哈工大建筑力學(xué)第4章(第3-6節(jié)) 平面力系的簡化及平衡方程

第四章平面力系的簡化與平衡方程林國昌§4-3平面任意力系的平衡條件?平衡方程§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

如果平面任意力系向任一點簡化后的主矢和主矩都等于零，表明簡化后的匯交力系和附加力偶系都自成平衡，則原力系必為平衡力系。平面任意力系平衡的充要條件是：力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零。即：(4-8)主矢：主矩：§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

和等價主矢：主矩：等價(4-9)稱為平面任意力系的平衡方程。(4-9)等價平面任意力系的平衡方程實際上就是平面任意力系平衡的解析條件：即所有各力在兩個任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。有三個獨立方程，只能求解三個未知數(shù)這是平面任意力系平衡方程的基本形式?！?-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

(4-9)例已知：尺寸如圖。解：取起重機，畫受力圖.3個未知量§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

A點固定鉸支座約束，B點光滑面約束，求軸承A和B處的約束力.例

兩根直徑為d的圓鋼，每根重P=2kN，擱置在槽內(nèi)。忽略接觸面的摩擦，求A、B、C三點的約束力。O1O2ⅠⅡPPABC45o解：3個未知量NCNBNA解方程。（略）研究對象：兩根圓鋼NA－NC＝0NB－P－P＝0

NC

dsin45°－Pdcos45=0xy§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

例4-3剛架AB受均勻分布的風(fēng)荷載的作用，單位長度上承受的風(fēng)壓為q(N/m)，給定q和剛架尺寸，求支座A和B的約束力。L1.5LAB解：取

剛架，畫受力圖.FAx+FR=0ABxyFRFAxFAyFByFAx=-FR=-qLFAy+FBy=01.5FByL-FRL/2=0FAx=-FBy=-qL/3§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

3個未知量yx2Faa/2FFAxFAyMA例4-4構(gòu)件受力如圖所示，求固定端A的約束。解：取整體構(gòu)件，畫受力圖FAx-F=0FAy-2F=0MA-2Fa-Fa/2=0FAx=FFAy=2FMA=2.5Fa3個未知量§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：1）選—選取研究對象。應(yīng)既受已知力，又受要求的力或與要求力相關(guān)的力。2）畫—畫受力圖。3）建—建立坐標(biāo)系。原點可任意，使坐標(biāo)軸與較多的未知力平行。4）列—列平衡方程。注意：矩心最好在多個未知力作用線的交點上。5）解—解平衡方程。6）答—答案，必要時作出討論或說明?！?-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

yx2Faa/2FFAxFAyMA3個未知量二矩式：三矩式：x軸不得垂直于A、B連線。A、B、C三點不共線。三組方程都可用來解決平面任意力系的平衡問題。究竟選用哪一組方程，須根據(jù)具體條件確定。

對于受平面任意力系作用的單個剛體的平衡問題，只可以寫出三個獨立的平衡方程，求解三個未知量。任何第四個方程只是前三個方程的線性組合，因而不是獨立的?！?-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

例4-8如圖所示，十字交叉梁用三個鏈桿支座固定，求在水平力F作用下各支座的約束力。二矩式：yxFaaaa30oFBFCFAABCLFa+FB2a-FCa=0矩心A矩心BFa+FA2acos30o-FCa=0∑MB=0∑MA=0FAsin30o-F-FC=0FA=-1.62FFB=-1.40FFC=-1.81F§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

x軸不得垂直于A、B連線。三矩式：Fa+FB2a-FCa=0矩心A矩心BFa+FA2acos30o-FCa=0∑MB=0∑MA=0yxFaaaa30oFBFCFAABCL矩心C∑MC=0FA=-1.62FFB=-1.40FFC=-1.81FFAcos30oa+F2a+FBa-FAsin30oa=0§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

A、B、C三點不共線。ACBPFC45yx解得：FC＝28.28kN例已知如圖AC＝CB＝l，載荷P＝10kN。設(shè)梁和桿的自重不計，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。DCF’DF’CPABD45解：研究對象：AB梁。XA＋FCcos45＝0

YA＋FCsin45－P＝0

FCsin45l－P2l＝0ll由作用反作用公理，CD桿受壓力28.28kNXA＝－20kNYA＝－10kN(負號表明約束力方向與圖示相反)CXAYA§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

3個未知量PABCD45yxllAXAYAFCC45PBDl如果寫出對A、C兩點的力矩方程和對x軸的投影方程：如果寫出對A、D、C三點的力矩方程？——作業(yè)1§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

二矩式例：

水平梁長為4m，重P=10kN，作用在梁的中點C。承受均布載荷q=6kN/m，力偶矩m＝8kNm。試求A、B處的約束力。解：研究對象：水平梁AB。－8解得：P4m2mqmCBA45°XAYARBq×2§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

§4-4平面平行力系的平衡方程只有兩個獨立平衡方程，只能求解兩個未知數(shù)。

上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是

若力系中所有力的作用線都在同一平面內(nèi)且平行，稱為平面平行力系，它是平面任意力系的特殊情況，如圖所示。當(dāng)取x軸與力系中各力垂直，則自然滿足。則平面平行力系平衡方程為:§4-4平面平行力系的平衡方程

P2P1P3PAB3.0m2.5m1.8m2.0m例：

一種車載式起重機，車重P1=26kN，起重機伸臂重P2=4.5kN，起重機的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重P3

=31kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機對稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。§4-4平面平行力系的平衡方程

解：(1)取汽車及起重機為研究對象，受力分析如圖。PP2FAP1P3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m不翻倒的條件是：FA≥0，故最大起吊重量為Pmax=7.5kN聯(lián)立求解

所以由上式可得§4-4平面平行力系的平衡方程

(2)列平衡方程。塔式起重機如圖所示，機架自重W=700KN，作用線通過塔架軸線。最大起重量W1=200KN，最大吊臂長為12m，平衡塊重W2，它到塔架軸線的距離為6m。為保證起重機在滿載和空載時都不翻倒，試求平衡塊的重量應(yīng)為多大。例4-9§4-4平面平行力系的平衡方程

FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

解：(1)取起重機為研究對象，受力分析如圖。起重機底部是由滾動鉸支座約束，故有兩個約束力FA和FB。平面平行力系！FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

(2)列平衡方程。未知數(shù)：FA、FB、W2。平面平行力系的平衡方程只有兩個，只能求解2個未知數(shù)，因此，需要補充方程。分析：(1)起重機滿載時，W1=200kN。此時平衡塊W2保證起重機不會饒B輪發(fā)生翻到。當(dāng)處于翻到和未翻到的臨界狀態(tài)時，F(xiàn)A=0。此時W2是起重機滿載時不翻到的最小值，用W2min表示。FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

分析：(2)起重機空載時，W1=0kN。此時平衡塊W2保證起重機不會饒A輪發(fā)生翻到。當(dāng)處于翻到和未翻到的臨界狀態(tài)時，F(xiàn)B=0。此時W2是起重機空載時不翻到的最大值，用W2max表示。例已知F=40KN，M=150KNm。求支座A、B處的反力。ABFM解：研究對象：AB梁.

畫受力圖.6m3mABFMFBFA解略！§4-4平面平行力系的平衡方程

§4-5物體系的平衡問題§4-5物體系的平衡問題

物體系:是指由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)。PACBQQBqEDCA討論物體系平衡時，不僅要考慮系統(tǒng)的外力，還要考慮系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力（內(nèi)力）。物體系若由n個物體組成，則可以寫出3n個獨立的平衡方程，可求解3n個未知數(shù)。例4-7：三鉸拱ABC的支承及荷載情況如圖所示。已知P=20kN,均布荷載q=4kN/m.求鉸鏈支座A和B的約束反力。1m2m2m3mABCqPXAYAXBYB解：1）研究對象：整體MA(Fi)=0-q×3×1.5-P×3+4×YB=0YB=19.5kN

YA-P+YB=0YA=0.5kN§4-5物體系的平衡問題

xy2）研究對象：BCXCYCMC(Fi)=0-1×P+2×YB+3×XB=0XB=-6.33kN§4-5物體系的平衡問題

1m3mBCPXBYB2mXA=-5.67kN

q×3+XA+XB=0整體分析：§4-5物體系的平衡問題

1m2m2m3mABCqPXAYAXBYBYA=0.5kNYB=19.5kNXB=-6.33kN已經(jīng)求出：解靜定物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:1)分析系統(tǒng)由幾個物體組成；2)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或個體為研究對象進行受力分析并畫受力圖；3)列平衡方程并解出未知量?！话阈枞《啻窝芯繉ο蟆！?-5物體系的平衡問題

例已知三角拱的重力及載荷和幾何尺寸，求A、B的約束力。PACBQQ研究對象的選取方案：（1）整體和BC（2）AC和BC（3）整體和AC§4-5物體系的平衡問題

解：選取研究對象XBXAYAYB解一（1）研究對象：整體YBYA（2）研究對象：BCXB代入（1）式，可解得XA。XCBXBYBCYCQPACBQQ§4-5物體系的平衡問題

PACBSQQ（1）研究對象：AC（2）研究對象：BC方程含X'C、Y'C方程含XA、YA方程含XA、XC方程含XC、YC方程含XB、YB方程含XB、XCPQACY'CX'CXAYAXCBXBYBCYCQ6個方程、6個未知力，聯(lián)立可解研究對象不同計算量相差很大。解二§4-5物體系的平衡問題

例

已知M=10kNm，q=2kN/m，求A、B、C三處的約束力。qCAB1mM1m1m1m解：全面進行受力分析，選取合適的研究對象:整體受力分析§4-5物體系的平衡問題

qCAB1mM1m1m1mYAXAMAYCYC=0.5kNCBABmqqYCYBXBYBXBYAXAmAXB=01）研究對象：BCYB=1.5kN§4-5物體系的平衡問題

XA=02）研究對象：AB①根據(jù)求解的問題，恰當(dāng)?shù)倪x取研究對象：要使所取物體上既包含已知條件，又包含待求的未知量。②對選取的研究對象進行受力分析，正確地畫出受力圖。③建立平衡方程式，求解未知量：a)根據(jù)所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。b)建立投影方程時，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛垂方向，應(yīng)根據(jù)具體問題從解題方便入手去考慮。c)建立力矩方程時，矩心的選取也應(yīng)從解題方便的角度加以考慮?！?-5物體系的平衡問題

§4-6考慮摩擦的平衡問題前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。兩個相互接觸的物體產(chǎn)生相對運動或具有相對運動的趨勢時，彼此在接觸部位會產(chǎn)生一種阻礙對方相對運動的作用，這種現(xiàn)象稱為摩擦，這種阻礙作用，稱為摩擦阻力?！?-6考慮摩擦的平衡問題

何時可以不考慮摩擦？答：當(dāng)摩擦對所研究的問題是次要因素，可以略去不計。摩擦的有利之處：§4-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦的不利之處：機械零件的磨損！摩擦滑動摩擦滾動摩擦靜滑動摩擦動滑動摩擦靜滾動摩擦動滾動摩擦摩擦干摩擦濕摩擦滑動趨勢滑動滾動趨勢滾動接觸面間無潤滑介質(zhì)接觸面間有潤滑介質(zhì)§4-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦的分類：4-6-1靜滑動摩擦力F(2)此刻，在物體上再施加一個水平拉力F,只要F值不超過一定限度，則物體仍處于平衡狀態(tài)?！?-6考慮摩擦的平衡問題

AFNWFs(1)重W的物體放在粗糙的水平面上,

平衡狀態(tài)。此時只受W和FN作用，F(xiàn)N是接觸面對物體施加的約束力。(3)這表明：必定有一個阻礙物體沿水平方向滑動的力Fs，F(xiàn)s稱為靜滑動摩擦力。Fs的方向：與物體的相對滑動的趨勢相反，沿接觸處的公切線(“相對滑動的趨勢”指的是假設(shè)不存在摩擦?xí)r，物體在主動力作用下的相對滑動方向)。Fs的大?。?-6-2最大靜摩擦力，靜滑動摩擦定律1）最大靜摩擦力作用在物體水平拉力F,增大到某一限度時，如果繼續(xù)增大，物體將會產(chǎn)生滑動，而不再保持平衡。將物體即將滑動而尚未滑動的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。此時靜摩擦力達到最大值Fmax

,稱為最大靜摩擦力。§4-6考慮摩擦的平衡問題

AFFNWFs(4-14)平衡時，靜滑動摩擦力的取值范圍為：2）靜滑動摩擦定律fs—靜摩擦因數(shù)，它是無量綱，與接觸物體材料、接觸面粗糙度、溫度、濕度等有關(guān)。fs通常有一定的取值范圍，但是當(dāng)材料和表面情況確定的條件下，fs可以看做是常數(shù)。§4-6考慮摩擦的平衡問題

法國物理學(xué)家?guī)靷愅ㄟ^對干燥接觸面的試驗發(fā)現(xiàn)：(1)最大靜摩擦力的方向與物體的相對滑動的趨勢相反，沿接觸處的公切線；(2)最大靜摩擦力的大小與相互接觸兩物體間的正壓力(法向反力)成正比。AFFNWFs(4-15)式(4-15)稱為靜滑動摩擦定律，或庫倫定律。4-6-3動滑動摩擦力(2)此刻，靜滑動摩擦力稱已經(jīng)不能阻礙物體相對滑動的發(fā)生，只能起到一個阻力作用，稱之為動滑動摩擦力，用Fm表示?！?-6考慮摩擦的平衡問題

AFFNWFmax(1)設(shè)物體在FN作用處于臨界平衡狀態(tài)，當(dāng)FN繼續(xù)增大時，物體將發(fā)生滑動。AFFNWFm臨界平衡狀態(tài)滑動狀態(tài)4-6-3動滑動摩擦力§4-6考慮摩擦的平衡問題

f—動摩擦因數(shù)，它是無量綱，與接觸物體材料和表面情況有關(guān)，還與接觸物體間相對滑動的速度大小有關(guān)。當(dāng)滑動速度不大時，動摩擦系數(shù)可近似認為是個常數(shù)。試驗表明：(1)動滑動摩擦力的方向與物體的相對滑動的方向相反；(2)動滑動摩擦力的大小與相互接觸兩物體間的正壓力(法向反力)成正比。(4-16)式(4-16)稱為動滑動摩擦定律。AFFNWFm滑動狀態(tài)通常動摩擦因數(shù)小于靜摩擦因數(shù)，即：47狀態(tài)：①靜止：②臨界：（將滑未滑）

③滑動：增大摩擦力的途徑為：①加大正壓力FN,②加大摩擦因數(shù)。

（fs

—靜摩擦因數(shù)）（f‘—動摩擦因數(shù)）§4-6考慮摩擦的平衡問題

AFFNWFs通常動摩擦因數(shù)小于靜摩擦因數(shù)，即：當(dāng)有摩擦?xí)r，接觸面的