泰勒展開式與洛朗展開式

泰勒展開式與洛朗展開式§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

§2冪級數(shù)

—冪級數(shù)的收斂域

—冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

§3泰勒(Taylor)級數(shù)

§4洛朗(Laurent)級數(shù)上次課主要內(nèi)容回顧——關(guān)于的冪級數(shù)，其中為常數(shù).定理1（Abel第一定理）若冪級數(shù)（1）在處收斂，則它在圓內(nèi)每一點(diǎn)處絕對收斂.推論若冪級數(shù)（1）在處發(fā)散，則它在內(nèi)每一點(diǎn)處發(fā)散.定理3

對冪級數(shù)（1），若下述極限之一成立，則冪級數(shù)（1）的收斂半徑為定理4

設(shè)冪級數(shù)（1）的收斂半徑為，它在圓盤內(nèi)的和函數(shù)為，則（1）在內(nèi)解析；（2）在內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)，即（3）在內(nèi)可逐項(xiàng)積分，即推論

在定理4條件下，有或提問:冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)是什么?上次課主要內(nèi)容回顧思考下列問題:(1)函數(shù)滿足怎樣的條件才能展開為冪級數(shù)?(2)如果函數(shù)能夠展開為冪級數(shù),

那么它的系數(shù)應(yīng)如何確定?(3)函數(shù)的冪級數(shù)展開式是否唯一?(4)如何確定展開式的收斂半徑?§3泰勒級數(shù)§3泰勒級數(shù)定理（Taylor)

設(shè)函數(shù)在圓盤內(nèi)解析，則證明過程:人物簡介18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒（BrookTaylor）,于1685年8月18日在米德爾塞克斯的埃德蒙頓出生。

1709年后移居倫敦，獲法學(xué)碩士學(xué)位。1712年當(dāng)選為英國皇家學(xué)會會員，并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位。同年(即1714年)出任英國皇家學(xué)會秘書，四年后因健康理由辭退職務(wù)。他是有限差分理論的奠基人。1717年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程,他提出的泰勒定理使任意單變量函數(shù)可展為冪級數(shù)。最后在1731年12月29日于倫敦逝世。泰勒定理情況一:找到區(qū)域邊界最短距離.情況二:找與函數(shù)離最近的一個奇點(diǎn)之間的距離.§3泰勒級數(shù)推論

函數(shù)在處解析的充要條件是可在的某鄰域內(nèi)展開成冪級數(shù).Note.實(shí)際上該推論是從級數(shù)的角度深刻地反映出解析函數(shù)的本質(zhì).wecanuseTaylor’stheoremandpropertyofthepowerseriestoobtainthiscorollary.提問:當(dāng)已知函數(shù)在某個區(qū)域內(nèi)解析若要將函數(shù)

展開成冪級數(shù),則如何確定收斂半徑R值?Note.WecanuseTaylor’stheoremandcorollaryto

obtainthisresult.§3泰勒級數(shù)基本結(jié)論:函數(shù)在某一點(diǎn)的泰勒展開式是唯一的.Example1.2)泰勒公式法1)代換運(yùn)算幾個例題Example2.幾個例題Example3.Note.

我們考慮的對象是單值函數(shù)所以應(yīng)取冪函數(shù)的主值分支.Example4.§3泰勒級數(shù)3)逐項(xiàng)積分法與逐項(xiàng)求導(dǎo)法§3泰勒級數(shù)Example2.同理可得余弦函數(shù)在原點(diǎn)的泰勒級數(shù).4)其它方法§3泰勒級數(shù)基本初等函數(shù)在原點(diǎn)處的泰勒級數(shù):利用MATHEMATICA求冪級數(shù)展開**§3泰勒級數(shù)Exercise1.Exercise2.(1)利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

(2)利用逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分的性質(zhì)

(3)利用代換運(yùn)算

(4)利用以知的結(jié)論即基本函數(shù)的展開式間接展開法泰勒公式法總結(jié)函數(shù)在某一點(diǎn)展開的方法:§4洛朗級數(shù)——關(guān)于的雙邊冪級數(shù)（或洛朗級數(shù)），其中為常數(shù).負(fù)冪部分在區(qū)域內(nèi)收斂到解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)收斂到解析函數(shù)正冪部分§4洛朗級數(shù)負(fù)冪部分在區(qū)域內(nèi)收斂到解析函數(shù)設(shè)負(fù)冪部分在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)為,則由定理4可得該和函數(shù)必解析.事實(shí)上負(fù)冪部分是我們主要研究的對象所以也稱之為主要部分.

原因就在于:Note.

事實(shí)上正冪部分就是個冪級數(shù),由定理4可得該結(jié)論.由于它在這一點(diǎn)解析我們也稱它為解析部分.§4洛朗級數(shù)在區(qū)域內(nèi)收斂到解析函數(shù)結(jié)論:在圓環(huán)域內(nèi)收斂到解析函數(shù)定理4

設(shè)雙邊冪級數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)的和函數(shù)為，則（1）該和函數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)解析；（2）該和函數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)可逐項(xiàng)積分.正冪部分

提問:既然洛朗級數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)的和函數(shù)是解析的,那么反過來是否成立呢?即一個在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開成洛朗級數(shù)?§4洛朗級數(shù)§4洛朗級數(shù)定理（Laurent）設(shè)在圓環(huán)域內(nèi)解析，則對有其中這里為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單閉曲線.利用柯西積分公式的推廣式稱(1)為在圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式§4洛朗級數(shù)定理（Laurent）設(shè)在圓環(huán)域內(nèi)解析，則對有其中這里為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單閉曲線.證明思路:右邊的第一式利用泰勒定理中的證明技巧可得:右邊的第二式中先利用代換運(yùn)算來展開成級數(shù):§4洛朗級數(shù)推論圓環(huán)內(nèi)的解析函數(shù)在該圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式唯一.Example.例題I公式法.II間接展開法.第四章級數(shù)§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)