上的具體分布，過程如下：如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。=an已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為例試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性：解：列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為

例求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值?？傻茫?勞斯判據(jù)特殊情況

勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒有余項(xiàng)。解決的辦法是以一個(gè)很小的正數(shù)來代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定。

或特征方程兩邊同乘以(s+a),再重新列寫勞斯表。已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例由于表中第一列上面的符號(hào)與其下面系數(shù)的符號(hào)相同，表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。解：列勞斯表勞斯表中出現(xiàn)全零行

則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個(gè)輔助方程式得到。列勞斯表由上表可知，第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。令F(s)=2s4+12s2+16=0，求得兩對(duì)大小相等、符號(hào)相反的根，顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為：

3勞斯判據(jù)的應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。也即也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動(dòng)態(tài)性能。換句話說，勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對(duì)于虛軸的距離。希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。設(shè)，并代入原方程式中，得到以為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線，右側(cè)。由此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。s1sa-0用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)是否有根在垂線的右方。

例解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程：列勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直直線的右方。式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在的右方。五線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的性能

動(dòng)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差

本節(jié)主要討論原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法系統(tǒng)結(jié)構(gòu)--系統(tǒng)類型輸入作用方式1穩(wěn)態(tài)誤差的定義

控制系統(tǒng)框圖在實(shí)際系統(tǒng)中是可以量測(cè)的

如果，輸出量的希望值，即為輸入量:誤差傳遞函數(shù)二階系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的響應(yīng)的誤差曲線二階系統(tǒng)在階躍輸入作用下的響應(yīng)的誤差曲線公式條件：的極點(diǎn)均位于S左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）輸入形式結(jié)構(gòu)形式開環(huán)傳遞函數(shù)給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)以及輸入信號(hào)形式。

因此按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號(hào)的能力來進(jìn)行系統(tǒng)分類是必要的。

終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差。2系統(tǒng)類型令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為！

系統(tǒng)類型(type)與系統(tǒng)的階數(shù)(order)的區(qū)別令

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算通式則可表示為分別討論階躍、斜坡和加速度函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差情況階躍信號(hào)輸入

令令

則：Staticpositionerrorconstant要求對(duì)于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)斜坡信號(hào)輸入

令靜態(tài)速度誤差系數(shù)

Staticvelocityerrorconstant要求對(duì)于斜坡作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅱ型及Ⅱ型以上的系統(tǒng)加速度信號(hào)輸入

令

令靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

Staticaccelerationerrorconstant要求對(duì)于加速度作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

靜態(tài)速度誤差系數(shù)

在參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:

某單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳函為：，試確定使系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1的K的范圍。例3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差負(fù)載力矩的變化、放大器的零點(diǎn)漂移、電網(wǎng)電壓波動(dòng)和環(huán)境溫度的變化等，這些都會(huì)引起穩(wěn)態(tài)誤差。擾動(dòng)不可避免它的大小反映了系統(tǒng)抗干擾能力的強(qiáng)弱。

擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差控制對(duì)象

控制器輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)

終值定理:

若擾動(dòng)為單位階躍信號(hào)：

則：

擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差只與作用點(diǎn)前的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。如中的時(shí)，相應(yīng)系統(tǒng)的階躍擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為零；斜坡穩(wěn)態(tài)誤差只與中的增益成反比。至于擾動(dòng)作用點(diǎn)后的，其增益的大小和是否有積分環(huán)節(jié)，它們均對(duì)減小或消除擾動(dòng)引起的結(jié)論穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么作用