彈性力學(xué)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)

彈性力學(xué)補(bǔ)充內(nèi)容一§1-1彈性力學(xué)中的幾個(gè)根本概念§1-2彈性力學(xué)中的根本假定第一頁(yè)，共26頁(yè)。研究?jī)?nèi)容:彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。

任務(wù):解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問(wèn)題。

研究方法僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。第二頁(yè)，共26頁(yè)?！?-1彈性力學(xué)中的幾個(gè)根本概念根本概念：外力、應(yīng)力、形變、位移。1.外力體力、面力〔材力：集中力、分布力?！?1)體力——彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力——體力分布集度〔矢量〕xyzOX、Y、Z為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影單位：N/m3kN/m3說(shuō)明：(1)F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的

(如：重力，磁場(chǎng)力、慣性力等)(3)X、Y、Z的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。第三頁(yè)，共26頁(yè)。(2)面力——作用于物體外表上的外力——面力分布集度〔矢量〕xyzO——面力矢量在坐標(biāo)軸上投影單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說(shuō)明：(1)F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的;(3)的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。第四頁(yè)，共26頁(yè)。2.應(yīng)力(1)一點(diǎn)應(yīng)力的概念ΔAΔQ內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的互相作用力;(2)由于外力作用引起的互相作用力.(不考慮)P(1)P點(diǎn)的內(nèi)力面分布集度(2)應(yīng)力矢量.----P點(diǎn)的應(yīng)力的極限方向由外力引起的在P點(diǎn)的某一面上內(nèi)力分布集度應(yīng)力分量n(法線(xiàn))應(yīng)力的法向分量——正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量——剪應(yīng)力單位:與面力一樣MPa(兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布的第五頁(yè)，共26頁(yè)。(2)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過(guò)一點(diǎn)P的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合——稱(chēng)為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：第六頁(yè)，共26頁(yè)。用矩陣表示：其中，只有6個(gè)量獨(dú)立。剪應(yīng)力互等定理應(yīng)力符號(hào)的意義：第1個(gè)下標(biāo)x

表示τ所在面的垂線(xiàn)線(xiàn)方向；第2個(gè)下標(biāo)y

表示τ的方向.應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力——坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。xyzO第七頁(yè)，共26頁(yè)。與材力中剪應(yīng)力τ正負(fù)號(hào)規(guī)定的區(qū)別：xy規(guī)定使得單元體順時(shí)針的剪應(yīng)力τ為正，反之為負(fù)。在用應(yīng)力莫爾圓時(shí)必須此規(guī)定求解問(wèn)題xyzO第八頁(yè)，共26頁(yè)。3.形變形變——物體的形狀改變xyzO〔1〕線(xiàn)段長(zhǎng)度的改變〔2〕兩線(xiàn)段間夾角的改變。PBCA——用線(xiàn)〔正〕應(yīng)變?chǔ)哦攘俊眉魬?yīng)變?chǔ)枚攘俊布魬?yīng)變——兩垂直線(xiàn)段夾角〔直角〕的改變量〕三個(gè)方向的線(xiàn)應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的剪應(yīng)變：(1)一點(diǎn)形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：線(xiàn)應(yīng)變：伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；剪應(yīng)變：以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；第九頁(yè)，共26頁(yè)。(2)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)——代表一點(diǎn)P的鄰域內(nèi)線(xiàn)段與線(xiàn)段間夾角的改變xyzOPBCA其中應(yīng)變無(wú)量綱；4.位移注：一點(diǎn)的位移——矢量S應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)，即xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量綱：m或mm第十頁(yè)，共26頁(yè)。彈性力學(xué)問(wèn)題：外力、物體的形狀和大小〔邊界〕、材料特性〔E、μ〕、約束條件等，求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量。需建立三個(gè)方面的關(guān)系：〔1〕靜力學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系(平衡)；〔2〕幾何學(xué)關(guān)系：形變與位移間的關(guān)系；〔3〕物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。第十一頁(yè)，共26頁(yè)。§1-2彈性力學(xué)中的根本假定1.連續(xù)性假定整個(gè)物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿(mǎn)，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。第十二頁(yè)，共26頁(yè)。2.線(xiàn)彈性假定假定物體完全服從虎克〔Hooke〕定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線(xiàn)性比例關(guān)系〔正負(fù)號(hào)變化也一樣〕。比例常數(shù)——彈性常數(shù)〔E、μ〕脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線(xiàn)彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線(xiàn)彈性的。3.均勻性假定作用：可使求解方程線(xiàn)性化假定整個(gè)物體是由同一種材料組成的，各部分材料性質(zhì)一樣。作用：彈性常數(shù)〔E、μ〕——不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個(gè)物體。第十三頁(yè)，共26頁(yè)。4.各向同性假定假定物體內(nèi)一點(diǎn)的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都一樣。作用：彈性常數(shù)〔E、μ〕——不隨坐標(biāo)方向而變化；金屬——上述假定符合較好；木材、巖石——上述假定不符合，稱(chēng)為各向異性材料；符合上述4個(gè)假定的物體，稱(chēng)為理想彈性體。5.小變形假定

假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點(diǎn)位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來(lái)的尺寸。作用：建立方程時(shí)，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。使求解的方程線(xiàn)性化。第十四頁(yè)，共26頁(yè)?！?-3平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題1.平面應(yīng)力問(wèn)題(1)幾何特征xyyztba一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多?！桨迦纾喊迨降蹉^，旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力〔體力、面力〕和約束，僅平行于板面作用，沿z方向不變化。第十五頁(yè)，共26頁(yè)。xyyztba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy

平面，垂直于中面的任一直線(xiàn)為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：由剪應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問(wèn)題只有三個(gè)應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)。第十六頁(yè)，共26頁(yè)。2.平面應(yīng)變問(wèn)題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)(2)外力特征外力〔體力、面力〕平行于橫截面作用，且沿長(zhǎng)度z方向不變化。

約束——沿長(zhǎng)度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線(xiàn)為z軸。設(shè)z方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，那么沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對(duì)稱(chēng)面第十七頁(yè)，共26頁(yè)。水壩因?yàn)槿我粰M截面均可視為對(duì)稱(chēng)面，那么有所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于xy平面?！矫嫖灰茊?wèn)題——平面應(yīng)變問(wèn)題注：(1)平面應(yīng)變問(wèn)題中但是，(2)平面應(yīng)變問(wèn)題中應(yīng)力分量：——僅為xy的函數(shù)?？山茷槠矫鎽?yīng)變問(wèn)題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。第十八頁(yè)，共26頁(yè)?！?-4斜面上的應(yīng)力主應(yīng)力1.斜面上的應(yīng)力〔1〕斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN設(shè)P點(diǎn)的應(yīng)力分量：斜面AB上的應(yīng)力矢量:s斜面外法線(xiàn)N的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦：

由微元體平衡：

整理得：

〔2-3〕整理得：

〔2-4〕外法線(xiàn)

第十九頁(yè)，共26頁(yè)。xyOdxdydsPABsXNYNN〔2〕斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力〔2-3〕〔2-4〕將式〔2-3〕〔2-4〕代入，并整理得：〔2-5〕〔2-6〕說(shuō)明：〔1〕運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理：（2）的正負(fù)號(hào)規(guī)定：將N轉(zhuǎn)動(dòng)90°而到達(dá)的方向是順時(shí)針的，則該為正；反之為負(fù)?！我庑苯孛嫔蠎?yīng)力計(jì)算公式〔3〕假設(shè)AB面為物體的邊界S，那么〔2-18〕——平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件第二十頁(yè)，共26頁(yè)。2.一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向xyOdxdydsPABsXNYNN〔1〕主應(yīng)力若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱(chēng)為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力；當(dāng)時(shí)，有求解得：〔2-7〕——平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的計(jì)算公式第二十一頁(yè)，共26頁(yè)。主應(yīng)力所在的平面——稱(chēng)為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線(xiàn)方向——稱(chēng)為應(yīng)力主向；由式〔2-7〕易得：——平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力第一不變量〔2〕應(yīng)力主向設(shè)σ1與x軸的夾角為α1，σ1與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l1、m1，那么設(shè)σ2與x軸的夾角為α2，σ2與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l2、m2，那么第二十二頁(yè)，共26頁(yè)。應(yīng)力主向的計(jì)算公式：〔2-8〕由得顯然有說(shuō)明：σ1與σ2互相垂直。結(jié)論任一點(diǎn)P，一定存在兩

互相垂直的主應(yīng)力σ1、σ2?！?〕σN的主應(yīng)力表示xyOsdxdydsPABN由σ1與σ2分別為最大和最小應(yīng)力。第二十三頁(yè)，共26頁(yè)?！?〕最大、最小剪應(yīng)力由顯然，當(dāng)時(shí)，τN為最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向與σ1〔σ2