第四章 頻率特性分析

第四章頻率特性分析在頻率域內(nèi)研究控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與系統(tǒng)性能的關(guān)系。頻率特性分析就是以頻率ω作為獨(dú)立變量，以諧波信號(hào)作為基本輸入信號(hào)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性。研究的方法是通過(guò)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，用圖解的方法間接地分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。頻率特性分析的特點(diǎn)頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)確定，這對(duì)于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，具有重要的實(shí)際意義。由于頻率響應(yīng)法主要通過(guò)開環(huán)頻率特性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。本章內(nèi)容§4-1頻率特性概述§4-2頻率特性的圖示方法§4-3閉環(huán)頻率特性§4-4頻率特性的特征量§4-5最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)§4-1頻率特性概述頻率響應(yīng)：線性定常系統(tǒng)對(duì)諧波輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率響應(yīng)的幅值Xo(ω)與輸入諧波信號(hào)的幅值Xi之比隨輸入信號(hào)的頻率ω的變化而改變；頻率響應(yīng)與輸入諧波信號(hào)之間存在相位差(ω)，其相位差(ω)隨輸入信號(hào)的頻率ω的變化而改變。即輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值比和相位差都是頻率ω的非線性函數(shù)。頻率響應(yīng)演示頻率響應(yīng)示例頻率響應(yīng)推導(dǎo)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為:頻率響應(yīng)因?yàn)镚(jω)是一個(gè)復(fù)數(shù)，設(shè)其幅值|G(jω)|=A(ω)

相角∠G(jω)=∠(ω)則線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的諧波信號(hào)頻率特性線性定常系統(tǒng)在諧波輸入信號(hào)作用下的頻率響應(yīng)與輸入信號(hào)頻率的關(guān)系稱為頻率特性，它包括幅頻特性和相頻特性。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅值與諧波輸入信號(hào)幅值之比隨輸入信號(hào)頻率變化的關(guān)系稱為幅頻特性，即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)相位與諧波輸入信號(hào)相位之差(ω)隨輸入信號(hào)頻率變化的關(guān)系稱為相頻特性。頻率特性記作A(ω)·∠(ω)頻率特性的求法根據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來(lái)求??；將系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)中的s換為jω來(lái)求?。挥迷囼?yàn)方法求取。根據(jù)定義，G(jω)就是系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性的求法由于頻率特性G(jω)是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，故可以在復(fù)平面上將其分解為實(shí)部和虛部，即即幅頻特性和相頻特性分別是G(jω)的模和相角。實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性以R-C電路為例，說(shuō)明頻率特性的物理意義。如右圖所示電路的傳遞函數(shù)為：設(shè)輸入電壓式中T=RCG(jω)稱為電路的頻率特性。它由該電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與輸入信號(hào)的幅值與相位無(wú)關(guān)。表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路的輸出與輸入的幅值之比。表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位差。和都是輸入信號(hào)頻率ω的函數(shù)，它們被稱為電路的幅頻特性和相頻特性。R-C電路的幅頻特性當(dāng)輸入信號(hào)的頻率ω逐漸增大時(shí)，電路的輸出與輸入的幅值之比。R-C電路的相頻特性當(dāng)輸入信號(hào)的頻率ω逐漸增大時(shí)，電路的輸出與輸入的相位之差。數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系系統(tǒng)微分方程傳遞函數(shù)頻率特性ddtsddtjωsjω頻率特性的特點(diǎn)和作用對(duì)頻率特性的分析就是對(duì)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻譜分析。在某一特定頻率下，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和諧波輸入信號(hào)之間的幅值比和相位差并不能完全說(shuō)明系統(tǒng)的性能，只有在頻率從0變到∞過(guò)程中，幅值比和相位差的全體才能完全地反映出系統(tǒng)的性能，才是系統(tǒng)的頻率特性。即頻率特性分析是通過(guò)分析不同頻率的諧波輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

在研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響時(shí)，頻域分析往往比時(shí)域分析要容易。高階系統(tǒng)用頻域分析比較方便。G(jω)是ω的復(fù)變函數(shù)，故可以在復(fù)平面上用復(fù)矢量表示。對(duì)于給定的ω，矢量的長(zhǎng)度為其幅值A(chǔ)(ω)，與正實(shí)軸的夾角為其相角(ω)。§4-2頻率特性的圖示方法——極坐標(biāo)圖相角(ω)的符號(hào)規(guī)定為從正實(shí)軸開始，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為負(fù)。該矢量在實(shí)軸和虛軸上的投影分別為其實(shí)部和虛部。當(dāng)頻率ω從0變化到∞時(shí)，矢量G(jω)的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡就是系統(tǒng)頻率特性的極坐標(biāo)圖又稱Nyquist圖，也稱幅相頻率特性圖。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（一）比例環(huán)節(jié)Kω=0～∞ImRe0典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（二）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是負(fù)虛軸。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（三）微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是正虛軸。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（四）慣性環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（五）一階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（六）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切。極坐標(biāo)圖的精確形狀與阻尼比有關(guān)，但對(duì)于欠阻尼和過(guò)阻尼的情況，極坐標(biāo)圖的形狀大致相同。振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（七）延時(shí)環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（八）二階微分環(huán)節(jié)例題：考慮下列二階傳遞函數(shù)：試畫出這個(gè)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。解：極坐標(biāo)圖的低頻部分為：極坐標(biāo)圖的高頻部分為：Nyquist圖的一般形狀控制系統(tǒng)總是由若干個(gè)環(huán)節(jié)組成，其開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：則其開環(huán)頻率特性可表示為：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值等于各環(huán)節(jié)頻率特性幅值的乘積，相位為各環(huán)節(jié)在該頻率下的相位之和。Nyquist圖的繪制方法分別求出起點(diǎn)（ω=0）和終點(diǎn)（ω=∞）的值并標(biāo)在極坐標(biāo)上，補(bǔ)充必要的幾點(diǎn)，根據(jù)A(ω)、(ω)的變化趨勢(shì)，畫出Nyquist曲線的大致形狀。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成：因此，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性還可以寫成：當(dāng)ν=0,1,2,···

時(shí)，系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。0型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀曲線的起點(diǎn)（ω=0）是正實(shí)軸上的一個(gè)有限值K，終點(diǎn)（ω=∞）為原點(diǎn)，相位是（m-n）×90°。隨著ω→∞，曲線按順時(shí)針方向越過(guò)n-m個(gè)象限后與坐標(biāo)軸相切而趨于原點(diǎn)。Ⅰ型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀ω=0時(shí)，A(ω)=∞，(ω)=-90°，在低頻段曲線漸近于與負(fù)虛軸平行的直線。當(dāng)ω→∞，曲線按順時(shí)針方向越過(guò)n-m-1個(gè)象限后與坐標(biāo)軸相切而趨于原點(diǎn)。Ⅱ型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀ω=0時(shí)，A(ω)=∞，(ω)=-180°，在低頻段曲線漸近于與負(fù)實(shí)軸平行的直線。當(dāng)ω→∞，曲線按順時(shí)針方向越過(guò)n-m-2個(gè)象限后與坐標(biāo)軸相切而趨于原點(diǎn)。Nyquist圖的共同特性低頻段幅值很大，隨著頻率的升高，幅值逐漸變小，當(dāng)ω→∞時(shí)，幅值A(chǔ)(ω)→0。當(dāng)GK(s)包含有振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，不改變上述特點(diǎn)。當(dāng)GK(s)包含有導(dǎo)前環(huán)節(jié)時(shí)，由于相位非單調(diào)下降，則曲線將發(fā)生“彎曲”。頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖將頻率特性表示在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，由對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖組成，稱為頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖或Bode圖。對(duì)數(shù)幅頻特性圖的縱坐標(biāo)（線性分度）表示頻率特性G(jω)的對(duì)數(shù)幅值，單位為分貝(dB)；橫坐標(biāo)（對(duì)數(shù)分度）表示頻率ω的對(duì)數(shù)，單位是弧度/秒(rad/s)。橫坐標(biāo)按lgω來(lái)刻度，所以是不均勻刻度，但仍標(biāo)以ω的值。對(duì)數(shù)相頻特性圖的縱坐標(biāo)（線性分度）表示頻率特性G(jω)的相位，單位為度；橫坐標(biāo)與上述相同。數(shù)值與分貝轉(zhuǎn)換直線典型環(huán)節(jié)的Bode圖（一）比例環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（二）積分環(huán)節(jié)1/(jω)ν的對(duì)數(shù)頻率特性曲線-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec這些幅頻特性曲線都通過(guò)點(diǎn)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（三）微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（四）慣性環(huán)節(jié)低頻時(shí)的對(duì)數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線在低頻時(shí)，即在高頻時(shí)，即高頻時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-20dB/dec的直線慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性（精確曲線與漸近線）漸近線

漸近線

精確曲線

精確曲線

以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差典型環(huán)節(jié)的Bode圖（五）一階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（六）振蕩環(huán)節(jié)低頻時(shí)的對(duì)數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線在低頻時(shí)，即在高頻時(shí)，即高頻時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-40dB/dec的直線幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系諧振頻率ωr與諧振峰值Mr當(dāng)ξ>0.707時(shí)，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會(huì)有諧振。諧振峰值Mr與阻尼比ξ的關(guān)系曲線典型環(huán)節(jié)的Bode圖（七）二階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（八）延時(shí)環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）綜述互為鏡像對(duì)稱

對(duì)數(shù)幅頻特性圖

對(duì)數(shù)相頻特性圖積分環(huán)節(jié)過(guò)點(diǎn)(1,0)，斜率為-20db/dec的直線-90°水平線微分環(huán)節(jié)過(guò)點(diǎn)(1,0)，斜率為20db/dec的直線90°水平線

低頻漸近線高頻漸近線直線斜率慣性環(huán)節(jié)0db水平線始于點(diǎn)(1/T,0)-20db/dec0～-90°隨ω減小一階微分環(huán)節(jié)同上20db/dec0～90°隨ω增大對(duì)稱于(1/T,45°)

低頻漸近線高頻漸近線直線斜率振蕩環(huán)節(jié)0db水平線始于點(diǎn)(1/T,0)-40db/dec0～-180°隨ω減小二階微分環(huán)節(jié)同上40db/dec0～180°隨ω增大對(duì)稱于(1/T,90°)Bode圖的繪制方法由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)求出頻率特性G(jω)；將G(jω)寫成若干個(gè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性相乘的形式；找出k和ν（積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)）以及各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率ωT1、ωT2、ωT3、···（從小到大）；畫出第一個(gè)轉(zhuǎn)角頻率ωT1前系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分。它是一條通過(guò)橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK、斜率為－ν×20db/dec的直線；依次從低頻到高頻，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)角頻率就將對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率相應(yīng)地改變一次；作出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性并相加，就得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線圖。例：已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直線表示）

解：開環(huán)頻率特性為-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec§4-3閉環(huán)頻率特性具有單位反饋的系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性GB(jω)與開環(huán)頻率特性GK(jω)的關(guān)系為：對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性為：§4-4頻率特性的特征量零頻幅值A(chǔ)(0)

頻率接近于零時(shí)，系統(tǒng)輸出的幅值與輸入的幅值之比。復(fù)現(xiàn)頻率ωM與復(fù)現(xiàn)帶寬0～ωM

幅頻特性值與A(0)的差第一次達(dá)到允許誤差Δ時(shí)的頻率值。諧振頻率ωr及相對(duì)諧振峰值Mr

幅頻特性出現(xiàn)最大值A(chǔ)max時(shí)的頻率為ωr；相對(duì)諧振峰值Mr為Amax與A(0)之比。截止頻率ωb和截止帶寬0～ωb

幅頻特性的值由A(0)下降到0.707A(0)時(shí)的頻率?！?-5最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)均在復(fù)平面[