空間角及其計算

第52講 空間角及其計算1．在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，BC1與平面BDD1B1所成的角為(A)A．30°B．45°C．60° D．90°取B1D1的中點E，連接C1E，BE，因為C1E⊥平面BDD1B1，所以∠C1BE即為所求角 θ.22 1因為sinθ＝ ＝，所以θ＝30°，選A.2．正四棱錐的側棱長為23，側棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為(B)A．3B．6C．9D．18棱錐的底面對角線長為2×23cos60＝°23，高為23sin60＝°3，設底面邊長為a，則2a＝23，所以a＝6，所以底面面積為a2＝6，1所以其體積V＝3×6×3＝6，所以選B.3．已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為(B)A．30°B．60°C．90°D．120°4．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α、β所成的角分別為ππ4和.過A、BA′、B′，若AB＝12，則A′B′＝(B)6分別作兩平面交線的垂線，垂足為A.4B．6C．8D．9π連接AB′，設AB＝a，可得AB與平面α所成的角為∠BAB′＝4，在Rt△BAB′2中，有AB′＝2a.π同理可得AB與平面β所成的角為∠ABA′＝6，1所以A′A＝2a.因此在Rt△AA′B′中，A′B′＝221212a－2a＝2a，因為AB＝12，所以A′B′＝6，故選B.5．長為2a的線段AB在平面α內的射影線段A1B1的長為a，則直線AB與平面α所成的角的大小為60°.a1設直線AB與平面α所成的角為θ，則cosθ＝2a＝2，則θ＝60°.6．已知正三棱錐的側棱長是底面邊長的 2倍，則側棱與底面所成角的余弦值等于36

.如圖，O為底面正△ABC的中心，則 OP⊥平面ABC，∠PCO即為所求角，設AB＝1，3則PC＝2，OC＝3，OC 3所以cos∠PCO＝PC＝6.7．(2017天·津卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證：PD⊥平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．(1)如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角．因為AD⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，AD5故cos∠DAP＝AP＝5.所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為55.(2)證明：由(1)知AD⊥PD.又因為BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)過點D作DF∥AB，交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于 AB與平面PBC所成的角．因為PD⊥平面PBC，所以PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得 CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，所以BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，PD5在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝DF＝5.所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為55.8．(2014·課程卷Ⅱ新)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為(C)2A.10B.52C.10D.2取BC的中點D，連接MN，ND，AD，1由于MN綊2B1C1綊BD，因此ND綊BM，則ND與NA所成的角即為異面直線設BC＝2，則BM＝ND＝6，AN＝ND2＋NA2－AD2因此，cos∠AND＝2ND·NA＝

BM與AN所成的角．5，AD＝ 5，3010.9．已知正四面體A-BCD的棱長為a.(1)AC與平面BCD所成角的余弦值為3；3(2)二面角A-BD-C的平面角的余弦值為1.3設A在底面BCD上的射影為 O，連接OA，連接OC并延長與 BD相交于E，連接AE.(1)因為AO⊥平面BCD，所以∠ACO就是AC與平面BCD所成的角．因為△BCD是正三角形，所以O是△BCD的中心．在Rt△AOC中，OC＝2×3332a＝3a，OC3所以cos∠ACO＝AC＝3.所以AC與平面BCD所成角的余弦值為33.(2)因為四面體 A-BCD為正四面體，所以△BCD和△ABD都為正三角形，所以OE⊥BD且AE⊥BD，所以∠AEO為二面角 A-BD-C的平面角，1×33a3所以OE＝32a＝6，AE＝2a，OE1所以cos∠AEO＝AE＝3.1所以二面角A-BD-C的平面角的余弦值為3.10．如圖，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，且PC＝a，E為PA的中點．(1)求證：平面 BED⊥平面ABCD；(2)求PB與平面PAC所成角的正弦值；(3)求二面角 D-PA-B的平面角的余弦值．證明：設AC交BD于O，連接OE，因為O是AC的中點，E是PA的中點，所以OE∥PC，又PC⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，因為OE?平面BED，所以平面 BED⊥平面ABCD.(2)連接OP，因為ABCD是菱形，所以 BD⊥AC，又PC⊥平面ABCD，所以BD⊥PC，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC，所以OP是BP在平面PAC上的射影，所以∠BPO即為所求角．在Rt△BPO中，OB＝32a，PB＝2a，OB6所以sin∠BPO＝PB＝4.所以PB與平面PAC所成角的正弦值為64.(3)過D作DF⊥PA于F，連接BF，由(2)知BD⊥PA，DF∩BD＝D，所以PA⊥平面BFD，BF?平面BFD，所以PA⊥BF，所以∠DFB即是所求二面角的平面角．在△DFB中，可考慮用余弦定理求∠ DFB.因為PD＝PA＝ 2a，取AD的中點G，連接PG，則P