彈性力學(xué)一點應(yīng)力狀態(tài)

彈性力學(xué)補(bǔ)充內(nèi)容一§1-1彈性力學(xué)中的幾個根本概念§1-2彈性力學(xué)中的根本假定第一頁，共26頁。研究內(nèi)容:彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。

任務(wù):解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。

研究方法僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。第二頁，共26頁。§1-1彈性力學(xué)中的幾個根本概念根本概念：外力、應(yīng)力、形變、位移。1.外力體力、面力〔材力：集中力、分布力?！?1)體力——彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力——體力分布集度〔矢量〕xyzOX、Y、Z為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影單位：N/m3kN/m3說明：(1)F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的

(如：重力，磁場力、慣性力等)(3)X、Y、Z的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。第三頁，共26頁。(2)面力——作用于物體外表上的外力——面力分布集度〔矢量〕xyzO——面力矢量在坐標(biāo)軸上投影單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說明：(1)F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的;(3)的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。第四頁，共26頁。2.應(yīng)力(1)一點應(yīng)力的概念ΔAΔQ內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的互相作用力;(2)由于外力作用引起的互相作用力.(不考慮)P(1)P點的內(nèi)力面分布集度(2)應(yīng)力矢量.----P點的應(yīng)力的極限方向由外力引起的在P點的某一面上內(nèi)力分布集度應(yīng)力分量n(法線)應(yīng)力的法向分量——正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量——剪應(yīng)力單位:與面力一樣MPa(兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布的第五頁，共26頁。(2)一點的應(yīng)力狀態(tài)通過一點P的各個面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：第六頁，共26頁。用矩陣表示：其中，只有6個量獨立。剪應(yīng)力互等定理應(yīng)力符號的意義：第1個下標(biāo)x

表示τ所在面的垂線線方向；第2個下標(biāo)y

表示τ的方向.應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力——坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時為正。xyzO第七頁，共26頁。與材力中剪應(yīng)力τ正負(fù)號規(guī)定的區(qū)別：xy規(guī)定使得單元體順時針的剪應(yīng)力τ為正，反之為負(fù)。在用應(yīng)力莫爾圓時必須此規(guī)定求解問題xyzO第八頁，共26頁。3.形變形變——物體的形狀改變xyzO〔1〕線段長度的改變〔2〕兩線段間夾角的改變。PBCA——用線〔正〕應(yīng)變ε度量——用剪應(yīng)變γ度量〔剪應(yīng)變——兩垂直線段夾角〔直角〕的改變量〕三個方向的線應(yīng)變：三個平面內(nèi)的剪應(yīng)變：(1)一點形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變：伸長時為正，縮短時為負(fù)；剪應(yīng)變：以直角變小時為正，變大時為負(fù)；第九頁，共26頁。(2)一點應(yīng)變狀態(tài)——代表一點P的鄰域內(nèi)線段與線段間夾角的改變xyzOPBCA其中應(yīng)變無量綱；4.位移注：一點的位移——矢量S應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)，即xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量綱：m或mm第十頁，共26頁。彈性力學(xué)問題：外力、物體的形狀和大小〔邊界〕、材料特性〔E、μ〕、約束條件等，求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量。需建立三個方面的關(guān)系：〔1〕靜力學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系(平衡)；〔2〕幾何學(xué)關(guān)系：形變與位移間的關(guān)系；〔3〕物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。第十一頁，共26頁?！?-2彈性力學(xué)中的根本假定1.連續(xù)性假定整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。第十二頁，共26頁。2.線彈性假定假定物體完全服從虎克〔Hooke〕定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線性比例關(guān)系〔正負(fù)號變化也一樣〕。比例常數(shù)——彈性常數(shù)〔E、μ〕脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線彈性的。3.均勻性假定作用：可使求解方程線性化假定整個物體是由同一種材料組成的，各部分材料性質(zhì)一樣。作用：彈性常數(shù)〔E、μ〕——不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個物體。第十三頁，共26頁。4.各向同性假定假定物體內(nèi)一點的彈性性質(zhì)在所有各個方向都一樣。作用：彈性常數(shù)〔E、μ〕——不隨坐標(biāo)方向而變化；金屬——上述假定符合較好；木材、巖石——上述假定不符合，稱為各向異性材料；符合上述4個假定的物體，稱為理想彈性體。5.小變形假定

假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來的尺寸。作用：建立方程時，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。使求解的方程線性化。第十四頁，共26頁。§1-3平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題1.平面應(yīng)力問題(1)幾何特征xyyztba一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多?！桨迦纾喊迨降蹉^，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力〔體力、面力〕和約束，僅平行于板面作用，沿z方向不變化。第十五頁，共26頁。xyyztba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy

平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個薄板的各點都有：由剪應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。第十六頁，共26頁。2.平面應(yīng)變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認(rèn)為無限長(2)外力特征外力〔體力、面力〕平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向為無限長，那么沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面第十七頁，共26頁。水壩因為任一橫截面均可視為對稱面，那么有所有各點的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移問題——平面應(yīng)變問題注：(1)平面應(yīng)變問題中但是，(2)平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：——僅為xy的函數(shù)。可近似為平面應(yīng)變問題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。第十八頁，共26頁?！?-4斜面上的應(yīng)力主應(yīng)力1.斜面上的應(yīng)力〔1〕斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN設(shè)P點的應(yīng)力分量：斜面AB上的應(yīng)力矢量:s斜面外法線N的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦：

由微元體平衡：

整理得：

〔2-3〕整理得：

〔2-4〕外法線

第十九頁，共26頁。xyOdxdydsPABsXNYNN〔2〕斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力〔2-3〕〔2-4〕將式〔2-3〕〔2-4〕代入，并整理得：〔2-5〕〔2-6〕說明：〔1〕運用了剪應(yīng)力互等定理：（2）的正負(fù)號規(guī)定：將N轉(zhuǎn)動90°而到達(dá)的方向是順時針的，則該為正；反之為負(fù)?！我庑苯孛嫔蠎?yīng)力計算公式〔3〕假設(shè)AB面為物體的邊界S，那么〔2-18〕——平面問題的應(yīng)力邊界條件第二十頁，共26頁。2.一點的主應(yīng)力與應(yīng)力主向xyOdxdydsPABsXNYNN〔1〕主應(yīng)力若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點一個主應(yīng)力；當(dāng)時，有求解得：〔2-7〕——平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的計算公式第二十一頁，共26頁。主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；由式〔2-7〕易得：——平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力第一不變量〔2〕應(yīng)力主向設(shè)σ1與x軸的夾角為α1，σ1與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l1、m1，那么設(shè)σ2與x軸的夾角為α2，σ2與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l2、m2，那么第二十二頁，共26頁。應(yīng)力主向的計算公式：〔2-8〕由得顯然有說明：σ1與σ2互相垂直。結(jié)論任一點P，一定存在兩

互相垂直的主應(yīng)力σ1、σ2?！?〕σN的主應(yīng)力表示xyOsdxdydsPABN由σ1與σ2分別為最大和最小應(yīng)力。第二十三頁，共26頁?！?〕最大、最小剪應(yīng)力由顯然，當(dāng)時，τN為最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向與σ1〔σ2