浙江理工大學(xué)線性代數(shù)綜合練習(xí)試題8套另加參考答案

...wd......wd......wd...線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔一〕一、單項(xiàng)選擇題1.對于階可逆矩陣，，那么以下等式中〔〕不成立.(A)(B)(C)(D)2.假設(shè)為階矩陣，且，那么矩陣〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.設(shè)是上〔下〕三角矩陣，那么可逆的充分必要條件是的主對角線元素為〔〕.(A)全都非負(fù)〔B〕不全為零〔C〕全不為零〔D〕沒有限制4.設(shè)，，，，那么〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.假設(shè)向量組線性相關(guān)，那么向量組內(nèi)〔〕可由向量組其余向量線性表示.〔A〕至少有一個(gè)向量〔B〕沒有一個(gè)向量〔C〕至多有一個(gè)向量〔D〕任何一個(gè)向量6.假設(shè)，其秩〔〕.〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕47.假設(shè)方程中，方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，那么有〔〕.〔A〕必有無窮多解〔A〕必有非零解〔C〕僅有零解〔D〕一定無解8.假設(shè)為正交陣，那么以下矩陣中不是正交陣的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9.假設(shè)滿足條件〔〕，那么階方陣與相似.〔A〕〔B〕〔C〕與有一樣特征多項(xiàng)式〔D〕與有一樣的特征值且個(gè)特征值各不一樣二、填空題1.假設(shè)向量組線性無關(guān)，那么向量組是線性.2.設(shè)為4階方陣，且，是的伴隨陣，那么的根基解系所含的解向量的個(gè)數(shù)是.3.設(shè)為階正交陣，且，那么.4.設(shè)，，線性相關(guān)，那么.5.設(shè)，那么.6.設(shè)三階方陣有特征值4，5，6，那么，的特征值為，的特征值為.三、計(jì)算題1.計(jì)算行列式2.矩陣，求.3.設(shè)三階方陣滿足，其中，，，求.4.取何值時(shí)，非齊次線性方程組〔1〕有惟一解；〔2〕無解；〔3〕有無窮多解，并求其通解.四、證明題1.設(shè)為階可逆陣，.證明的伴隨陣.2.假設(shè)，都是階非零矩陣，且.證明和都是不可逆的.線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔一〕參考答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.D二、填空題1.無關(guān)；2.3；3.1；4.3；5.；6.120，4，5，6，.三、計(jì)算題1.解：.2.解：先求的特征值，=，當(dāng)時(shí)，由得，的對應(yīng)于2的特征向量是，當(dāng)時(shí)，有得，的對應(yīng)于的特征向量是，當(dāng)時(shí)，有得，的對應(yīng)于的特征向量是，取..令，那么，所以.3.解：因?yàn)?，所以，因?又，所以，故.4.解：，〔1〕當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解.〔2〕當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解，〔3〕當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無限多個(gè)解.，并且通解為.四、證明題1.證：根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)有又，所以，再由于可逆，便有.2.證：假設(shè)可逆，即存在，以左乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾；類似的，假設(shè)可逆，即存在，以右乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾，因此，和都是不可逆的.線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔二〕一、選擇題1.設(shè)是四維列向量，且，，那么〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕2.如果為三階方陣，且，那么〔〕?！睞〕4〔B〕8〔C〕2〔D〕163.設(shè)為階方陣，且，那么〔〕?！睞〕中必有兩行〔列〕的元素對應(yīng)成比例，〔B〕中至少有一行〔列〕的元素全為0，〔C〕中必有一行〔列〕向量是其余各行〔列〕向量的線性組合，〔D〕中任意一行〔列〕向量是其余各行〔列〕向量的線性組合。4.設(shè)矩陣、的秩分別為，那么分塊矩陣的秩滿足〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.設(shè)為階方陣，是階正交陣，且，那么以下結(jié)論不成立的是〔〕?！睞〕與相似〔B〕與等價(jià)〔C〕與有一樣的特征值〔D〕與有一樣的特征向量二、填空題1.階行列式。2.設(shè)，，，那么。3.設(shè)三階矩陣，滿足，且，那么。4.設(shè)四階方陣，那么。5.設(shè)向量組，，線性相關(guān)，那么。6.設(shè)三階方陣的特征值為1，2，3，那么，的特征值為，的特征值為。7.設(shè)二次型為正定二次型，那么的范圍是。三、計(jì)算題1.求向量組，，，，的秩與一個(gè)最大無關(guān)組，并把其他向量用最大無關(guān)組線性表示。2.為何值時(shí)，方程組有惟一解，無解或有無窮多解并在有無窮多解時(shí)求出方程組的通解。3.三階實(shí)對稱矩陣的特征值為，，對應(yīng)于特征值的特征向量為,求。4.二次型，〔1〕寫出二次型的矩陣表達(dá)式，〔2〕用正交變換把化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫出相應(yīng)的正交變換。四、證明題1.設(shè)為階方陣，如果存在正整數(shù)，使得，證明可逆，并求逆。2.設(shè)是階方陣的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，證明不是的特征向量。線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔二〕參考答案一、選擇題1.C2.A3.C4.A5.D二、填空題〔每空3分〕1.；2.；3.；4.；5.6.，，6，3，2；7..三、計(jì)算題1.解：，所以，是一個(gè)最大無關(guān)組，并且有，.2.解：，當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無限多個(gè)解.，并且通解為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解.3.解：先求對應(yīng)于特征值1的特征向量，設(shè)是對應(yīng)于1的特征向量，那么有，因而，，為不等于0的任意常數(shù).取，，，令，那么有，因此，.4.解：〔1〕〔2〕，所以的特征值為，，當(dāng)時(shí)，由得對應(yīng)于5的特征向量，當(dāng)時(shí)，由得對應(yīng)于的特征向量，.取，，，令，那么為正交矩陣，且，因此，所求的正交變換為，并且四、證明題1.證：所以，可逆，并且.2.證：假設(shè)是的對應(yīng)于的特征向量，那么因?yàn)?所以，由于是對應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，從而，矛盾！線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔三〕選擇題1.設(shè)是矩陣，是階可逆矩陣，矩陣的秩為，矩陣的秩為，那么〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕的關(guān)系依而定2.假設(shè)為正交陣，那么以下矩陣中不是正交陣的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.值不為零的階行列式，經(jīng)過假設(shè)干次矩陣的初等變換，那么行列式的值〔〕.〔A〕保持不變〔B〕保持不為零〔C〕保持有一樣的正負(fù)號〔D〕可以變?yōu)槿魏沃?.設(shè)和都是階方陣，以下各項(xiàng)中，只有〔〕正確.假設(shè)和都是對稱陣，那么也是對稱陣假設(shè)，且，那么假設(shè)是奇異陣，那么和都是奇異陣假設(shè)是可逆陣，那么和都是可逆陣5.向量組線性相關(guān)的充要條件是〔〕.〔A〕中有一個(gè)零向量〔B〕中任意向量的分量成比例〔C〕中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合〔D〕中任意一個(gè)向量是其余向量的線性組合6.設(shè)方陣的秩分別為，那么分塊矩陣的秩與的關(guān)系是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕不能確定二、填空題1.設(shè)三階方陣的特征值為1，2，3，那么.2.設(shè)為正定二次型，那么的取值范圍為.3.設(shè)，那么.4.階行列式.5.設(shè)階方陣的元素全為1，那么的個(gè)特征值為.6.設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解，假設(shè)也是它的解，那么.三、計(jì)算題解矩陣方程，其中，.求以下矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其他向量用最大無關(guān)組線性表示：矩陣，求.向量組討論取何值時(shí)，〔1〕能由線性表示，且表示式唯一，〔2〕能由線性表示，且表示式不唯一，〔3〕不能由線性表示.四、證明題1.設(shè)是階方陣的兩個(gè)特征值，，是對應(yīng)的特征向量，證明不是的特征向量.2.設(shè)是階方陣，假設(shè)存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，且，證明向量組是線性無關(guān)的.線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔三〕參考答案一、選擇題1.C2.B3.B4.D5.C6.A二、填空題1.6；2.；3.；4.；5.〔個(gè)〕，；6.1.三、計(jì)算題1.解：由，得，為此對矩陣施行初等行變換化為行最簡形矩陣，所以.2.解：對施行初等行變換變成行最簡形，所以，的前三列是的列向量組的最大無關(guān)組，且，.3.解：先求的特征值，=，當(dāng)時(shí)，由得，的對應(yīng)于2的特征向量是，當(dāng)時(shí)，有得，的對應(yīng)于的特征向量是，當(dāng)時(shí)，有得，的對應(yīng)于的特征向量是，取.令，那么，所以.4.解：〔1〕當(dāng)時(shí)，，可由線性表示，且表示式不唯一；〔2〕當(dāng)，且，即時(shí)，，不能由線性表示；〔3〕當(dāng)且時(shí)，，能由線性表示，但表示式唯一.四、證明題1.證：假設(shè)是的對應(yīng)于的特征向量，那么因?yàn)?所以，由于是對應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，從而，矛盾！2.證：因?yàn)槭蔷€性方程組的解向量，所以.從而〔〕，又由知〔〕.設(shè)，〔1〕以左乘上式兩邊，得，因而必有，以左乘〔1〕式兩邊，得，因而必有，類似地，可以證明必有，故是線性無關(guān)的.線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔四〕一、選擇題1.設(shè)均為階方陣，假設(shè)由能推出，那么應(yīng)滿足以下條件中的〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2.設(shè)為階方陣，且，那么〔〕?！睞〕中必有兩行〔列〕的元素對應(yīng)成比例〔B〕中至少有一行〔列〕的元素全為零〔C〕中必有一行〔列〕的向量是其余各行〔列〕的向量的線性組合〔D〕中任意一行〔列〕的向量是其余各行〔列〕的向量的線性組合3.設(shè)方陣，的秩分別為，那么分塊矩陣的秩與的關(guān)系是〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕不能確定4.設(shè)，，，，那么〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕5.設(shè)都是階非零矩陣，且，那么和的秩〔〕?！睞〕必有一個(gè)等于零〔B〕都小于〔C〕一個(gè)小于，一個(gè)等于〔D〕都等于6.設(shè)、為階方陣，且與相似，為階單位陣，那么〔〕?！睞〕〔B〕與有一樣的特征值和特征向量〔C〕與相似于一個(gè)對角矩陣〔D〕對任意常數(shù)，相似二、填空題，那么。假設(shè)對，有，那么。向量組〔Ⅰ〕：，〔Ⅱ〕：，〔Ⅲ〕：，如果R(Ⅰ)=R〔Ⅱ〕=3,R〔Ⅲ〕=4,那么的秩=。4.設(shè)為非齊次線性方程組的個(gè)解，假設(shè)也是該線性方程組的一個(gè)解，那么.5.階可逆矩陣的每行元素之和均為，那么數(shù)一定是的特征值。6.設(shè)為正定二次型，那么的取值范圍為。三、計(jì)算題設(shè)，，且，求。求向量組，，，，的秩和一個(gè)最大無關(guān)組，并把其他向量用該最大無關(guān)組線性表示。對于線性方程組討論取何值時(shí)，方程組無解、有惟一解和有無窮多解并在方程組有無窮多解時(shí)，求其通解。4.設(shè)二次型，〔1〕求一個(gè)正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，〔2〕設(shè)為上述二次型的矩陣，求四、證明題1.設(shè)是階方陣的兩個(gè)特征值，，是對應(yīng)的特征向量，證明不是的特征向量.2.設(shè)為個(gè)線性無關(guān)的維列向量，是和均正交的維列向量，證明線性相關(guān)。線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔四〕參考答案一、選擇題1.B2.C3.A4.C5.B6.D二、填空題1.2.93.44.15.6.三、計(jì)算題1.解：由得，，即因?yàn)?，所?2.解：所以，是一個(gè)最大無關(guān)組，并且，3.解：，當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無限多個(gè)解.，并且通解為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解.4.解：，，〔1〕所以的特征值為，，，由得對應(yīng)于的特征向量，由得對應(yīng)于的特征向量，由得對應(yīng)于的特征向量，取，，，令，那么得所求的正交變換即且〔2〕根據(jù)〔1〕知，所以.四、證明題1.證：假設(shè)是的對應(yīng)于的特征向量，那么因?yàn)?所以，由于是對應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，從而，矛盾！2.證：設(shè)，那么是一個(gè)矩陣，因?yàn)榫€性相關(guān)，所以，故元線性方程組的解空間的維數(shù)為1.又是和均正交的，所以是的解，因此必線性相關(guān).線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔五〕一、填空題1.，那么。2.設(shè)四階矩陣與相似，矩陣的特征值為，那么行列式。3.方程的標(biāo)準(zhǔn)正交解為。4.設(shè)矩陣的秩為2，那么。5.設(shè)，，是的一個(gè)正交基，那么在此基下可線性表示為。二、選擇題1.關(guān)于矩陣，以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕。〔A〕假設(shè)，那么或〔B〕可經(jīng)過一系列的初等行變換把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形〔C〕矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一〔D〕假設(shè)為初等矩陣，，那么2.以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕維列向量組可以線性無關(guān)〔B〕矩陣的初等變換可能改變矩陣的秩〔C〕維列向量組必線性相關(guān)〔D〕假設(shè)方陣，那么可逆。3.設(shè)為階方陣，是階正交陣，且，那么以下結(jié)論不成立的是〔〕?！睞〕與相似〔B〕與有一樣的特征向量〔C〕與有一樣的特征值〔D〕與等價(jià)4.三階矩陣的特征值為其對應(yīng)的特征向量分別是，取，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.二次型〔是對稱矩陣〕正定的充要條件是〔〕?！睞〕對任何，有〔B〕的特征值為非負(fù)數(shù)〔C〕對任何，有〔D〕對任意，有三、計(jì)算題1.設(shè)非齊次線性方程組，〔1〕取何值時(shí)，方程組〔a〕有唯一解；〔b〕無解；(c)有無數(shù)多個(gè)解。并且方程組有無數(shù)多個(gè)解時(shí)，用該方程組的一個(gè)特解及對應(yīng)齊次線性方程組的根基解系表示其通解?！?〕設(shè)該方程組的系數(shù)矩陣為，試問取何值時(shí)，存在三階非零矩陣，使得。2.設(shè)，，求一正交相似變換矩陣，使，其中為對角矩陣；求。3.設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量為，求對應(yīng)的特征向量；求矩陣。4.判斷下面向量組的線性相關(guān)性，求它的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量用這個(gè)極大無關(guān)組線性表示。，，，四、證明題1.設(shè)與為階矩陣，，那么與相似。2.設(shè)為正定矩陣，證明：。線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔五〕參考答案一、填空題1.，2.，3.4.3，5..二、選擇題1.D2.C3.B4.B5.D三、計(jì)算題1.解：，〔1〕當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)方程組有惟一解.當(dāng)時(shí)，增廣矩陣，顯然系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為，此時(shí)方程組無解.當(dāng)時(shí)，增廣矩陣，所以,令，得，此為時(shí)對應(yīng)方程組的通解.〔2〕系數(shù)矩陣的秩小于3時(shí)，線性方程組有非零解，此時(shí)存在三階矩陣，使得.由得或.2.解：〔1〕特征多項(xiàng)式的特征值為，.當(dāng)時(shí)，解方程組，得根基解系，于是得到對應(yīng)的單位特征向量.當(dāng)時(shí)，解方程組，得根基解系，于是得到對應(yīng)的單位特征向量.令，此時(shí).〔2〕先求，，所以，故.3.解：〔1〕設(shè)對應(yīng)于2的一個(gè)特征向量為，那么與正交，即，其根基解系為，這是對應(yīng)于2的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.〔2〕令，，，令，那么.所以，.4.解：，所以，向量組線性相關(guān)，為最大無關(guān)組，并且四、證明題1.證：因?yàn)?，所以可逆，因而，即，所以與相似.2.證：為正定矩陣，那么特征值全為正數(shù).設(shè)的全部特征值為，那么，由于為正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得，即所以線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔七〕一、選擇題1.設(shè)、為階矩陣，那么下面必成立的是〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2.設(shè)為階矩陣，且，那么〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕3.設(shè)向量組的秩為3，那么〔〕。〔A〕任意三個(gè)向量線性無關(guān)〔B〕中無零向量〔C〕任意四個(gè)向量線性相關(guān)〔D〕任意兩個(gè)向量線性無關(guān)4.線性方程組，有解的充要條件是〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕5.階矩陣與對角矩陣相似的充要條件是〔〕?！睞〕的個(gè)特征值互不一樣〔B〕可逆〔C〕無零特征值〔D〕有個(gè)線性無關(guān)的特征向量二、填空題1.各列元素之和為0的階行列式的值等于。2.設(shè)三階矩陣，那么。3.設(shè)矩陣，，那么，，〔為正整數(shù)〕。4.設(shè)，，那么。5.設(shè)向量組線性無關(guān)，那么向量組，，線性。6.設(shè)三階可逆矩陣的特征值分別為2、3、5，那么，的伴隨矩陣的特征值為。7.設(shè)實(shí)二次型為正定二次型，那么參數(shù)的取值范圍是。三、計(jì)算題設(shè)，求矩陣。當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有〔1〕惟一解；〔2〕無解；〔3〕無窮多解，并求通解。設(shè)四維向量組，，，，，求該向量組的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。求一個(gè)正交變換，將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷該二次型是否正定。四、證明題設(shè)為階矩陣，如果，那么。設(shè)階矩陣，〔為正整數(shù)〕，那么不能與對角矩陣相似。線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔七〕參考答案一、選擇題1.D2.B3.C4.A5.D二、填空題1.2.3.,,4.25.無關(guān)6.30，15，10，67.三、計(jì)算題1.解：.2.解：線性方程組的系數(shù)行列式，〔1〕當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解；〔2〕當(dāng)時(shí)，，方程組無解；〔3〕當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有無窮多解，且通解為，為任意實(shí)數(shù).3.解：，所以，為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，且，4.解：二次型的矩陣，的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，，.對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為，單位化得；對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為，單位化得；對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為，單位化得.所求正交變換為，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，因?yàn)椋栽摱涡筒皇钦ǘ涡?四、證明題1.證：由，得，那么；又，所以.2.證：反證法，假設(shè)與對角矩陣相似，那么存在可你矩陣，使得，那么，從而，所以，，…，，因而，這與矛盾，故不能與對角矩陣相似.線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔八〕一、填空題1.設(shè)，那么A的伴隨矩陣。2.假設(shè)向量組線性無關(guān)，那么向量組是線性。3.設(shè)二次型為正定二次型，那么取值范圍為。4.設(shè)矩陣的秩為2，那么=。5.元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是；元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是。二、選擇題1.設(shè)與為階非零矩陣，且=0，那么與的秩〔〕〔A〕必有一個(gè)等于零〔B〕都小于〔C〕一個(gè)小于，一個(gè)等于〔D〕都等于2.設(shè)為階實(shí)矩陣，是的轉(zhuǎn)置矩陣，那么對于線性方程組〔Ⅰ〕：和〔Ⅱ〕：，必有〔〕〔A〕〔Ⅱ〕的解是〔Ⅰ〕的解，〔Ⅰ〕的解也是〔Ⅱ〕的解；〔B〕〔Ⅱ〕的解是〔Ⅰ〕的解，但〔Ⅰ〕的解不是〔Ⅱ〕的解；〔C〕〔Ⅰ〕的解不是〔Ⅱ〕的解，〔Ⅱ〕的解也不是〔Ⅰ〕的解；〔D〕〔Ⅰ〕的解是〔Ⅱ〕的解，但〔Ⅱ〕的解不是〔Ⅰ〕的解。3.設(shè)為階矩陣，且，那么必有〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4.設(shè)向量組那么該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.假設(shè)滿足條件〔〕，那么階方陣與相似?！睞〕(B)〔C〕與有一樣的特征多項(xiàng)式〔D〕與有一樣的特征值且個(gè)特征值各不一樣三、計(jì)算階行列式。四、求下面齊次線性方程組的根基解系：五、設(shè)，，求。六、設(shè)3階對稱矩陣的特征值為6，3，3，與特征值6對應(yīng)的特征向量為，求。七、求一個(gè)正交變換使化以下二次型成標(biāo)準(zhǔn)形：。八、設(shè)是一組維向量，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一維向量都可由它們線性表示。線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔八〕參考答案一、填空題1.，2.無關(guān)，3.，4.，5.系數(shù)矩陣的秩；系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。二、選擇題B2.A3.D4.B5.D三、解：=四、解：因此，所求的根基解系為，。五、解：，因?yàn)?，所以于是，。六、解：將單位化得，設(shè)正交變換矩陣為，使。因此是方程的解，于是，。并且。七、解：所以A的特征值為，，。當(dāng)時(shí)，由得,當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由得。于是，所求的正交變換為，的標(biāo)準(zhǔn)形為。八、證明：〔必要性〕設(shè)線性無關(guān)，并設(shè)是一個(gè)任意的維向量，于是由個(gè)向量構(gòu)成的向量組：，線性相關(guān)，由根據(jù)假設(shè)線性無關(guān)，得知必能由線性表示?！渤浞中浴吃O(shè)任一維向量都可以由線性表示，那么單位坐標(biāo)向量組能由向量組線性表示，因此又，從而，，因此線性無關(guān)。線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔九〕一、選擇題1.設(shè)為階矩陣，那么以下矩陣中不是對稱矩陣的是〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕2.向量組線性相關(guān)，那么〔〕。〔A〕可由線性表示〔B〕不可由線性表示〔C〕假設(shè)，那么可由線性表示〔D〕假設(shè)線性無關(guān)，那么可由線性表示3.設(shè)，那么當(dāng)〔〕時(shí)，?！睞〕1〔B〕〔C〕2〔D〕4.齊次線性方程組有非零解的充要條件是〔〕?！睞〕的列向量組線性無關(guān)〔B〕的列向量組線性相關(guān)〔C〕的行向量組線性無關(guān)〔D〕的行向量組線性相關(guān)5.設(shè)階矩陣的個(gè)特征值全為零，那么〔〕。〔A〕〔B〕只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量〔C〕不能與對角矩陣相似〔D〕當(dāng)與對角矩陣相似時(shí)，二、填空題1.設(shè)四階行列式的第一行元素分別為第一行元素的余子式分別為，那么。2.設(shè)，那么。3.設(shè)，，那么。4.設(shè)是由向量組，，，，所生成的向量空間，那么的維數(shù)為。5.設(shè)三階矩陣的特征值分別為1，2，3，那么的特征值為，。6.實(shí)二次型的矩陣為。三、計(jì)算題〔1.設(shè)三階矩陣、滿足，且，求。2.當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組〔1〕有惟一解；〔2〕無解；〔3〕有無窮多解，并求通解。3.設(shè)為三階矩陣，三維列向量組線性無關(guān)，且，，〔1〕求，使得；〔2〕求。4.設(shè)三階矩陣的特征值分別為，，，對應(yīng)的特征向量分別為，，求。四、證明題1.設(shè)為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，證明的秩。2.設(shè)維向量組線性無關(guān)，，，……，，證明：線性無關(guān)的充要條件是為奇數(shù)。線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔九〕參考答案一、選擇題1.B2.D3.A4.B5.D二、填空題〔每空格4分，共28分〕1.100，2.，3.2，4.3，5.，48，6.三、計(jì)算題1.解：由得，，所以從而，所以故。2.解：系數(shù)行列式，〔1〕當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解；〔2〕當(dāng)時(shí)，可見，，方程組無解?！?〕當(dāng)時(shí)，可見，方程組有無窮多解，并且由的行最簡形得，通解為，。3.解：〔1〕所以；〔2〕有〔1〕知因?yàn)?，線性無關(guān)，所以，因此。4.