第四章 頻率特性分析

第四章頻率特性分析在頻率域內研究控制系統(tǒng)的結構參數與系統(tǒng)性能的關系。頻率特性分析就是以頻率ω作為獨立變量，以諧波信號作為基本輸入信號來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準確性和快速性。研究的方法是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，用圖解的方法間接地分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。頻率特性分析的特點頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。由于頻率響應法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。頻率響應法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數不是有理數的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。本章內容§4-1頻率特性概述§4-2頻率特性的圖示方法§4-3閉環(huán)頻率特性§4-4頻率特性的特征量§4-5最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)§4-1頻率特性概述頻率響應：線性定常系統(tǒng)對諧波輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。頻率響應的幅值Xo(ω)與輸入諧波信號的幅值Xi之比隨輸入信號的頻率ω的變化而改變；頻率響應與輸入諧波信號之間存在相位差(ω)，其相位差(ω)隨輸入信號的頻率ω的變化而改變。即輸出信號與輸入信號的幅值比和相位差都是頻率ω的非線性函數。頻率響應演示頻率響應示例頻率響應推導線性定常系統(tǒng)的傳遞函數可表示為:頻率響應因為G(jω)是一個復數，設其幅值|G(jω)|=A(ω)

相角∠G(jω)=∠(ω)則線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的諧波信號頻率特性線性定常系統(tǒng)在諧波輸入信號作用下的頻率響應與輸入信號頻率的關系稱為頻率特性，它包括幅頻特性和相頻特性。系統(tǒng)的頻率響應幅值與諧波輸入信號幅值之比隨輸入信號頻率變化的關系稱為幅頻特性，即系統(tǒng)的頻率響應相位與諧波輸入信號相位之差(ω)隨輸入信號頻率變化的關系稱為相頻特性。頻率特性記作A(ω)·∠(ω)頻率特性的求法根據系統(tǒng)的頻率響應來求?。粚⑾到y(tǒng)傳遞函數G(s)中的s換為jω來求取；用試驗方法求取。根據定義，G(jω)就是系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性的求法由于頻率特性G(jω)是一個復變函數，故可以在復平面上將其分解為實部和虛部，即即幅頻特性和相頻特性分別是G(jω)的模和相角。實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性以R-C電路為例，說明頻率特性的物理意義。如右圖所示電路的傳遞函數為：設輸入電壓式中T=RCG(jω)稱為電路的頻率特性。它由該電路的結構和參數決定，與輸入信號的幅值與相位無關。表示在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入的幅值之比。表示在穩(wěn)態(tài)時，輸出信號與輸入信號的相位差。和都是輸入信號頻率ω的函數，它們被稱為電路的幅頻特性和相頻特性。R-C電路的幅頻特性當輸入信號的頻率ω逐漸增大時，電路的輸出與輸入的幅值之比。R-C電路的相頻特性當輸入信號的頻率ω逐漸增大時，電路的輸出與輸入的相位之差。數學模型之間的關系系統(tǒng)微分方程傳遞函數頻率特性ddtsddtjωsjω頻率特性的特點和作用對頻率特性的分析就是對單位脈沖響應函數的頻譜分析。在某一特定頻率下，系統(tǒng)的頻率響應和諧波輸入信號之間的幅值比和相位差并不能完全說明系統(tǒng)的性能，只有在頻率從0變到∞過程中，幅值比和相位差的全體才能完全地反映出系統(tǒng)的性能，才是系統(tǒng)的頻率特性。即頻率特性分析是通過分析不同頻率的諧波輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，以獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。

在研究系統(tǒng)的結構及參數的變化對系統(tǒng)性能的影響時，頻域分析往往比時域分析要容易。高階系統(tǒng)用頻域分析比較方便。G(jω)是ω的復變函數，故可以在復平面上用復矢量表示。對于給定的ω，矢量的長度為其幅值A(ω)，與正實軸的夾角為其相角(ω)。§4-2頻率特性的圖示方法——極坐標圖相角(ω)的符號規(guī)定為從正實軸開始，逆時針方向旋轉為正，順時針方向旋轉為負。該矢量在實軸和虛軸上的投影分別為其實部和虛部。當頻率ω從0變化到∞時，矢量G(jω)的幅值和相位也隨之作相應的變化，其端點在復平面上移動的軌跡就是系統(tǒng)頻率特性的極坐標圖又稱Nyquist圖，也稱幅相頻率特性圖。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（一）比例環(huán)節(jié)Kω=0～∞ImRe0典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（二）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的極坐標圖是負虛軸。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（三）微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的極坐標圖是正虛軸。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（四）慣性環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（五）一階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（六）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖高頻部分與負實軸相切。極坐標圖的精確形狀與阻尼比有關，但對于欠阻尼和過阻尼的情況，極坐標圖的形狀大致相同。振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（七）延時環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（八）二階微分環(huán)節(jié)例題：考慮下列二階傳遞函數：試畫出這個傳遞函數的極坐標圖。解：極坐標圖的低頻部分為：極坐標圖的高頻部分為：Nyquist圖的一般形狀控制系統(tǒng)總是由若干個環(huán)節(jié)組成，其開環(huán)傳遞函數可表示為：則其開環(huán)頻率特性可表示為：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值等于各環(huán)節(jié)頻率特性幅值的乘積，相位為各環(huán)節(jié)在該頻率下的相位之和。Nyquist圖的繪制方法分別求出起點（ω=0）和終點（ω=∞）的值并標在極坐標上，補充必要的幾點，根據A(ω)、(ω)的變化趨勢，畫出Nyquist曲線的大致形狀。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數可寫成：因此，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性還可以寫成：當ν=0,1,2,···

時，系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。0型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀曲線的起點（ω=0）是正實軸上的一個有限值K，終點（ω=∞）為原點，相位是（m-n）×90°。隨著ω→∞，曲線按順時針方向越過n-m個象限后與坐標軸相切而趨于原點。Ⅰ型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀ω=0時，A(ω)=∞，(ω)=-90°，在低頻段曲線漸近于與負虛軸平行的直線。當ω→∞，曲線按順時針方向越過n-m-1個象限后與坐標軸相切而趨于原點。Ⅱ型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀ω=0時，A(ω)=∞，(ω)=-180°，在低頻段曲線漸近于與負實軸平行的直線。當ω→∞，曲線按順時針方向越過n-m-2個象限后與坐標軸相切而趨于原點。Nyquist圖的共同特性低頻段幅值很大，隨著頻率的升高，幅值逐漸變小，當ω→∞時，幅值A(ω)→0。當GK(s)包含有振蕩環(huán)節(jié)時，不改變上述特點。當GK(s)包含有導前環(huán)節(jié)時，由于相位非單調下降，則曲線將發(fā)生“彎曲”。頻率特性的對數坐標圖將頻率特性表示在對數坐標中，由對數幅頻特性圖和對數相頻特性圖組成，稱為頻率特性的對數坐標圖或Bode圖。對數幅頻特性圖的縱坐標（線性分度）表示頻率特性G(jω)的對數幅值，單位為分貝(dB)；橫坐標（對數分度）表示頻率ω的對數，單位是弧度/秒(rad/s)。橫坐標按lgω來刻度，所以是不均勻刻度，但仍標以ω的值。對數相頻特性圖的縱坐標（線性分度）表示頻率特性G(jω)的相位，單位為度；橫坐標與上述相同。數值與分貝轉換直線典型環(huán)節(jié)的Bode圖（一）比例環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（二）積分環(huán)節(jié)1/(jω)ν的對數頻率特性曲線-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec這些幅頻特性曲線都通過點典型環(huán)節(jié)的Bode圖（三）微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（四）慣性環(huán)節(jié)低頻時的對數幅值曲線是一條0分貝的直線在低頻時，即在高頻時，即高頻時的對數幅頻特性曲線是一條斜率為-20dB/dec的直線慣性環(huán)節(jié)的對數頻率特性（精確曲線與漸近線）漸近線

漸近線

精確曲線

精確曲線

以漸近線表示時引起的對數幅值誤差典型環(huán)節(jié)的Bode圖（五）一階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（六）振蕩環(huán)節(jié)低頻時的對數幅值曲線是一條0分貝的直線在低頻時，即在高頻時，即高頻時的對數幅頻特性曲線是一條斜率為-40dB/dec的直線幅頻特性與ξ關系幅頻特性與ξ關系幅頻特性與ξ關系幅頻特性與ξ關系幅頻特性與ξ關系幅頻特性與ξ關系相頻特性與ξ關系相頻特性與ξ關系相頻特性與ξ關系相頻特性與ξ關系相頻特性與ξ關系相頻特性與ξ關系幅值誤差與ξ關系幅值誤差與ξ關系幅值誤差與ξ關系幅值誤差與ξ關系幅值誤差與ξ關系幅值誤差與ξ關系諧振頻率ωr與諧振峰值Mr當ξ>0.707時，幅值曲線不可能有峰值出現，即不會有諧振。諧振峰值Mr與阻尼比ξ的關系曲線典型環(huán)節(jié)的Bode圖（七）二階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖（八）延時環(huán)節(jié)對數坐標圖（Bode圖）綜述互為鏡像對稱

對數幅頻特性圖

對數相頻特性圖積分環(huán)節(jié)過點(1,0)，斜率為-20db/dec的直線-90°水平線微分環(huán)節(jié)過點(1,0)，斜率為20db/dec的直線90°水平線

低頻漸近線高頻漸近線直線斜率慣性環(huán)節(jié)0db水平線始于點(1/T,0)-20db/dec0～-90°隨ω減小一階微分環(huán)節(jié)同上20db/dec0～90°隨ω增大對稱于(1/T,45°)

低頻漸近線高頻漸近線直線斜率振蕩環(huán)節(jié)0db水平線始于點(1/T,0)-40db/dec0～-180°隨ω減小二階微分環(huán)節(jié)同上40db/dec0～180°隨ω增大對稱于(1/T,90°)Bode圖的繪制方法由系統(tǒng)的傳遞函數G(s)求出頻率特性G(jω)；將G(jω)寫成若干個典型環(huán)節(jié)的頻率特性相乘的形式；找出k和ν（積分環(huán)節(jié)的個數）以及各典型環(huán)節(jié)的轉角頻率ωT1、ωT2、ωT3、···（從小到大）；畫出第一個轉角頻率ωT1前系統(tǒng)的對數幅頻特性的低頻部分。它是一條通過橫坐標為ω=1、縱坐標為20lgK、斜率為－ν×20db/dec的直線；依次從低頻到高頻，每遇到一個轉角頻率就將對數幅頻特性的斜率相應地改變一次；作出各典型環(huán)節(jié)的對數相頻特性并相加，就得到系統(tǒng)的對數相頻特性曲線圖。例：已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直線表示）

解：開環(huán)頻率特性為-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec§4-3閉環(huán)頻率特性具有單位反饋的系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性GB(jω)與開環(huán)頻率特性GK(jω)的關系為：對于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性為：§4-4頻率特性的特征量零頻幅值A(0)

頻率接近于零時，系統(tǒng)輸出的幅值與輸入的幅值之比。復現頻率ωM與復現帶寬0～ωM

幅頻特性值與A(0)的差第一次達到允許誤差Δ時的頻率值。諧振頻率ωr及相對諧振峰值Mr

幅頻特性出現最大值Amax時的頻率為ωr；相對諧振峰值Mr為Amax與A(0)之比。截止頻率ωb和截止帶寬0～ωb

幅頻特性的值由A(0)下降到0.707A(0)時的頻率?！?-5最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)傳遞函數G(s)的所有零點和極點均在復平面[