【課件】6.4.3.4余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例-高度、角度問題高一下學(xué)期人教A版2019必修第二冊課件　

第4課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——高度、角度問題

必備知識·自主學(xué)習(xí)常用概念(1)仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角.目標(biāo)視線在水平視線_____時叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線_____時叫俯角,如圖所示.上方下方(2)方位角:從正北方向_______轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.如點(diǎn)B的方位角為α(如圖所示).方位角的取值范圍:___________.(3)本質(zhì):仰角、俯角、方位角等都是在生產(chǎn)、生活中為方便使用而人為定義的.(4)應(yīng)用:仰角、俯角、方向角、方位角等經(jīng)常用于求距離、高度和角度的題目中.順時針0°～360°【思考】方位角的范圍為什么不是0°～180°?提示:方位角的概念表明,“從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角”,顯然方位角的范圍應(yīng)該是0°～360°.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若P在Q的北偏東44°方向,則Q在P的東偏北44°方向. (

)(2)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系,其范圍均是. (

)(3)方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致. (

)××√提示:(1)因?yàn)槿鬚在Q的北偏東44°方向,則Q應(yīng)在P的南偏西44°方向.(2)因?yàn)榉较蚪堑姆秶鸀?°～90°,而方位角的范圍為0°～360°.(3)由方位角與方向角的定義知正確.2.若從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系是 (

)A.α>β B.α+β=90°C.α=β D.α+β=180°【解析】由仰角與俯角的水平線平行可知α=β.C3.(例題改編)已知兩座建筑A,B與規(guī)劃測量點(diǎn)C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東60°,則A在B的 (

)A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°B【解析】如圖,由題意可知△ABC為等腰三角形,∠ACB=80°,所以∠CBA=(180°-80°)=50°,又60°-50°=10°.所以A在B的北偏西10°.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一利用余弦定理、正弦定理求高度問題(數(shù)學(xué)建模)【題組訓(xùn)練】1.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上,DC=10m,從D,C兩地測得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°,則A點(diǎn)離地面的高AB等于 (

)

A.10m B.5mC.5(-1)m D.5(+1)mD2.在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是 (

)A.20m B.20(1+)mC.10(+)m D.20(+)mB3.如圖所示,在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達(dá)S點(diǎn),又測得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為 (

)

A.500m B.200mC.1000m D.1000mD【解析】1.方法一:設(shè)AB=xm,則BC=xm.所以BD=(10+x)m.所以tan∠ADB=解得x=5(+1).所以A點(diǎn)離地面的高AB等于5(+1)m.方法二:因?yàn)椤螦CB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得AC=·sin∠ADC=·sin30°=(m),所以AB=ACsin45°=5(+1)m.2.如圖,由條件知四邊形ABCD為正方形,所以AB=CD=BC=AD=20m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20m,所以EC=CD·tan60°=20(m),所以BE=BC+CE=(20+20)=20(1+)m.3.可得∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,在△ABS中,AB==1000(m),所以BC=AB·sin45°=1000×=1000(m).【解題策略】解決測量高度問題的一般步驟(1)畫圖:根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析三角形:分析與問題有關(guān)的三角形,在高度問題中,經(jīng)常用到直角三角形.(3)求解:運(yùn)用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運(yùn)用平面幾何知識,注意方程思想的運(yùn)用.【變式訓(xùn)練】在200米高的山頂上,測得山下一建筑物頂端與建筑物底端的俯角分別為30°,60°,則該建筑物高為

米.

【解析】如圖,設(shè)AB為山高,D,C分別為建筑物頂端與建筑物底端.在△ABC中,AC=(米).在△ACD中,由正弦定理得CD=(米).答案:

類型二利用余弦定理、正弦定理求角度問題(數(shù)學(xué)建模)【例1】在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(-1)nmile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°的方向,距離A處2nmile的C處的緝私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此時,走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?【思路導(dǎo)引】先畫出示意圖,再利用正弦、余弦定理解三角形.【解析】設(shè)緝私船用t小時在D處追上走私船,畫出示意圖,則有CD=10t,BD=10t,在△ABC中,因?yàn)锳B=-1,AC=2,∠BAC=120°,所以由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2×(-1)×2×cos120°=6,所以BC=,且sin∠ABC=·sin∠BAC=

所以∠ABC=45°,所以BC與正北方向成90°角.所以∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=所以∠BCD=30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.【解題策略】解決測量角度的常用方法與注意點(diǎn)(1)測量角度問題的關(guān)鍵是弄清題意,畫出圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.(2)求角的度數(shù)時,多用余弦定理求角.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在(0,π)上是單調(diào)遞減的,而正弦函數(shù)不單調(diào),一個正弦值可能對應(yīng)兩個角.若角在上時,用正、余弦定理皆可.【跟蹤訓(xùn)練】甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距anmile,乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的倍,問甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能最快追上乙船?相遇時乙船行駛了多少海里?【解析】如圖所示,設(shè)兩船在C處相遇,并設(shè)∠CAB=θ,乙船行駛距離BC為xnmile,則AC=x,由正弦定理得sinθ=而θ<60°,所以θ=30°,所以∠ACB=30°,BC=AB=a.所以甲船應(yīng)沿北偏東30°方向前進(jìn)才能最快追上乙船,兩船相遇時乙船行駛了anmile.類型三余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)角度1余弦定理、正弦定理在立體幾何中的應(yīng)用

【例2】如圖,為了測量河對岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C和D,測得CD=200米,在C點(diǎn)和D點(diǎn)測得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.【思路導(dǎo)引】設(shè)AB=h.表示出BC=h,BD=h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若設(shè)AB=h,則BC=h.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,則BD=h.在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,即2002=h2+(h)2-2·h·h·,所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去),即塔高AB=200米.角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的應(yīng)用

【例3】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)PB,BC的值及∠BPC求出∠PBC的值,再在△ABP中,求出∠PBA,利用余弦定理求出PA的長.(2)根據(jù)∠PBA+∠PAB=30°,用∠PBA表示∠PAB,再利用正弦定理求出tan∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,在△ABP中,由余弦定理得PA2=3+-2×

×cos30°=,所以PA=(負(fù)值舍去).(2)設(shè)∠PBA=α,所以∠PCB=α,PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,

化簡得cosα=4sinα,所以tanα=,即tan∠PBA=.【解題策略】在復(fù)雜圖形中利用正弦定理、余弦定理解題的方法(1)分析復(fù)雜圖形,找準(zhǔn)需要解決的問題所在的三角形,找出該三角形與其他三角形之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題目給出的條件,適當(dāng)選用正弦定理或余弦定理解題.【題組訓(xùn)練】1.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=________m.

【解析】由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.又AB=600m,故由正弦定理得解得BC=300m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=300×=100(m).答案:1002.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,則cosθ=________.

【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800?BC=20.由正弦定理?sin∠ACB=·sin∠BAC=,∠BAC=120°,則∠ACB為銳角,cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,則cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB·cos30°-sin∠ACB·sin30°=.答案:

余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例核心知識方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)有關(guān)概念實(shí)際應(yīng)用解決實(shí)際測量中的角度問題時(1)找準(zhǔn)觀測點(diǎn)以及參照物,根據(jù)“上北下南,左西右東”確定正北方向.(2)分析圖中的已知量和未知量,標(biāo)出有關(guān)角和線段的大小.(3)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.高度問題角度問題1.數(shù)學(xué)抽象：常用的測量相關(guān)術(shù)語.2.邏輯推理：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理、正弦定理求高度、角度.4.數(shù)學(xué)模型：在適當(dāng)?shù)娜切沃星蠼飧叨?、角?解決測量高度問題的一般步驟是課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的 (

)

A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東80° D.南偏西80°【解析】由條件及題圖可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.D2.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m,水流的速度是每分鐘20m,如果船從岸邊A處出發(fā),沿著與水流垂直的航線到達(dá)對岸,那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為 (

)A.15° B.30° C.45° D.60°【解析】如圖所示,sin∠CAB=,所以∠CAB=30°.B3.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿,甲觀測的仰角為50°,乙觀測的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離,那么有(

)A.d1>d2