【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國(guó)統(tǒng)編教材 12.1數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用（第2課時(shí)）課件 理

第十二章極限與導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用第講1（第二課時(shí)）1題型3

用數(shù)學(xué)歸納法探求數(shù)列的通項(xiàng)公式1.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=

，an(an+1-1)=n(an+1-

an)(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解：由已知可得因?yàn)閍1=1，a2=

，所以

由此猜想：2證明:(1)當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.綜合(1)(2)知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是3點(diǎn)評(píng)：“歸納—猜想—證明”是求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的常用方法，也是近幾年高考理科數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列問題的一個(gè)主要類型，應(yīng)引起足夠的重視.4數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N*).(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項(xiàng)公式an;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2-a1,所以a1=1;當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2=

;當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a3=

;當(dāng)n=4時(shí)，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,所以a4=

.由此猜想5(2)證明:①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，結(jié)論成立.②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí),結(jié)論成立，即那么當(dāng)n=k+1(k≥1且k∈N*)時(shí)，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以這表明n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由①②知，猜想

成立.6題型4用數(shù)學(xué)歸納法探求數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)2.已知兩個(gè)數(shù)列{an}、{bn}滿足：a1=2，b1=-1，且an=an-1·b=，試推測(cè)an+bn的變化規(guī)律，并證明你的結(jié)論.解：當(dāng)n=1時(shí)，a1+b1=1.因?yàn)樗詀2+b2=1，…由此猜測(cè)：an+bn=1.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1+b1=1顯然成立.7(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak+bk=1，即bk=1-ak成立，則ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.綜合(1)(2)知，對(duì)任意n∈N*，都有an+bn=1.故an+bn=1，為定值.8點(diǎn)評(píng)：探求數(shù)列中的有關(guān)性質(zhì)，一般是先觀察n=1，2，3時(shí)的命題的性質(zhì)，對(duì)這幾項(xiàng)進(jìn)行歸納、分析，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明.9已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，設(shè)bn=anan+1an+2，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，試推斷是否存在常數(shù)p，使對(duì)一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立？說(shuō)明你的理由.解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).由已知，得a2a8=a42，所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2，則a1=d，所以an=nd.10(1)當(dāng)n=1時(shí)，所所以以4a1S1=b1a4成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，4a1Sk=bkak+3成立,即則11所以4a1Sk+1=bk+1ak+4，即n=k+1時(shí)，有有4a1Sn=bnan+3成立.綜合(1)(2)知，存存在常常數(shù)p=4，使對(duì)一一切n∈N*，都有pa1Sn=bnan+3成立.123.已已知知數(shù)列列{an}滿足足:證明：：證法1：(1)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)，因?yàn)樗圆徊坏仁绞匠闪⒘?(2)假設(shè)設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等等式成成立，，即則題型5用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證數(shù)列列不等等式13因?yàn)樗?4所以即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，不等式式成立立.綜綜合(1)(2)知知，對(duì)任意意n∈N*都成成立.證法2：(1)當(dāng)n=1時(shí)，所以不等式式成立.當(dāng)n=2時(shí)，所以不等式式成立.15(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成成立，即因?yàn)楹瘮?shù)在［0，］］上是增函函數(shù)，所以16即所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成成立.綜合(1)(2)知，對(duì)對(duì)任意n∈N*都成立.17證法3：(1)同證法1.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式式成立，即若若則若18則所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式式成成立.綜合(1)(2)知，對(duì)任意n∈N*都成立.19點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納納法證明不不等式的關(guān)關(guān)鍵是“變變形”，即即在歸納假假設(shè)的基礎(chǔ)礎(chǔ)上通過放放縮、比較較、綜合等等證明不等等式的方法法，得到要要證明的目目標(biāo)不等式式.20已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)求證：證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，所以不等式式成立.(2)假設(shè)n=k時(shí)，不等式式成立，即成成立.21則當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式式成立.綜合(1)(2)知，對(duì)任意意n∈N*，不等式都成成立.221.數(shù)學(xué)歸納法法原理類似似于“多米米諾骨牌游游戲”，其其實(shí)質(zhì)是逐逐一驗(yàn)證對(duì)對(duì)一切從n0開始的正整整數(shù)，命題題都成立，，它是一種種從有限驗(yàn)驗(yàn)證無(wú)窮的的數(shù)學(xué)方法法.2.歸納法是推理理的方法，數(shù)數(shù)學(xué)歸納法是是證明的方法法，由歸納法法得出的結(jié)論論不一定正確確，只有用數(shù)數(shù)學(xué)歸納法證證明后才能確確定其真實(shí)性性.3.“歸納——猜想——證明”是求解解某些探索性性問題的一種種重要的思想想方法，它在在數(shù)列問題中中有著廣泛的的應(yīng)用，必須須熟練掌握.234.數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)應(yīng)用中的存在在性問題，應(yīng)應(yīng)先取特殊值值，求得參數(shù)數(shù)取值，然后后再用數(shù)學(xué)歸歸納法嚴(yán)格證證明，不需再再考慮參數(shù)其其他取值情況況.5.在用數(shù)學(xué)歸納納法證明數(shù)列列不等式時(shí)，，需要從問題題要證的結(jié)論