平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

人教A版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一、單選題1.已知向量滿足，則（

）A.

4

B.

3

C.

D.

2.已知向量，則＝（

）A.

B.

C.

4

D.

53.已知向量，且，則實(shí)數(shù)（

）A.

B.

C.

D.

4.已知向量，滿足，則向量與的夾角的余弦值為（

）A.

B.

C.

D.

5.已知向量，若，則的值為(

)．A.

B.

C.

D.

6.設(shè)向量，，則（

）A.

B.

C.

D.

7.已知銳角的外接圓的圓心為，半徑為，且，則等于（

）A.

B.

C.

D.

8.在中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則（

）A.

B.

C.

D.

9.已知向量，的夾角為，且，，，則（

）A.

B.

C.

D.

10.如圖，在等腰直角中，，分別為斜邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過作的垂線，垂足為，則（

）A.

B.

C.

D.

11.如圖，四邊形ABCD中，，E為線段AC上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A.

B.

C.

D.

12.已知向量滿足，點(diǎn)在內(nèi)，且，設(shè)，若，則（

）A.

B.

4

C.

D.

13.在中，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的外心，則的值為（

）A.

17

B.

10

C.

D.

14.如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A.

B.

C.

D.

二、填空題15.已知向量，，與的夾角為，則實(shí)數(shù)________.16.已知向量（1，1），（﹣1，3），（2，1），且（）∥，則λ＝________.17.設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，，若（λ1，λ2為實(shí)數(shù)），則λ1+λ2＝________．18.已知向量，若向量與共線，則向量在向量放向上的投影為________．19.已知兩個(gè)單位向量滿足，則的夾角為________．20.如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量，則λ+μ的最小值為________．三、解答題21.如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A=60°，D為線段BC中點(diǎn)，E為線段AD中點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.22.設(shè)兩個(gè)向量、，滿足，，、的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.23.已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥，求||（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍．（3）若||=2，求與垂直的單位向量的坐標(biāo)．24.已知三個(gè)點(diǎn)A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（1）求證：；（2）要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值．

答案解析部分一、單選題1.答案：A解：由題,則,故選:A【分析】由題,進(jìn)而代入求解即可.2.答案：D解：因?yàn)?，故可得，?故選：D.【分析】先計(jì)算的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求解模長(zhǎng)即可.3.答案：A解：由得，。故答案為：A.【分析】先求出向量的坐標(biāo)，由得，代入坐標(biāo)求出k的值．4.答案：B解：設(shè)向量與的夾角為，所以.故答案為：B.【分析】直接根據(jù)向量的夾角公式求得余弦值.5.答案：C解：由于，故，解得.故答案為：:C.

【分析】由已知，利用向量共線的坐標(biāo)表示列式，即可求出x的值.6.答案：B解：由，，可得：.故答案為：B.【分析】直接利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算即可.7.答案：A解：由題,因?yàn)?所以,所以,所以,故選:A【分析】由題可分析,再利用數(shù)量積求得,進(jìn)而由三角形性質(zhì)求解即可.8.答案：B解：.故選：B【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則即可求解.9.答案：A解：因?yàn)?，所以，所以，解得：或，由，所以，故答案為：A.【分析】對(duì)兩邊平方，轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程，根據(jù)，得到．10.答案：D解：設(shè)，則，，，所以，所以.因?yàn)?，所?故答案為：D【分析】設(shè)出等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，由此結(jié)合余弦定理求得各邊長(zhǎng)，并求得，由此得到，進(jìn)而利用平面向量加法和減法的線性運(yùn)算，將表示為以為基底來表示的形式.11.答案：A解：因?yàn)槿c(diǎn)共線,設(shè),因?yàn)?所以,解得.故答案為：A【分析】由三點(diǎn)共線,設(shè),用,作基底表示出,利用平面向量的基本定理列方程組,解方程組求得的值.12.答案：C解：由得，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，不妨設(shè)，，由得，

故答案為：C【分析】根據(jù)題意由得，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由，不妨設(shè)，，則，再利用正切的定義結(jié)合建立關(guān)于的等式，即可解出的值。13.答案：D解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈耐庑?，，，，，同理可得，故答案為：D.【分析】將用向量和表示出來，再代入得，，求出代入即可得出答案.14.答案：C解：由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故答案為：C．【分析】由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到（1﹣m），從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程，求出t的值.二、填空題15.答案：1解：∵向量，，與的夾角為，∴，，根據(jù)數(shù)量積定義，解得.故答案為：1.【分析】根據(jù)向量的夾角公式可得關(guān)于m的方程，計(jì)算求解即可．16.答案：解：向量（1，1），（﹣1，3），（2，1），所以（1+λ，1﹣3λ），又（）∥，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ.故答案為：.【分析】先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求出．17.答案：解：由題,因?yàn)?所以,所以,,則,故答案為:【分析】由題可得,進(jìn)而利用平面向量分解定理求解即可.18.答案：0解：向量，，向量，∵向量與共線，∴，即，∴向量，∴向量在向量方向上的投影為，故答案為0.【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算代入數(shù)值求出λ的值，進(jìn)而得出向量a的坐標(biāo)從而求出向量a在向量b方向上的投影的值。19.答案：解：因?yàn)?是單位向量,所以,因?yàn)?所以,所以,所以,因?yàn)?所以,又,所以.故答案為:【分析】將已知等式兩邊平方后,利用向量的夾角公式可解得.20.答案：解：以A為原點(diǎn)，以AB所在的為x軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．

設(shè)P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．

再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），

∴，∴，

∴λ+μ===﹣1+．

由題意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．

求得（λ+μ）′==＞0，

故λ+μ在[0，]上是增函數(shù)，故當(dāng)θ=0時(shí)，即cosθ=1，這時(shí)λ+μ取最小值為=，

故答案為：．

【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根據(jù)cosθ，sinθ的取值范圍，再結(jié)合λ+μ的單調(diào)性，求出λ+μ=的最小值．三、解答題21.答案：（1）解：由題意得,,

（2）解：【分析】(1)以,為基底分別表示出,直接求兩向量的內(nèi)積即可;(2)以,為基底分別表示出,直接求兩向量的數(shù)量積即可.22.答案：解：由已知得,，.∴()

()

欲使夾角為鈍角，需.得

設(shè)

()()

∴，此時(shí).即時(shí)，向量與的夾角為.∴夾角為鈍角時(shí)，的取值范圍是【分析】利用數(shù)量積公式結(jié)合已知條件向量與向量的夾角為鈍角，變形求出t的取值范圍。23.答案：（1）解：若，則﹣x﹣（2x+3）x=0，解得x=0或x=﹣2，當(dāng)x=0時(shí)，=（﹣2，0），∴||=2，當(dāng)x=﹣2時(shí)，=（2，﹣4），∴||=2

（2）解：若與夾角為銳角，則＞0，即2x+3﹣x2＞0，∴﹣1＜x＜3，由（1）可知當(dāng)x=0時(shí)，，此時(shí)，的夾角為0，不符合題意，舍去，∴x的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，3）

（3）解：∵||=2，∴1+x2=4，解得x=±，設(shè)=（m，n），則m+nx=0，且m2+n2=1，∴當(dāng)x=時(shí)，，解得或；當(dāng)x=﹣時(shí)，，解得或，所以當(dāng)x=時(shí)，的坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，），當(dāng)x=﹣時(shí)，的坐標(biāo)為（，）或（﹣，﹣）【分析】（1）根據(jù)向量平面列方程解出x，求出的坐標(biāo)即可得出||；（2）令cos＜＞＞0，解出x，再去掉共線的情況即可；（3）根據(jù)||=2計(jì)算x，設(shè)=（m，n），列方程組解出即可．24.答案：（1）證明：A（2，1），B（3，