【講座】高考試題中直觀想象的考查趨勢分析及教學(xué)建議高中數(shù)學(xué)_第1頁
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高考試題中直觀想象的

考查趨勢分析及教學(xué)建議高考試題中直觀想象的考查趨勢分析及教學(xué)建議一、直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵及概念理解二、高中數(shù)學(xué)哪些內(nèi)容隱含或滲透該素養(yǎng)三、高考如何考查直觀想象核心素養(yǎng)四、對今后教學(xué)的建議一、直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵及概念理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵直觀想象核心素養(yǎng)概念的理解對直觀想象核心素養(yǎng)的反思數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力,是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性,又相互交融,形成一個有機(jī)整體.直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家將直觀想象定義為:借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程。主要包括:借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述分析數(shù)學(xué)問題;建立數(shù)與形的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路。價值:直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。主要表現(xiàn)為:(1)利用圖形描述數(shù)學(xué)問題,建立形與數(shù)的聯(lián)系;(2)利用圖形理解數(shù)學(xué)問題;(3)利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題;(4)構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路。目標(biāo):通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象的能力;增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)形結(jié)合的能力;形成數(shù)學(xué)直觀感覺,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)。直觀想象核心素養(yǎng)概念的理解直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的關(guān)系:和抽象一樣,直觀想象是認(rèn)識事物的基本方式.和抽象不同,直觀想象簡單、直接、付諸感官,容易掌握和使用.而且,直觀想象是進(jìn)一步抽象的必要基礎(chǔ),作為直觀與想象的重要結(jié)果,圖形是數(shù)學(xué)研究的基本對象之一,圖形表示則是數(shù)學(xué)研究的一個重要方法,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,利用圖形可以更簡單、直接地刻畫和描述問題,探索和形成思路,尋找和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,記憶和理解知識以及建立良好直覺,把握本質(zhì)規(guī)律.因此《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將幾何直觀和空間觀念作為十大核心概念之二,而高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家也將直觀想象視為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.直觀想象是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)抽象是直觀想象的升華,直觀想象與數(shù)學(xué)抽象一樣,都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般性。從直觀想象的4個表現(xiàn),我們可以做這樣的解讀首先,從數(shù)學(xué)學(xué)科角度那就是直觀、想象的載體是“圖形”.數(shù)、形是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的基本對象,相對而言,形直觀,數(shù)抽象,正如華羅庚名言:數(shù)缺形難達(dá)直觀,形缺數(shù)難以入微.其次,相對以往,對“圖形”概念擴(kuò)大了范圍,由幾何圖形,拓展包括各種函數(shù)圖像及其變換、向量的幾何意義與運(yùn)算等.還應(yīng)考慮現(xiàn)代技術(shù)手段的介入,特別是一些強(qiáng)大軟件的作圖功能,將原先難以做到的變?yōu)橹庇^,為想象提供更高平臺和起點(diǎn).再次,直觀想象還是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ),是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素.簡單地說,直觀想象就是看圖想事,看圖說理,看題想圖,看題想構(gòu)直觀模型探思路.對直觀想象核心素養(yǎng)的反思反思1:高中對空間觀念的要求比初中的要求高,為什么反而不提空間觀念了?

為什么不與2011年修訂的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)接軌?空間觀念主要是指:根據(jù)物體抽象出幾何圖形,根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運(yùn)動和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等.“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))”將“直觀感知”和“空間想象”是作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題需經(jīng)歷的思維過程、具體體現(xiàn)提出來的6條具體課程目標(biāo)中的第2條,將空間想象要求為五大基本能力之一.從這一比較,我們也可將“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視為“幾何直觀”、“空間想象”觀念的發(fā)展和融合,但直觀想象不單是空間想象能力,也不單是數(shù)形結(jié)合思想,它是一些數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力的融合.反思2:把“想象”去掉,這一指標(biāo)的內(nèi)容實(shí)際上就是“數(shù)形結(jié)合”,為什么不把問題解決中更普遍、更重要的化歸“數(shù)學(xué)結(jié)合”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?請問這是不是“撿了芝麻丟了西瓜”?數(shù)形結(jié)合只是化歸的一種手段,僅僅把數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容之一“數(shù)形結(jié)合”作為核心素養(yǎng)是不夠的,直觀想象高于幾何直觀、空間想象、數(shù)形結(jié)合.二、高中數(shù)學(xué)哪些內(nèi)容隱含或滲透直觀想象核心內(nèi)容函數(shù)與基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))平面解析幾何初步數(shù)列立體幾何初步算法初步集合平面向量統(tǒng)計(jì)與概率參數(shù)方程與極坐標(biāo)三角函數(shù)與解三角形導(dǎo)數(shù)微積分及其應(yīng)用數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入空間向量與立體幾何圓錐曲線與方程不等式與線性規(guī)劃排列與組合三、高考如何考查直觀想象核心素養(yǎng)1.運(yùn)用“直觀想象”,精準(zhǔn)作圖,化抽象為形象。2.運(yùn)用“直觀想象”,從變換的視角,將復(fù)雜化簡單3.運(yùn)用“直觀想象”,從極端特殊位置出發(fā),預(yù)測相關(guān)量的變化規(guī)律4.運(yùn)用“直觀想象”,引入變量,構(gòu)建問題的求解模型,引領(lǐng)通法的實(shí)施5.運(yùn)用“直觀想象”,以形助數(shù),引領(lǐng)數(shù)形關(guān)系的轉(zhuǎn)換

6.運(yùn)用“直觀想象”,以數(shù)解形,引領(lǐng)形數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)換

7.運(yùn)用“直觀想象”,數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系問題

8.運(yùn)用“直觀想象”,從幾何意義出發(fā),構(gòu)造新函數(shù)

9.運(yùn)用“直觀想象”,抓住對稱性,將圖式化數(shù)式極

點(diǎn)

10.運(yùn)用“直觀想象”,探幾何解釋,尋命題背后的故事

極值點(diǎn)

偏移

問題

VS

拐點(diǎn)

偏移

問題

三、高考如何考查直觀想象核心素養(yǎng)1.運(yùn)用“直觀想象”,精準(zhǔn)作圖,將抽象化形象2.運(yùn)用“直觀想象”,變換視角,將復(fù)雜化簡單3.運(yùn)用“直觀想象”,從極端或特殊位置出發(fā),預(yù)測相關(guān)量的變化規(guī)律4.運(yùn)用“直觀想象”,引入變量,構(gòu)建問題的求解模型,引領(lǐng)通法的實(shí)施5.運(yùn)用“直觀想象”,以形助數(shù),引領(lǐng)數(shù)形關(guān)系的轉(zhuǎn)化6.運(yùn)用“直觀想象”,以數(shù)解形,引領(lǐng)形數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化7.運(yùn)用“直觀想象”,數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系問題8.運(yùn)用“直觀想象”,從幾何意義出發(fā),構(gòu)造新函數(shù)9.運(yùn)用“直觀想象”,抓住對稱性,將圖式化數(shù)式10.運(yùn)用“直觀想象”,探幾何解釋,尋命題背后的故事四、對今后教學(xué)的建議

1.精準(zhǔn)復(fù)習(xí),靶向考點(diǎn)“考什么、教什么、學(xué)什么”是高考備考的最大命題,高考復(fù)習(xí)成效的高低,取決于教師能否精準(zhǔn)復(fù)習(xí),靶向考點(diǎn),科學(xué)備考.當(dāng)前,高考格局和教學(xué)態(tài)勢不斷變革,課程精神、考試要求、命題思路均被注入了新的思維、新的氣息,若教師不了解新課程改革的“一體四層四翼”(一體:立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)的核心立場;四層:考查考生必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價值四個圈層、四翼:基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性)的評價體系,教學(xué)便難以立于高處;了解新課程改革“一體四層四翼”的評價體系,將教學(xué)立于高處若教師不仔細(xì)閱讀考試大綱、樣題的微小變化,便難以精準(zhǔn)定位復(fù)習(xí)要求.2017年的高考考試大綱主要修訂內(nèi)容:在能力要求內(nèi)涵方面,增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求,增加了數(shù)學(xué)文化的要求.同時對能力要求進(jìn)行了加細(xì)說明,使能力要求更加明確具體.在現(xiàn)行考試大綱三個選考模塊中刪去“幾何證明選講”,其余2個選考模塊的內(nèi)容和范圍都不變.考生從“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”2個模塊中任選1個作答.1(專家對這一變化的解讀:北京大學(xué)數(shù)科院教授劉和平:考查內(nèi)容刪去“幾何證明選講”模塊的直接理由是因?yàn)檫@部分內(nèi)容考查的是初中平面幾何的知識,幾何的主要知識內(nèi)容在立體幾何和解析幾何中均有體現(xiàn),不需要再單獨(dú)列為專題考查.同時在過去的教學(xué)大綱和2017年修訂后的課程標(biāo)準(zhǔn)中,都不包含這部分內(nèi)容.)

仔細(xì)閱讀考試大綱、樣題的微小變化,精準(zhǔn)定位復(fù)習(xí)要求知曉考試說明、考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)三者之間的關(guān)系考試說明、考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)三者之間的關(guān)系:高考命題的依據(jù)是<<考試說明>>.但最根本的依據(jù)是教材,教材是課程的具體化,因此,高考命題最根本的依據(jù)是教材,試題考什么?依據(jù)<<考試說明>>制定,試題內(nèi)容怎么呈現(xiàn)?依據(jù)教材.

堅(jiān)持閱讀學(xué)術(shù)刊物,了解高考難度的定位,仔細(xì)研究近年全國卷,感知細(xì)微變化若教師不堅(jiān)持閱讀學(xué)術(shù)刊物,便不會了解高考難度的定位,如教育部考試中心任子朝的文章《高考試卷難度與區(qū)分性能分析研究》(數(shù)學(xué)通報2017.1)指出,“單就現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),難度在0.4左右標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)能達(dá)到比較好的平衡”;若教師沒有仔細(xì)研究近年的全國1卷,便難以感知其弱化求深求難的取向而轉(zhuǎn)向“考寬考活”、“學(xué)寬學(xué)活”的變化,難以知曉其對閱讀能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力考查有新的視角,難以發(fā)現(xiàn)解析幾何部分更重視考查幾何作圖和幾何知識應(yīng)用能力,更重視圓在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的作用……精準(zhǔn)復(fù)習(xí),道阻且長,行則將至精準(zhǔn)復(fù)習(xí)言之容易,行之路長,理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解高考、理解學(xué)生是一道道值得深究的學(xué)問,教師就要宏觀著眼更要精細(xì)落實(shí),既要抓準(zhǔn)考綱要求,又要針對學(xué)情校情,算好明細(xì)賬.2.成敗關(guān)鍵在基礎(chǔ),無基礎(chǔ)不素養(yǎng)

數(shù)學(xué)全國卷最大的特色規(guī)律就是“穩(wěn)定”,全國Ⅰ卷每年80%的試題內(nèi)容都是穩(wěn)定的,只有20%的內(nèi)容是創(chuàng)新的..2017年全國Ⅰ卷總體評價:遵循考試大綱,整體保持平穩(wěn);

穩(wěn)中有變,立意創(chuàng)新,平凡中見功底;突出了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化與應(yīng)用的考查;命題更加科學(xué).雖然每年高考數(shù)學(xué)的主基調(diào)基本穩(wěn)定,不少考題的類型都是學(xué)生見過也做過,但考試結(jié)果卻不盡如意,花了功夫卻收效甚微.以解析幾何為例,復(fù)習(xí)教學(xué)成效長期徘徊在低水平,成為考生丟分的重災(zāi)區(qū),其中的是非曲直、酸甜苦辣,非親歷者無法體會.解析幾何涉及的基礎(chǔ)面大,技巧多、運(yùn)算繁、交匯多,問題的理解與解決,往往發(fā)于簡單、紛繁于變化、作圖、設(shè)點(diǎn)、列式、求值、檢驗(yàn)、作答,每一步看似都是“規(guī)定動作”,演變卻各有巧妙,不同的考生得分也是千差萬別.試題敘述簡明清晰,題意通透順暢,沒有復(fù)雜的文字包裝,沒有紛繁的情境設(shè)置,但不少考生解答起來舉步維艱、頻頻失分:(1)問只有結(jié)果,沒有緣由,以圖代征,思維粗糙,對而不全;(2)問看似掌握了直線與圓錐曲線的必殺技“坐標(biāo)法”,但一路下來卻“傷痕累累”,有的解方程組不過關(guān),留下滿紙的遺憾,有的忘了k和判別式的討論,思維缺漏導(dǎo)致無謂失分;有的遇見了字母計(jì)算便底氣不足,逃之夭夭;有的將K1+K2=-1坐標(biāo)化后,不知整體消元,半途而廢;有的對直線過定點(diǎn)的代數(shù)意義本質(zhì)領(lǐng)悟不到便止步,離成功只有一步之遙……當(dāng)下,“基礎(chǔ)問題”成為教學(xué)之癢,數(shù)學(xué)之痛“基礎(chǔ)”關(guān)乎教學(xué)、關(guān)乎能力、關(guān)乎過程、關(guān)乎記憶、關(guān)乎經(jīng)驗(yàn)……無基礎(chǔ)何來素養(yǎng).當(dāng)下,“基礎(chǔ)問題”成為教學(xué)之癢,數(shù)學(xué)之痛.基礎(chǔ)的落實(shí)與強(qiáng)化,有賴于教學(xué)示范、學(xué)生演練、示范矯正、錯題訂正、分層作業(yè)、分層教學(xué)等等措施,有賴于長期堅(jiān)持不懈、科學(xué)合理的推進(jìn).數(shù)學(xué)日作業(yè)、周練習(xí)、月考、錯題訂正、及時講評、課后輔導(dǎo)等每一步看似簡單樸素,其實(shí)最難落實(shí),夯實(shí)基礎(chǔ)需要工匠精神、釘子精神和知行合一精神的堅(jiān)持,誰能持之以恒,誰便能笑傲高考.3.穿插“微專題”,對傳統(tǒng)復(fù)習(xí)進(jìn)行補(bǔ)充和完善

“微專題”是指一個相關(guān)聯(lián)的、可以單獨(dú)研究的知識體系,或者某種數(shù)學(xué)思想方法、一個研究主題等,根據(jù)學(xué)生不同學(xué)習(xí)階段具有一定彈性,又稱“小專題”.“微專題”教學(xué)是指針對某一具體知識點(diǎn),從該知識的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手,內(nèi)化知識,構(gòu)建結(jié)構(gòu)進(jìn)行知識遷移,整合并運(yùn)用概念和原理解決實(shí)際問題的一種“小切口”教學(xué)方法.其涵蓋的內(nèi)容適量,知識間聯(lián)系緊密,可以在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的同時,幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)識結(jié)構(gòu),活化知識的運(yùn)用,提升解決問題的能力.有機(jī)地在傳統(tǒng)復(fù)習(xí)模式中穿插“微專題”,可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)中的一些不足與缺陷,可以通過“考點(diǎn)”的細(xì)化、“知識點(diǎn)”的延伸、“易錯易混點(diǎn)”的辨析、“思維角度”的轉(zhuǎn)換等方式構(gòu)建“微專題”.案例:“阿波羅尼斯圓”定理及其運(yùn)用

例如:源于“知識點(diǎn)”的延伸構(gòu)建“微專題”,這類知識點(diǎn)往往是命題的熱點(diǎn),具有深遠(yuǎn)的背景,教師通過教學(xué)積累或閱讀雜志文章,根據(jù)學(xué)情控制拓展的深度、廣度和難度,有效提升學(xué)生對此類問題的處理能力.例如,近幾年活躍在各類考試中的“阿波羅尼斯圓”,根據(jù)課本題的延伸拓展,可以設(shè)置一節(jié)“微專題”.環(huán)節(jié)一:教材入手,奠定基礎(chǔ)環(huán)節(jié)二:特殊到一般,完善定理

環(huán)節(jié)三:數(shù)學(xué)運(yùn)用,鏈接高考環(huán)節(jié)四:延伸拓展,深化思維“微專題”切口小、主題強(qiáng)、形式多、角度新由于“微專題”切口小、主題強(qiáng)、形式多、角度新,抓住問題內(nèi)隱的思維線索,從低結(jié)構(gòu)到高結(jié)構(gòu),從知識層面到核心價值層面,讓學(xué)生在知識的碰撞中、在問題的辨別中找關(guān)系、尋規(guī)律、抓本質(zhì),達(dá)到“綱舉目張”的效果

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