小學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)推理能力

專(zhuān)題講座小學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的教學(xué)策略周愛(ài)東順義區(qū)教育研究考試中心小學(xué)生在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)一點(diǎn)有關(guān)推理的知識(shí)，是《課標(biāo)》指定的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容。在《課標(biāo)》（修改稿）的第三頁(yè)倒數(shù)第一行，就有明確的規(guī)定：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直覺(jué)、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！薄墩n標(biāo)》還具體地作出了解釋“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在小學(xué)階段，主要學(xué)習(xí)合情推理，即歸納推理和類(lèi)比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為“不完全歸納推理”。一、知識(shí)結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個(gè)重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來(lái)的知識(shí)體系?！倍R(shí)體系因?yàn)槠鋬?nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。數(shù)學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構(gòu)成的?！皵?shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點(diǎn)是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過(guò)定義引入的”。這種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識(shí)結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識(shí)。例如：在教學(xué)正方形面積計(jì)算公式時(shí),我們通過(guò)演繹推理得到的：長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)乂寬正方形長(zhǎng)二寬因此得出正方形面積二邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)數(shù)學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識(shí)，他們又會(huì)運(yùn)用它在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上作出新的判斷和推理。二、邏輯推理在教及學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用根據(jù)奧蘇貝爾的認(rèn)知同化理論，學(xué)生知識(shí)的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴(lài)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，去影響和促進(jìn)新的理解、掌握，溝通新舊知識(shí)的互相聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是新舊知識(shí)建立下位聯(lián)系；二是新舊知識(shí)建立上位聯(lián)系；三是新舊知識(shí)建立聯(lián)合意義。這三方面及邏輯結(jié)構(gòu)中的三類(lèi)推理恰好建立相應(yīng)的聯(lián)系。

下位關(guān)系——演繹推理上位關(guān)系——?dú)w納推理并列關(guān)系——類(lèi)比推理一）下位關(guān)系——演繹推理"■"■靈比推浦1如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識(shí)，新舊知識(shí)建立下位聯(lián)系、新知識(shí)從屬于舊知識(shí)時(shí)，那么宜適當(dāng)運(yùn)用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論?！把堇[的實(shí)質(zhì)就是認(rèn)為每一特殊（具體）情況應(yīng)當(dāng)看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對(duì)象的具體知識(shí)，先要找出這一對(duì)象的類(lèi)（最近的類(lèi)概念），再將這一對(duì)象的類(lèi)的屬性應(yīng)用于哪個(gè)對(duì)象。例如：由四條線(xiàn)段圍成的圖形叫做四邊形。長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形都是由四條線(xiàn)段圍成的圖形。那么這些圖形都是四邊形。再如：兩種量分別用X和y表示，若y/x=k（一定）,則x和y是成正比例的量。同圓中周長(zhǎng)比半徑二2n（—定）。同圓中周長(zhǎng)和半徑是成正比例的量。當(dāng)學(xué)生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學(xué)會(huì)使用這樣的語(yǔ)言：只有兩個(gè)因數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)；101只有兩個(gè)因數(shù)；101是質(zhì)數(shù)。那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。在知識(shí)層面中,這種類(lèi)屬過(guò)程的多次進(jìn)行,就導(dǎo)致知識(shí)不斷產(chǎn)生新的

層次,其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴(yán)密,新的知識(shí)也就會(huì)不斷分化和精確化,就可

以逐漸演繹出新的類(lèi)屬性的具體知識(shí)。教學(xué)中正確把握這種結(jié)構(gòu),用演繹

推理的手段組織學(xué)習(xí)過(guò)程,不但能培養(yǎng)學(xué)生的思考方法,理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力，縮短推理過(guò)程，快速找到解題途徑。比如：運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識(shí)為基礎(chǔ)，才能實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算。aXc+bXc=對(duì)比題：99X99+99X1=99X(99+1)=990099X99＋9919X86＋14X26=19X(86+14)二）上位關(guān)系——?dú)w納推理如果原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)已形成幾個(gè)觀念，要在原有的觀念上學(xué)習(xí)一個(gè)抽象、概括和包容性高于舊知識(shí)的新知識(shí)，即新舊知識(shí)建立上位聯(lián)系時(shí)，那么適當(dāng)運(yùn)用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當(dāng)需要研究某一對(duì)象集時(shí)，先要研究各個(gè)對(duì)象（情況），從中找出整個(gè)對(duì)象集所具有的性質(zhì)，這就是歸納推理。歸納推理的基礎(chǔ)是觀察和試驗(yàn)，是從具體的、特殊的情況過(guò)渡到一般情況（結(jié)論、推論）。例如：在學(xué)習(xí)兩個(gè)奇數(shù)相加和是偶數(shù)時(shí)，先讓學(xué)生列舉出多個(gè)兩個(gè)奇數(shù)相加的例子，最后得出兩個(gè)奇數(shù)相加和是偶數(shù)的結(jié)論。1和2互質(zhì)，1和3互質(zhì)，1和4互質(zhì)一1和任意一個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。和3互質(zhì)，3和4互質(zhì)，4和5互質(zhì)一相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。和5互質(zhì)，5和7互質(zhì)，7和9互質(zhì)一相鄰的兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì)。教材中關(guān)于概念的形成，運(yùn)算法則和運(yùn)算定律、性質(zhì)得出，一般是通過(guò)歸納推理得到的。運(yùn)用歸納推理傳授知識(shí)時(shí)，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取典型的特例，并能夠通過(guò)典型特例的推理得出一般性的結(jié)論。又要用這個(gè)“一般結(jié)論”，去解決具體特例。在教及學(xué)的進(jìn)程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的，它們緊密交織在一起。（三）并列關(guān)系——類(lèi)比推理如果新舊知識(shí)間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系，又不能產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新知識(shí)同原有知識(shí)有某種吻合關(guān)系或類(lèi)比關(guān)系，則新舊知識(shí)間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運(yùn)用類(lèi)比推理。教材中，商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分?jǐn)?shù)的乘法等，學(xué)習(xí)這類(lèi)及舊知識(shí)處于并列結(jié)合關(guān)系的新知識(shí)時(shí)，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類(lèi)比推理。如五年級(jí)學(xué)習(xí)“一輛卡車(chē)平均每小時(shí)行40千米，0.3小時(shí)行了多少千米？”時(shí)，學(xué)生還無(wú)法根據(jù)小數(shù)乘法的意義列出此題的解答等式。所以，教學(xué)中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系來(lái)類(lèi)推。新舊知識(shí)的三種聯(lián)系及三類(lèi)推理相呼應(yīng)，不是一種巧合，是知識(shí)結(jié)構(gòu)本身科學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)使然。正確地運(yùn)用邏輯推理的原則可以將學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)分化的程度提高，教師會(huì)不斷注意新知識(shí)的穩(wěn)定性、清晰性，新知識(shí)的固定點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)更富有科學(xué)意義。三、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略（一）新知識(shí)轉(zhuǎn)化舊知識(shí)的學(xué)習(xí)中，溝通的策略。（二）習(xí)得新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略。（三）在學(xué)習(xí)新知時(shí)，關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)引發(fā)思考點(diǎn)撥思路的策略。（四）設(shè)計(jì)開(kāi)放練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。（五）構(gòu)建可操作的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。一）新知識(shí)轉(zhuǎn)化舊知識(shí)的學(xué)習(xí)中，溝通的策略．立體圖形的體積計(jì)算，分為兩個(gè)階段，長(zhǎng)、正方體體積；圓柱、圓錐的體積。學(xué)習(xí)了圓柱體積計(jì)算之后，可以把長(zhǎng)方體，正方體，圓柱都看成是柱體，他們的體積都可以用底面積乘高來(lái)計(jì)算。如圖，它們的體積公式可以統(tǒng)一成（V=sh）。的關(guān)系。例如：教師設(shè)計(jì)的開(kāi)放練習(xí)；甲數(shù)除以乙數(shù)的商是12，余數(shù)是8，如果商用小數(shù)表示是12.5那么甲數(shù)是（），乙數(shù)是（）。二）學(xué)了新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù)之后，可以深化整除的概念。A=2X3X5；B=2X32X5因?yàn)槲覀冎繠包含A的所有因數(shù)，那么B是A的倍數(shù)，A是B的因數(shù)。質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，是依據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)多少來(lái)分類(lèi)建立概念的。學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù)的概念后，學(xué)生又認(rèn)識(shí)到，任何一個(gè)合數(shù)都可以表示成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式。教師應(yīng)及時(shí)深化概念。從新的角度看舊知。（三）在學(xué)習(xí)新知時(shí)，關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)引發(fā)思考點(diǎn)撥思路的策略．關(guān)鍵處點(diǎn)撥：案例：商不變的性質(zhì)教學(xué)片段。首先是計(jì)算：80一4=（）一（）學(xué)生都能找到一個(gè)正確答案,方法無(wú)一例外都是先算出商20，然后想哪兩個(gè)數(shù)相除商是20，學(xué)生很難將兩個(gè)算式中的被除數(shù)和除數(shù)建立起聯(lián)系。第二是觀察：我寫(xiě)出一組算式：20一2=1040一4=1080一8=10,讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生都發(fā)現(xiàn)了商沒(méi)變，被除數(shù)和除數(shù)變了，具體說(shuō)說(shuō)怎樣變了？有的學(xué)生說(shuō)被除數(shù)增加了，除數(shù)也增加了，有的學(xué)生說(shuō)被除數(shù)擴(kuò)大了，除數(shù)也擴(kuò)大了，學(xué)生習(xí)慣上從上向下觀察，從直觀上感知被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生了變化，增加了或擴(kuò)大了，但對(duì)于被除數(shù)和除數(shù)變化之中的內(nèi)在聯(lián)系卻很難發(fā)現(xiàn)。如何讓學(xué)生主動(dòng)探求被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律，并有所發(fā)現(xiàn)呢？我通過(guò)對(duì)情境的加工，提取出數(shù)學(xué)實(shí)例，學(xué)生在觀察、猜想、驗(yàn)證、反思等學(xué)習(xí)過(guò)程中，運(yùn)用不完全歸納法總結(jié)出商不變的性質(zhì)，從而豐富學(xué)生探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。我充分利用教材中猴王分桃子的情境：3只小猴子，猴王給了6個(gè)桃子，小猴子說(shuō)不夠不夠，每人才2個(gè)桃子，太少了。猴王說(shuō)：“少？沒(méi)關(guān)系，我有神奇寶盒，那給你們變一變，”

猴王利用寶盒變成：60個(gè)桃子分給30個(gè)小猴子，600個(gè)桃子分給300只小猴子。600和300，你們猜結(jié)果怎樣？真讓你們猜對(duì)了小猴子還是覺(jué)得少奇怪了，桃子明明是越變?cè)蕉嗔?，小猴子為什么還說(shuō)不夠呢？學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)雖然桃子也就是被除數(shù)多了，分給猴子的只數(shù)也就是除數(shù)也多了，每個(gè)人分得的桃子也就是商沒(méi)變。?真是神奇，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)都變了，商竟然沒(méi)變，那是不是不管被除數(shù)和除數(shù)怎樣變，商都不變呢？?提出猜想：你認(rèn)為被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生怎樣的變化，商就能不變呢？．在觀察中引發(fā)思考。任觀鑒中引崑降考任觀鑒中引崑降考t.Q76523_13Ji&WJOOC13冋商就輸I盹的岡…與日IS7000j．在確定思考方向處教師應(yīng)設(shè)問(wèn)點(diǎn)撥蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿?，F(xiàn)在這兩種小蟲(chóng)共18只，共有118條腿。問(wèn)蜘蛛有幾只？蜘蛛8腿9765；蜻蜓6腿910111213腿118條1261241221201t8?確定試算的方向。教師應(yīng)設(shè)問(wèn)點(diǎn)撥。（四）設(shè)計(jì)開(kāi)放練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。1．追根尋源:如果下圖中圓的面積等于長(zhǎng)方形的面積，那么圓的周長(zhǎng)（）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。A.等于B.大于C.小于圓的周長(zhǎng)是16.4厘米，陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？陰影部分的周長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)加1/4圓周=16.4X(1+1/4) =20.5厘米。．估算要有方法。三位同學(xué)晨練，張華5分鐘走了351米，李明2分鐘走了131米，陸宇3分鐘走了220米，（）走得最快。

A.張華B.李明C.陸宇李明+陸宇二張華。張華1分鐘大約走了70米，李明不足70米。所以陸宇走路最快。．整體考慮：1分鐘走路面的網(wǎng)格1分鐘走路面的網(wǎng)格沿著對(duì)稱(chēng)軸三個(gè)圖形拼成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸可以有三個(gè)方向沿著對(duì)稱(chēng)軸等成分兩部分，每部分面積是8橫向：3+5=8層次：易?？v向：2+3+3=8層次：易。三個(gè)圖形拼成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸可以有三個(gè)方向，沿著對(duì)稱(chēng)軸等成分兩部分，每部分面積是845。方向：0.5+3.5+4=8層次：難。45。方向：2.5+3.5=6每部分+2=8層次：難。（五）構(gòu)建可操作的教學(xué)模式，有效發(fā)展推理能力案例：感知、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論、推廣應(yīng)用五步教學(xué)法三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法后，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣，使體驗(yàn)到數(shù)學(xué)計(jì)算中的趣味及魅力，在提高學(xué)生的計(jì)算能力的同時(shí)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，我們可以設(shè)計(jì)一些題組，清晰地呈現(xiàn)題組間邏輯關(guān)系，為學(xué)生提供充分觀察思考的思維空間，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、感知、猜想、驗(yàn)證結(jié)論、推廣應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、概括、探究等能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。利用題組，初步感知規(guī)律先計(jì)算下列乘法算式的乘積，然后再認(rèn)真觀察：你有什么發(fā)現(xiàn)？TOC\o"1-5"\h\z12 15 13 節(jié) 67畑 畑 X67 K3G XJ9,ujlu mm m’Ti iii丨i 111)ii_i i_i i__i i_i i_t12X67=304 15X67=100518X67=12C6 39X57=26133fiX67= 2412學(xué)生通過(guò)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)：因數(shù)的特點(diǎn)：1.一個(gè)因數(shù)都是67一個(gè)因數(shù)數(shù)12,15,18……都是3的倍數(shù)積的特點(diǎn)：1、積的前兩位數(shù)都是后兩位數(shù)的2倍。2.根據(jù)發(fā)現(xiàn)，提出猜想是不是只要是3的倍數(shù)及67相乘，它們的乘積就可能具有這個(gè)2倍的關(guān)系呢？結(jié)合實(shí)例，驗(yàn)證猜想這時(shí)教師為學(xué)生提供如下的算式，讓學(xué)生親自對(duì)猜想加以驗(yàn)證：練習(xí)：42 45 48 2 fl2X67=2詼^67=3216_ 心7_心了_心7_ 45X67^3G15 63X^7-4221通過(guò)計(jì)算以上題組加以驗(yàn)證，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的猜想得到了驗(yàn)證。那為什么這些乘法算式的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)有趣的2倍的關(guān)系呢？會(huì)不會(huì)是3倍、4倍呢