初三數(shù)學中考第一輪復習⑵方程組與不等式組知識精講

初三數(shù)學中考第一輪復習⑵方程（組）與不等式（組）華東師大版【本講教育信息】一.教學內(nèi)容：中考第一輪復習⑵方程（組）與不等式（組）.重點、難點掃描：一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程的定義、方程的解的概念;一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程的解法；一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程的簡單應用；可化為一元一次方程的分式方程及簡單應用；不等式的性質(zhì)；一元一次不等式（組）的概念；一元一次不等式（組）的解集的概念；一元一次不等式（組）的解法與應用。三.知識梳理：（一）一元一次方程.會對方程進行適當?shù)淖冃谓庖辉淮畏匠探夥匠痰幕舅枷刖褪寝D(zhuǎn)化，即對方程進行變形，變形時要注意兩點，一是方程兩邊不能乘（或除以）含有未知數(shù)的整式，否則所得方程與原方程的解可能不同；二是去分母時，不要漏乘沒有分母的項，一元一次方程是學習二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式及函數(shù)問題的基本內(nèi)容。.正確理解方程的解的定義，并能應用等式性質(zhì)巧解考題方程的解應理解為，把它代入原方程是適合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使問題得到了轉(zhuǎn)化。.正確列一元一次方程解應用題列方程解應用題，關鍵是尋找題中的等量關系，可采用圖示、列表等方法，根據(jù)近幾年的考試題目分析，要多關注社會熱點，密切聯(lián)系實際，多收集和處理信息，解應用題時還要注意檢查結(jié)果是否符合實際意義。.可化為一元一次方程的分式方程的應用會根據(jù)具體情景列出分式方程，并會求解，注意驗根這一步不可少。（二）一元二次方程.靈活運用四種解法解一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（aW0）四種解法：直接開平方法，因式分解法，配方法，公式法。b土飛b2—4ac公式法:(b2—4acN0)公式法:(b2—4acN0)2a注意：掌握一元二次方程求根公式的推導；主要數(shù)學方法有：配方法，換元法，“消元”與“降次”。.一元二次方程的應用解應用題的關鍵是把握題意，找準等量關系，列出方程。最后還要注意求出的未知數(shù)用心愛心專心的值，是否符合實際意義。（三）二元一次方程（組）.二元一次方程（組）及解的應用注意：方程（組）的解適合于方程，任何一個二元一次方程都有無數(shù)個解，有時考查其整數(shù)解的情況，還經(jīng)常應用方程組的概念巧求代數(shù)式的值。.解二元一次方程組解方程組的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加減消元，轉(zhuǎn)化思想和整體思想也是本章考查重點。.二元一次方程組的應用列二元一次方程組的關鍵是能正確分析出題目中的等量關系，題目內(nèi)容往往與生活實際相貼近，與社會關系的熱點問題相聯(lián)系，請平時注意搜集、觀察與分析。（四）一元一次不等式（組）.判斷不等式是否成立判斷不等式是否成立，關鍵是分析判定不等號的變化，變化的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，特別注意的是，不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，要改變不等號方向；反之，若不等式的不等號方向發(fā)生改變，則說明不等式兩邊同乘以（或除以）一個負數(shù)。因此，在判斷不等式成立與否或由不等式變形求某些字母的范圍時，要認真觀察不等式的形式與不等號方向。.解一元一次不等式（組）解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟大致相同，應注意的是：不等式兩邊所乘以（或除以）的數(shù)的正負，并根據(jù)不同情況靈活運用其性質(zhì)。不等式組解集的確定方法：[x>a fx<a fx>a fx<a若a<b,則有：（1）， 7；（2）， 7;（3）， 7；（4）， 。[x>b [x<b [x<b [x>b說明：一元一次不等式（組）常與分式、根式、一元二次方程、函數(shù)等知識相聯(lián)系，解決綜合性問題。.求不等式（組）的特殊解不等式（組）的解往往是有無數(shù)多個，但其特殊解在某些范圍內(nèi)是有限的，如整數(shù)解、非負整數(shù)解，要求這些特殊解，首先是確定不等式（組）的解集，然后再找到相應的答案。在這類題目中，要注意對數(shù)形結(jié)合思想的應用。.確定不等式（組）中字母的取值范圍已知不等式（組）的解集，確定不等式（組）中字母的取值范圍，有以下幾種方法：⑴逆用不等式（組）解集；⑵分類討論確定；⑶從反面求解確定；⑷借助數(shù)軸確定。.列不等式（組）解應用題⑴從題意出發(fā)，設好未知數(shù)之后，用心體察題目的實際情境，分析題目中的不等關系，還要結(jié)合實際情況檢驗不等式（組）的解，考查的熱點是與實際生活密切相聯(lián)的不等式（組）應用題。⑵注意滲透函數(shù)思想，解決一些實際問題。⑶注意弄清楚“超過”、“不超過”“至少”、“最多”、“不大于”、“不少于”等術語與不等號“>”、“<、"W”、 “三”之間的關系?！镜湫屠}】用心愛心專心

TOC\o"1-5"\h\z例1.若關于X的一元一次方程2x3.上迎=1的解是X=-1，則k的值是（ ）\o"CurrentDocument"3 2A.2 B.1 C.—13 D.07 11解析：根據(jù)方程的解的意義，將x=-1代入原方程，得到一個關于k的一元一次方程，解之，從而求得k的值為1，故選B。例2.請你編制一個有V—:這個解且未知數(shù)系數(shù)不是1的二元一次方程 。:解析：這是一道條件開放題型，將1和2先寫成一個等式，再根據(jù)等式性質(zhì)，在方程兩邊分別乘除或加減一些數(shù)，一步一步地變形，即可找到滿足條件的二元一次方程。如：2x—3y=—4。例3.已知方程組m>-43例3.已知方程組m>-43y—2x-m,

2y+3x=m+1、4m，—3的解x、y滿足2x+y，0,則m的取值范圍是（ ）m，14―-WmW1解析：此題是通過解關于x、y的二元一次方程組，分別用含m的代數(shù)式表示x、y,再將其代入不等式，得到關于m的一元一次不等式，解這不等式從而得到的取值范圍。本題選A。x+13-x > ,例4.解不等式組彳5 54（x+4）<3（x+6）解析：解方程組或不等式組是歷年中考題中的?？碱}型，解方程組主要是轉(zhuǎn)化思想的運用，解不等式組主要是數(shù)形結(jié)合思想的運用。本題答案是1<x<2o例5.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其規(guī)則為a*b=a2—b2,根據(jù)這個規(guī)則，方程（x+2）*5=0的解為。解析：與一元二次方程有關的內(nèi)容的考題，近些年來在實驗區(qū)中考中有所減少。基本不見了根的判別式以及根與系數(shù)的關系的題型，本題是通過定義新運算綜合了一元二次方程的解法。通過因式分解法或者直接開平方法可得解為：x1=3,x2=—7。-2—x1例6.解分式方程：--+--=1。x一33一x解析：解分式方程的關鍵是轉(zhuǎn)化思想的運用，即化分式方程為整式方程，另外，檢驗是解分式方程必不可少的一步，解法如下：2一x1c+c=1x一33一x2—x—1=x—3,—2x=—4/.x=2檢驗：把x=2代入原方程得：左邊=1=右邊??.x=2是原方程的根。用心愛心專心

例7.某城市2003年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2005年底增加到363公頃。設綠化面積平均每年的增長率為x,由題意，所列方程正確的是( )A.300(1+x)=363 B.300(1+x)2=363C.300(1+2x)=363 D.300(1—x)2=363解析：解一元二次方程在中考中一般不出現(xiàn)，但考查用解一元二次方程的思想方法解決實際問題的卻很多。此題就是如此，增長率問題以及商品的定價問題是?？碱}型。此題選B。例8.近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲。請你根據(jù)下面的信息，幫小明計算今年5月份汽油的價格。解析：列可化為一元二次方程的分式方程解情景應用問題也是中考常考題目。解題關鍵是根據(jù)情景或?qū)υ拑?nèi)容，正確地列出代表題意的分式方程，并注意解題過程中的檢驗，不可忽略。本題若設今年5月份汽油價格為x元/升，則去年5月份的汽油價格為(x—1.8)元「一、，150 150/升。根據(jù)題意，得—————二18.75。整理，得x2—l.8x—14.4=0,解這個方x-1.8 x程，得x1=4.8,x2=—3。經(jīng)檢驗兩根都為原方程的根，但x2=—3不符合實際意義，故舍去。答：今年5月份的汽油價格為4.8元/升。例9.將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分不到8個蘋果。求這一箱蘋果的個數(shù)與小朋友的人數(shù)。解析：設有x個小朋友，y個蘋果。根據(jù)“每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果”易知，y=5x+12；由“每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分不到8個蘋果”可知，8(x-1)<y<8(x—1)+8。Iy=5x+12 ①故由題意，得18（x-1）<y<8（x-1）+8 ②把①代入②，并轉(zhuǎn)化成不等式組5x+12<8（x-1）+8 20把①代入②，并轉(zhuǎn)化成不等式組5x+12<8（x-1）+8 20解這個不等式組，得4<x<一。3:x為正整數(shù)x=5或6。當x=5時，5x+12=37人；當x=6時，5x+12=42人。答：當小朋友有5人時，這一箱蘋果有37個；小朋友有6人時，這一箱蘋果有42個。例10.為了加強學生的交通安全意識，某中學和交警大隊聯(lián)合舉行了“我當一日小交警”活動，星期天選派部分學生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維護交通秩序。若每一個路口安用心愛心專心

排4人，那么還剩下78人；若每個路口安排8人，那么最后一個路口不足8人，但不少于4人。求這個中學共選派值勤學生多少人？共到多少個交通路口安排值勤？解析：設這個學校選派值勤學生x人，共到y(tǒng)個交通路口值勤。根據(jù)條件“每一個路口安排4人，那么還剩下78人”可知x-4y=78；再由“若每個路口安排8人，那么最后一個路口不足8人，但不少于4人”易知4<x-8(y-1)<8。故由題意，x-4y=78故由題意，4<x-8(y-1)<8將①代入②，得4<78+4y-8(y-1)<8，解得，19.5<y<20.5,根據(jù)實際意義y應為整數(shù)，所以y=20,此時x=158。答：學校派出的是158名學生，分到了20個交通路口安排值勤。例11.根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標價各是多少元?一盒餅干的標價可是整數(shù)元哦！阿姨，我買一盒餅干和一袋牛奶(遞上例11.根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標價各是多少元?一盒餅干的標價可是整數(shù)元哦！阿姨，我買一盒餅干和一袋牛奶(遞上10元錢)小朋友，本來你用10元錢買一盒餅干是夠的，但要再買一袋牛奶就不夠了!今天是兒童節(jié)，我給你買的餅干打9折,兩樣東西請拿好！還有找你的8角錢.根據(jù)對話的內(nèi)容,試求出餅干和牛奶的標價各是多少元？解析：設一盒餅干的標價為x元，一袋牛奶的標價為y元。根據(jù)“小朋友，本來你用10元錢買一盒餅干是夠的，但要再買一袋牛奶就不夠了！”這句話知x<10且x+y>10；再由“今天是兒童節(jié)，我給你買的餅干打9折，兩樣東西請拿好！還有找你的8角錢?！边@句話可知，0.9x+y=10-0.8。TOC\o"1-5"\h\zx+y〉10 ①\o"CurrentDocument"故由題意，得,9x+y=10-0.8 ②\o"CurrentDocument"x<10 ③由②得y=9.2-0.9x ④，把④代入①，得x+9.2-0.9x>10解得，x>8，再由③得8Vx<10。???一盒餅干的標價是整數(shù)元，.??x=9。將x=9代入④，得y=9.2-0.9義9=1.1。答：一盒餅干的標價為9元，一袋牛奶的標價為1.1元。例12.一商場計劃到計算器生產(chǎn)廠家購進一批A、B兩種型號的計算器。經(jīng)過商談，A型計算器單價為50元，100只起售，超過100只的部分，每只優(yōu)惠20%；B型計算器單價為22元，150只起售，超過150只的部分，每只優(yōu)惠2元。如果商家計劃購進計算器的總量既不少于700只，又不多于800只，且分別用于購買A、B這兩種型號的計算器的金額相等，那么該商場至少需要準備多少資金？解析：設購買A型計算器x只，購買B型計算器y只。由于商家計劃購進計算器的總量既不少于700只，又不多于800只，所以700<x+y<800。根據(jù)“A型計算器單價為50元，100只起售，超過100只的部分，每只優(yōu)惠20%”知，購買x只A型計算器需要資金用心愛心專心

100x50+(%-100)x50x(1-20%)；再由“B型計算器單價為22元，150只起售，超過150只的部分，每只優(yōu)惠2元”可知，購買y只B型計算器需要資金150x22+(y-150)x50x(22-20)。由于購買A、B這兩種型號的計算器的金額相等，所以100x50+(%-100)x50x(1-20%)=150x22+(y-150)x50x(22-20)。故由題意，得J700<%+y<8001100x50+(%-100)x50x(1-20%)=150x22+(y-150)x50x(22-20)1700<%+y<800 ①整理,得[y=2%+35 ②把②代入①得，700<%+(2%+35)<800，解得635<%<255。設該商場所需資金為P元，則P=2[100+50+(%-100)x50x(1—20%)]=80%+2000。因為%為整數(shù)，且P隨%的增大而增大，所以當%=222時，P的最小值為19760元。答：該商場至少需要準備資金19760元?！灸M試題】(答題時間：50分鐘)、選擇題(每小題3分共30分)1、已知%=-2是方程2%+m-4=0的一個根，則m的值為【】8一808一80D.x—3 .2、不等式-1<亍<5的最大的整數(shù)解為【A.113、元一次方程組[%=1a，IyA.113、元一次方程組[%=1a，Iy=6B.12[2%+y=21-%+y=5[%=31y=2C.13[%=-3Iy=-2D.D.4、關于%的方程3+k(%-2)-4%=k(%+3)的解是負數(shù)，14%=-1[y=4則上的取值范圍是【】A.k>-B.k<—C.k>-—D.k<-—55 554c-Tc -5、已知3是關于%的方程3%2-2a+1=0的一個根，則2a的值是【】A.11 B.A.11 B.12C.13D.146、如果a、b、c是一個直角三角形的三邊(。是斜邊)，那么關于%的方程(a+c)%2-2b%+(c-a)=0的解的情況是【】A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.以上情況都有可能13%+y=k+17、已知%、y是方程組1 的解，那么當2<k<4時，%-y值的范圍是【 】%+3y=31A.0<x-y<g B.1<x-y<2用心愛心專心

一1一1<x—y<10<x―y<18、如果m、n、是關于方程x2一2007x一2008=0的兩個不相等的根，那么m+n的值是【】A.2005 B.2006 C.2007 D.20089、分式方程(工)2--i――2=0的解為【 】x一1x一1? o 3一1，2B.1，一2C.0，3 D.0，-210、已知實數(shù)x、A.2y滿足(x2+j2)(x2+j2-1)=2，那么x2+10、已知實數(shù)x、A.2一1 C.2或一1D.一2或1二、填空題(每小題2分共20分)1、a與b的和比-1大，用不等式表示為。[x=2 1ax+by=3 a+b2、如果1 1是方程組< 八的解，則一的值為 。[y=1 [bx+ay=0 a-b{x<m+1c I無解，那么m的取值范圍是 。x>2m一14、如果解方程x2-3x+m=0有一個根為2,則另一個根為，m=。5、如果設x2-1=y，那么方程(x2-1)2-2x2-1=0可以轉(zhuǎn)化為關于y的一元二次方程是。c 1-3x 26、當x的取值在條件下，代數(shù)式2x-三一的值總是比代數(shù)式x+3的值大。7、如果方程(k2-2)x2-2(k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 O8、如果關于x的方程5x+4=16k-x的解在2和10之間，那么k可以取的整數(shù)為 O9、已知不等式5[x-3(x-1)]<15的最小整數(shù)解，同時也是方程3(a+x)-5x=a-3的解，那么a的值是o三、解答題(共24分)1、(8分)解下列方程(組)與不等式(組)的解：TOC\o"1-5"\h\z13/ 2①一x一一二—(x+2)+—x;32 3'「x+3y=11②b 1；[2x-y=1③x2-6x+7=0；…「5x+6>4x④《 O[15-9x>10-4x2、(16分)解答下列各題：①已知(a+2b—5)2+|a一b+1|=0，求以a、b為根的一元二次方程。_10k……②已知x=3是方程--+—二1的一個根，求k的值和方程其余的根。x+2x用心愛心專心

TOC\o"1-5"\h\z2kx+ax一bk ,③已知在關于x的一元一次方程一---——=2中，不論k取任何值，它的解總3 6是x=1,求a、b的值。fkx-2y=3 限〉0④k取怎樣的最小整數(shù)時，能使方程組9 //的解滿足〈一八？[3x+ky=4 [y<0四、應用題（共26分）1、（6分）改革開放使得山鄉(xiāng)發(fā)生了巨大變化。某村富裕起來的農(nóng)民自發(fā)組織到外地參加文化旅游活動，于是包租一輛租價為180元的面包車。在臨近出發(fā)時又有兩位要求參加，因此每個人分攤的車費比原來少1元。問該村共有多少人參加這次活動？2、（6分）由于技術革新，我國鐵路多次進行了比較大的提速。某鐵路局的K120次空調(diào)快速列車的平均速度，在一次提速后比提速前的速度增加了44千米/時，提速前的列車時刻表如下表所示:行駛區(qū)間車次起始時刻到站時刻歷時全程里程A地一B地K1202：006：004小時264千米請你根據(jù)題目提供的信息填寫提速后的列車時刻表，并寫出計算過程。行駛區(qū)間車次起始時刻到站時刻歷時全程里程A地一B地K1202：00264千米3、（7分）某校九年級（1）班的學生不久就要畢業(yè)了，班委商量利用原來勤工儉學節(jié)余的66元錢為同學們購買紀念品。根據(jù)學生在畢業(yè)聯(lián)歡會上的表現(xiàn)分出A、B、C三種紀念品，其單價分別為3元、2元、1元。要求購買的B種紀念品比A種多2件，而購買的A種紀念品不少于10件，并且購買的A種紀念品費用不超過總費用的一半。如果班委派你去購買并且把錢正好用完，你有幾種購買方案？每種方案A、B、C三種紀念品各購買多少件？4、（7分）某市某區(qū)為改善居民的住房條件，每年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加（人均住房面積=加（人均住房面積=該區(qū)住房總面積

該區(qū)人口總數(shù)，單位：m2/人），該區(qū)2003年到2005年，年年底人口總數(shù)和人均住房面積的統(tǒng)計結(jié)果分別如圖所示。請根據(jù)圖中所提供的信息，解答下列問題：①該區(qū)2004年和2005年兩年中，哪一年比上一年增加的住房面積多？多增加多少萬m2？②由于經(jīng)濟發(fā)展需要，預計到2007年底，該區(qū)人口將比2005年底增加2萬，為使2007年底該區(qū)人均住房面積達到11m2/人，試求2006年和2007年這兩年該區(qū)人均住房面積的年平均增長率應達到百分之幾？用心愛心專心

試題答案一、選擇題:1、A6試題答案一、選擇題:1、A6、B2、B7、D3、D8、C4、A9、D5、C10、A、填空題：1、a+b>-12、3、m>21,m—21,m—2y2-2y-3—01x>—23k>-且kw±%：228、2,39、三、解答題：TOC\o"1-5"\h\z「x—2 -1、①x—-2，②< ，③x―3±*2，④-6<x<1Iy―3 1，2「a+2b-5―0 1a—12、①由題意，得|a-b+1-0，解得|b-2a、b為根的一元二次方程為②解：把x―3代入得k—-3，另一根為x―2。一. a1 - 13③解：???方程的解總是x―1,?,.令k―0及x―1代入得。-r—2，即a