【課件】函數(shù)概念教學(xué)認(rèn)識及拓展-以高中函數(shù)概念教學(xué)為例

函數(shù)概念教學(xué)認(rèn)識及拓展——以高中函數(shù)概念教學(xué)為例概念即是教學(xué)的“根”也是教學(xué)的“核”概念即是教學(xué)的“根”也是教學(xué)的“核”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)是:掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識發(fā)展基本技能拓展基本經(jīng)驗豐富基本思想只有真正理解與掌握了基本概念，才有可能學(xué)好數(shù)學(xué)用好數(shù)學(xué)。從這個意義上說數(shù)學(xué)概念教學(xué)是“根”，教學(xué)的是重中之重。概念即是教學(xué)的“根”也是教學(xué)的“核”基礎(chǔ)知識基本技能基本活動經(jīng)驗基本思想是一種理性的、形式化的結(jié)果性知識是一種感性的、情景的過程性知識是在基本知識學(xué)習(xí)、基本技能形成以及基本經(jīng)驗提煉過程中抽象出來的從知識的角度來看概念即是教學(xué)的“根”也是教學(xué)的“核”形形色色的數(shù)學(xué)基本概念伴隨著人的成長過程而不斷由內(nèi)而外拓展、發(fā)散、豐富，同時也為人的成長“飛躍”源源不斷地提供“養(yǎng)分”，因此數(shù)學(xué)基本概念是“核”。函數(shù)概念的演變函數(shù)概念的演變

函數(shù)概念的演變1718年，約翰?貝努利(JohannBernoulli)給出了解析的函數(shù)概念：“函數(shù)是由任意變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構(gòu)成的量”，這是函數(shù)概念的第一次擴(kuò)張。函數(shù)概念的演變而后約翰?貝努利的學(xué)生歐拉(LeonardEuler)把函數(shù)定義又推進(jìn)了一步，把凡是可以給出“解析的表示的”，通稱之為函數(shù)?！坝稍趚y平面上任意畫出的曲線所確定了的x，y之間的關(guān)系。”函數(shù)概念的演變18世紀(jì)70年代，歐拉又給出了函數(shù)的定義：“如果某些變量，以這樣的一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后面變量的函數(shù)?！焙瘮?shù)概念的演變函數(shù)概念的第二次擴(kuò)張，是從幾何方面的考慮而做出的。這一次的擴(kuò)張是由積分上的需要引起的，人們把只可用圖形給出的關(guān)系也稱之為函數(shù)。這是對上述“解析的函數(shù)”概念的一個擴(kuò)充，稱為“幾何的函數(shù)”。函數(shù)概念的演變1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)對函數(shù)概念進(jìn)行了第三次擴(kuò)張，給出的函數(shù)定義為：“當(dāng)某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)之值，其它變數(shù)之值亦可隨之而確定時，則將最初的變數(shù)稱之為‘自變數(shù)’，其它各變數(shù)則稱為‘函數(shù)’。”函數(shù)概念的演變函數(shù)概念的第四次擴(kuò)張是黎曼(B.Riemam)一一狄里克雷(P.G.Dirichlet)的函數(shù)定義：“對于x的每一個值，如果有完全確定的y值與之對應(yīng)，不論所建立對應(yīng)方式如何，y都叫做x的函數(shù)”函數(shù)概念的演變到了19世紀(jì)70年代，在德國數(shù)學(xué)家康托爾(G.Cantor)的集合論的基礎(chǔ)上，所謂“集合函數(shù)”誕生了，函數(shù)概念第五次擴(kuò)張為：“對于以集合為元素的集合P的每一個元素A，如果在另一個以集合為元素的集合Q中有完全確定的元素B與之對應(yīng)，那么集合Q就叫做集合P的集合函數(shù)?！焙瘮?shù)概念的演變

函數(shù)概念的演變清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811年～1882年)最初使用的，他在1859年與英國學(xué)者偉烈亞力(1815年～1887年)合譯的《代數(shù)學(xué)》一書中，將“function”一詞譯成“函數(shù)”。函數(shù)概念的演變函數(shù)概念的發(fā)展歷史我們可以看到，函數(shù)概念經(jīng)歷了從直觀到抽象，從含糊到精確的過程，這與學(xué)生認(rèn)識函數(shù)概念的過程是基本一致的。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念核心概念位居數(shù)學(xué)概念體系的中心點，自我生長能力強(qiáng)，可以生成一個‘概念群’。因此，核心概念的組織和呈現(xiàn)，不僅要考慮此概念的發(fā)生和形成，還要從整體入手，考慮如何以此概念為中心，形成概念網(wǎng)絡(luò)的體系和節(jié)點”。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學(xué)思想方法幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域。運(yùn)用函數(shù)的思想方法可以構(gòu)筑、描述客觀世界的重要數(shù)學(xué)模型，因此，函數(shù)的基礎(chǔ)知識在現(xiàn)實生活、科技、經(jīng)濟(jì)和許多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念數(shù)學(xué)是描述、探索自然和社會規(guī)律的科學(xué)語言和研究工具，數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，并在經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用。數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面。數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，己成為公民所必須具備的一種基本素質(zhì)。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)；要求結(jié)合實際問題，感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，強(qiáng)調(diào)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類不同的函數(shù)增長模型；要求收集函數(shù)模型的應(yīng)用實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用；要求利用信息技術(shù)探索和了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律和性質(zhì)；要求將函數(shù)的思想方法貫穿在整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不斷加深對函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識和理解等。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念函數(shù)概念在各國教材中的發(fā)展主線基本相同定義性質(zhì)基本初等函數(shù)函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念法國在初中一年級雖然沒有給出函數(shù)的定義，但是己經(jīng)要求學(xué)生要用“函數(shù)”的說法，高中教學(xué)對函數(shù)部分提出了具體的教學(xué)目的：使學(xué)生對于用函數(shù)描寫連續(xù)現(xiàn)象的方法有所熟悉；對大綱中所規(guī)定的常用函數(shù)有較好掌握。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念英國的A水平SMP教材第一冊就有數(shù)學(xué)模型函數(shù)、求導(dǎo)函數(shù)，第二冊有多項式函數(shù)第三冊是對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

函數(shù)內(nèi)容貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念德國對數(shù)學(xué)教育極為重視8年級就引入函數(shù)概念，學(xué)習(xí)一次函數(shù)9年級學(xué)習(xí)二次函數(shù)10年級學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)11年級學(xué)習(xí)實函數(shù)。自從有了學(xué)校教育，數(shù)學(xué)教育就扮演了一個中心的角色。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念美國《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也對于函數(shù)有著這樣的要求：理解各種類型的模式和函數(shù)關(guān)系；應(yīng)用數(shù)學(xué)模型以及分析在實際和抽象的背景下的數(shù)學(xué)模型變化。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念我國則是采取“分層遞進(jìn)”“螺旋上升”的策略，以注重“雙基”轉(zhuǎn)變到注重“四基”，以“數(shù)”“形”雙助推動“雙向思維”?？梢姡瑹o論是國內(nèi)還是國際，無論是發(fā)達(dá)國家還是發(fā)展中國家，都把函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的主角，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)概念理解的一個難點函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)概念理解的一個難點學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)中存在的主要問題不能靈活地運(yùn)用函數(shù)的思想方法解決相關(guān)問題，如方程、不等式、數(shù)列等；不愿意運(yùn)用函數(shù)的知識和方法解決實際的應(yīng)用問題，不能用變量的觀點看待客觀世界中量與量之間的普遍聯(lián)系，不能正確地用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型反映數(shù)量之間的關(guān)系。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)概念理解的一個難點一方面函數(shù)概念是抽象的數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中接觸的第一個非常量意義的概念。學(xué)生理解函數(shù)不僅要理解常量、變量的概念，而且要理解“變化過程”和變量之間的關(guān)系。同時函數(shù)表示方法的多樣性，要求學(xué)生在符號語言、圖形語言和文字語言之間進(jìn)行靈活地轉(zhuǎn)換，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，這對學(xué)生而言，是一種思維上的挑戰(zhàn)。函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)概念理解的一個難點另一方面中學(xué)階段，學(xué)生的思維發(fā)展水平從具體形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，剛進(jìn)入高中的學(xué)生，他們的思維剛剛脫離了經(jīng)驗型的邏輯思維，學(xué)會了對一些事物進(jìn)行淺層次的抽象，還無法上升到辨證的邏輯思維階段如何進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)如何進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)2001年7月中華人民共和國教育部頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》和2003年4月頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》提出高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的總目標(biāo)是：使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個人發(fā)展與社會進(jìn)步的需要。如何進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)老師們感到很無奈，使得在教學(xué)過程中的操作過于形式化。學(xué)生們更是無助和困惑，有的甚至產(chǎn)生了對函數(shù)知識學(xué)習(xí)的畏懼感。函數(shù)模型很抽象，對于抽象事物的學(xué)習(xí)和理解應(yīng)是從感性認(rèn)識出發(fā)，再到理性認(rèn)識，從實踐到理論、理論到實踐的過程，不能一躍而就。如何進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是理解和掌握函數(shù)基本知識，形成函數(shù)的思想方法，最終提高高中學(xué)生分析解決實際生活中問題的能力。存在一定的誤區(qū)，覺得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一般都是解題計算等，認(rèn)為概念是死的并不重要，學(xué)習(xí)時一帶而過，而解題方法是活的，可極好的鍛練自己的抽象思維和邏輯思維能力，應(yīng)重點掌握。如何進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是理解和掌握函數(shù)基本知識，形成函數(shù)的思想方法，最終提高高中學(xué)生分析解決實際生活中問題的能力。形式化是數(shù)學(xué)的顯著特點，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)一種有特定含義的形式化語言以及用這樣的語言去表達(dá)解釋、解決各種問題。如何進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是理解和掌握函數(shù)基本知識，形成函數(shù)的思想方法，最終提高高中學(xué)生分析解決實際生活中問題的能力。概念是思維的基本形式之一，它反映事物的本質(zhì)的特征。把覺察到的事物的共性加以抽象、概括，就形成了我們所說的概念。如何進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)從現(xiàn)在高中的現(xiàn)實教學(xué)情況來看教師的實際教學(xué)措施不得力，我了解過一些相對好的一級達(dá)標(biāo)學(xué)校的學(xué)生，如廈門、泉州，莆田、漳州、福州等，他們說課堂大多是老師講解一大堆題目，有的很難。學(xué)生利用課外時間自學(xué)課本知識；這樣他們對知識原理在實際生活的應(yīng)用意識就別想了，教師給予的引導(dǎo)是如何記憶解題的技巧，至于這個技巧能折射出來什么思想，他們很少去思考。還有一些學(xué)校的學(xué)生，他們學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相對比較差一些，通常教師在具體教學(xué)過中，雖然都能以問題為中心，形成一個問題串來逐步引導(dǎo)學(xué)生的邏輯思維。但是，這并沒有充分發(fā)揮學(xué)生理性思維來建夠數(shù)學(xué)模型。僅僅感悟和理解問題，這不能提高學(xué)生的認(rèn)知水平。從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)(1)感受階段學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個主動建構(gòu)的過程，學(xué)生主動地建立新知識和舊知識聯(lián)系是學(xué)生習(xí)得概念的必要條件。在函數(shù)教學(xué)時，為了讓學(xué)生感受事物的共性，教師可創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，激活學(xué)生初中已有的函數(shù)知識或其它學(xué)科相差的知識背景。從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)實例1我們乘坐動車組列車，會發(fā)現(xiàn)某段時間內(nèi)車箱內(nèi)指示燈顯示，動車速度198千米/小時，動車外溫度為33℃等，速度y與時間t的關(guān)系？從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)實例2復(fù)雜一點的是分段函數(shù):比如說水費，一個家庭一個月用水量6噸以下(包括6噸)，每噸1.2元，超過6噸到10噸(包括10噸)的部分，噸1.5元，超過10噸的部分每噸1.8元等等，那么用水量x與所付水費y的關(guān)系?從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)實例3一名學(xué)生在安靜狀態(tài)下測量自己每分鐘心跳次數(shù)，再在劇烈運(yùn)動4分鐘后測量自己每分鐘心跳次數(shù)，每隔一分鐘再測一次直到第五分鐘，得到如下表格:在上述過程中，那些量在變，誰隨誰而變?運(yùn)動結(jié)束后，心跳次數(shù)總趨勢是什么?從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)(2)抽象階段活動程序首先開始“活動”只是把函數(shù)看作一個簡單的表達(dá)式或公式，這些式子中含有可以賦值和運(yùn)算的字母然后學(xué)生把函數(shù)看作可以輸入輸出的機(jī)器，于是知識就處于第二狀態(tài)“程序”。從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)這是一個循環(huán)的過程活動程序當(dāng)學(xué)生遇到一個更復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式時，學(xué)生就會又回到“活動”階段，進(jìn)而進(jìn)一步完善函數(shù)“程序”。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過多次“活動”熟悉后，就把它內(nèi)化成“程序”儲存在腦中。從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)(3)強(qiáng)化階段在這一階段，為了讓學(xué)生避免在沒有準(zhǔn)確掌握函數(shù)概念本質(zhì)時盲目的應(yīng)用，教師可以讓學(xué)生再舉一些函數(shù)的正例，教師可以舉一些與日常生活息息相關(guān)或者和其它科學(xué)相關(guān)的正例。加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，強(qiáng)化函數(shù)的本質(zhì)屬性是“對應(yīng)”。從具體實例出發(fā)抽象函數(shù)的本質(zhì)通過從典型、豐富的具體實例出發(fā)，激發(fā)與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，引起學(xué)生的積極思維，加強(qiáng)知識間的聯(lián)系，抽象概括出函數(shù)的本質(zhì)。教師幫助學(xué)生構(gòu)建活動，通過多次活動讓學(xué)生親身體會、感受直觀背景和函數(shù)概念的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生對活動進(jìn)行思考，內(nèi)化為程序，從而抽象出函數(shù)的特性，認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)。通過對函數(shù)形式化和符號化的認(rèn)識，能對函數(shù)進(jìn)行整體認(rèn)識，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)為一個具體的對象。從不同角度認(rèn)識函數(shù)概念

注重概念教學(xué)的系統(tǒng)化從不同角度認(rèn)識函數(shù)概念

注重概念教學(xué)的系統(tǒng)化在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，使學(xué)生有機(jī)會從不同角度認(rèn)識概念，建立概念的‘多元聯(lián)系表示’，這不僅便于發(fā)揮知識的結(jié)構(gòu)功能，使概念具有‘生長活力’有益于知識的獲得、保持和應(yīng)用，而且對發(fā)展學(xué)生的概括能力有特殊意義。從不同角度認(rèn)識函數(shù)概念

注重概念教學(xué)的系統(tǒng)化只有從各個角度認(rèn)識函數(shù)，才能對函數(shù)達(dá)到完整深刻的理解。函數(shù)的圖像、解析式和表格表示是學(xué)生理解和認(rèn)識函數(shù)的重要方法和手段。既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地繪制圖形、觀察圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖像的平移變換、對稱變換等從不同角度認(rèn)識函數(shù)概念

注重概念教學(xué)的系統(tǒng)化例如在函數(shù)單調(diào)性一節(jié)的教學(xué)中，先從圖像上來認(rèn)識，然后再區(qū)分單調(diào)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別。再到單調(diào)函數(shù)的求證。讓學(xué)生從定義中自主理出證明一個函數(shù)是單調(diào)減或單調(diào)增函數(shù)的方法。重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識變式就是變化對象的角度、背景、情形、層次而使其面目不一，突出對象的本質(zhì)特征變式教學(xué)可以充分調(diào)動學(xué)生積極的思維，讓學(xué)生主動參與教學(xué)的過程，有助于學(xué)生理解對象的本質(zhì)，有助于知識的正遷移，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，提高課堂效率。重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(l)注重函數(shù)概念的引入數(shù)學(xué)概念它反映了一類事物的本質(zhì)屬性，具有相對獨立性。重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(l)注重函數(shù)概念的引入重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(l)注重函數(shù)概念的引入重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(l)注重函數(shù)概念的引入重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(l)注重函數(shù)概念的引入重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(l)注重函數(shù)概念的引入重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(2)函數(shù)概念辨析變式在給出數(shù)學(xué)概念的定義后，針對概念的本質(zhì)屬性(內(nèi)涵)與分本質(zhì)屬性(外延)，我們可設(shè)計一些辨析型問題，通過對這些問題的討論與解決，從而讓學(xué)生明確概念的內(nèi)涵，深化理解概念。重視函數(shù)概念的引入、變式

促進(jìn)對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識可以做下面練習(xí)

重視函數(shù)概念教學(xué)及拓展，提升思維空間重視函數(shù)概念教學(xué)及拓展，提升思維空間在以上的方法下，學(xué)生通過概念同化與概念形成已經(jīng)理解和掌握函數(shù)的相關(guān)概念。教師在此基礎(chǔ)上，通過精心設(shè)計的練習(xí)，鞏固應(yīng)用概念。教材中針對概念的例題、習(xí)題和練習(xí)有很多，教師可以變更問題的條件