10.2事件的相互獨(dú)立性課件-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

10.2

事件的相互獨(dú)立性

我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時(shí)發(fā)生.因此，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A、B發(fā)生的概率有關(guān).那么，這種關(guān)系會(huì)是怎樣的呢?下面我們來討論一類與積事件有關(guān)的特殊問題.復(fù)習(xí)引入事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對(duì)立A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A與B至少一個(gè)發(fā)生A與B同時(shí)發(fā)生A與B不能同時(shí)發(fā)生A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A?BAUB或A+BA∩B或ABA∩B=ΦA(chǔ)∩B=Φ,AUB=ΩP(A)≤P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)P(AB)=P(A)P(B)P(A)+P(B)=1？

前面我們研究過互斥事件、對(duì)立事件的概率性質(zhì),還研究過和事件的概率計(jì)算方法.對(duì)于積事件的概率，你能提出什么值得研究的問題嗎?P(A+B)=P(A)+P(B)

下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)各定義了一對(duì)隨機(jī)事件A和B，你覺得事件A發(fā)生與否會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎?

試驗(yàn)1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1、2、3、4的4個(gè)球,除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”.

對(duì)于試驗(yàn)1，因?yàn)閮擅队矌欧謩e拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率.對(duì)于試驗(yàn)2，因?yàn)槭怯蟹呕孛?，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.探究新知

在試驗(yàn)1中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.由古典概型概率計(jì)算公式，得Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4個(gè)等可能的樣本點(diǎn).思考1.試驗(yàn)1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

分別計(jì)算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)?而A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，所以AB={(1,0)}.P(A)=P(B)=P(AB)=于是有P(AB)=P(A)P(B).

在試驗(yàn)2中，樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16個(gè)等可能的樣本點(diǎn).而思考2：試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1、2、3、4的4個(gè)球,除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”.分別計(jì)算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)?A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，積事件AB的概率P(AB)也等于P(A)與P(B)的乘積.所以P(A)=P(B)=P(AB)=于是也有P(AB)=P(A)P(B).

通俗地說，對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨(dú)立事件．

根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，必然事件一定發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響；同樣，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響，當(dāng)然，他們也不影響其他事件的發(fā)生．由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件?與任意事件A相互獨(dú)立．

若事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)．相互獨(dú)立事件的定義：探究：必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨(dú)立嗎？

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.性質(zhì)1.必然事件Ω、不可能事件?與任意事件A相互獨(dú)立．探究：互為對(duì)立的兩個(gè)事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件是否也相互獨(dú)立?以有放回摸球試驗(yàn)為例,驗(yàn)證A與,與B,與是否獨(dú)立,你有什么發(fā)現(xiàn)?

我們就先以試驗(yàn)2來驗(yàn)證：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1、2、3、4的4個(gè)球,除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”.12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)n(B)=8，n()=8，n()=4，n()=4，n()=4，所以P(A)=P(A)P()=P()P(B)=P(B)=易得，n(Ω)=16，n(A)=8，n()=8，P()P()=P()=因此A與，與B，與是獨(dú)立的.第二次第一次對(duì)于A與，因?yàn)锳=AB∪A，而且AB與A互斥，所以P(A)=P(AB∪A)=P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+P(A)P(A)=P(A)-P(A)P(B)=所以P(A)(1-P(B))=P(A)P()由事件的獨(dú)立性定義，A與相互獨(dú)立.注意：我們知道，如果三個(gè)事件A、B、C兩兩互斥，

那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當(dāng)三個(gè)事件A、B、C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.類似地，可以證明事件與B，與也都相互獨(dú)立.我們?cè)儆美碚搧眚?yàn)證：性質(zhì)2.若事件A與B相互獨(dú)立，則A與,與B,

與

也都相互獨(dú)立.(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.

()(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.

()(3)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互獨(dú)立”的充要條件.

()(4)一枚硬幣擲兩次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面向下”,則A,B相互獨(dú)立.(

)1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.提示：一枚硬幣擲兩次的樣本點(diǎn)為(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),這時(shí)A={(正,反),(反,正)}，B={(正,正),(正,反),(反,正)}，AB={(正,反),(反,正)}，于是P(A)=

,P(B)=

,P(AB)=

.由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互獨(dú)立.√?√√練習(xí)思考：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？典例分析事件獨(dú)立性的判斷例1.判斷下列各對(duì)事件A與B是不是相互獨(dú)立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件A“從甲組中選出1名男生”與事件B“從乙組中選出1名女生”；(2)擲一枚骰子一次，事件A“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與事件B“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．(3)一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.

事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3"”與事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”.典例分析解:(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．(2)A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝3/6＝1/2，P(B)＝2/6＝1/3，P(AB)＝1/6，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立．典例分析事件獨(dú)立性的判斷例1.判斷下列各對(duì)事件A與B是不是相互獨(dú)立事件：(3)一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.

事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3"”與事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”.典例分析B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，解：(3)因?yàn)闃颖究臻gΩ={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}，A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，此時(shí)P(AB)≠P(A)P(B)AB={(1,2)，(2,1)}.所以P(A)=P(B)=P(AB)=因此，事件A與事件B不獨(dú)立.歸納：事件獨(dú)立性的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：P(AB)=P(A)P(B)?

A與B相互獨(dú)立．

(3)轉(zhuǎn)化法:判斷A與B是否相互獨(dú)立,轉(zhuǎn)化為判斷A與

,

與B,

與

是否具有獨(dú)立性.練習(xí)1.1.有以下三個(gè)問題:①擲一枚骰子一次,事件M=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,事件N=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”;②袋中有除顏色外都相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球,依次不放回地摸出兩個(gè)球,

事件M=“第1次摸到白球”,事件N=“第2次摸到白球”;③分別拋擲2枚相同的硬幣,事件M=“第1枚為正面”,事件N=“兩枚結(jié)果相同”.這三個(gè)問題中,M,N是相互獨(dú)立事件的有(

)A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)C2.【2021年·新高考Ⅰ卷】有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立練習(xí)1.B典例分析求相互獨(dú)立事件的概率歸納：求相互獨(dú)立事件的概率1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．2.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生．

1.[變?cè)O(shè)問]在本例條件不變下，求三人均未被選中的概率．練習(xí)2.練習(xí)2.解：例3.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語的概率.設(shè)A1、A2分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)、2個(gè)成語的事件，B1、B2分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)、2個(gè)成語的事件.根據(jù)獨(dú)立性假定,得P(A1)=P(A2)=P(B1)=P(B2)=P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=設(shè)A=“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語”，則A=A1B2∪A2B1，且A1B2與A2B1互斥，A1與B2、A2與B1分別相互獨(dú)立，所以因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語的概率是.典例分析相互獨(dú)立事件概率的實(shí)際應(yīng)用歸納：求較為復(fù)雜事件的概率的方法已知兩個(gè)事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A+B.2.對(duì)事件分解時(shí),要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”

“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.

(2)A,B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件?

.(3)A,B恰好有一個(gè)發(fā)生為事件.(5)A,B都不發(fā)生為事件?

.?(4)A,B都發(fā)生為事件AB.

(6)A,B不都發(fā)生為事件?

.1.對(duì)事件進(jìn)行分解,一方面分解為互斥的幾類簡(jiǎn)單事件求概率;另一方面分解為獨(dú)立的事件,利用事件同時(shí)發(fā)生(乘法)求出概率.練習(xí)3.課堂小結(jié)P(AB)=P(A)P(B)?

A與B相互獨(dú)立(3)兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響．一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．課本P250習(xí)題10.2第4題，第3題作業(yè)：2.甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能譯出密碼的概率分別為

和,求:(1)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率;