圓的一般方程2

圓的一般方程課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的一般方程.2.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程.通過(guò)推導(dǎo)圓的一般方程，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究人們向往圓滿的人生，對(duì)于象征著團(tuán)圓、和諧、美滿的中秋圓月更是情有獨(dú)鐘！有詩(shī)道：“明月四時(shí)有，何事喜中秋？瑤臺(tái)寶鑒，宜掛玉宇最高頭；放出白豪千丈，散作太虛一色.萬(wàn)象入吾眸，星斗避光彩，風(fēng)露助清幽.”圓是完美的圖形，這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系下有關(guān)圓的知識(shí).問(wèn)題一個(gè)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？若是圓，它的圓心坐標(biāo)和半徑分別是什么？提示當(dāng)滿足D2＋E2－4F>0時(shí)才表示圓，圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).1.圓的一般方程的定義圓的一般方程中有三個(gè)待定系數(shù)D，E，F(xiàn)，因此只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就明確了將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的左邊配方，并把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(D2＋E2－4F,4).(1)當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).(3)當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何圖形.2.用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；(3)解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.拓展深化[微判斷]1.圓的一般方程可以化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(√)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個(gè)圓的方程.(×)提示當(dāng)滿足D2＋E2－4F>0時(shí)，此方程才表示圓的方程.3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.(√)[微訓(xùn)練]1.圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是()A.(2，3) B.(－2，3)C.(－2，－3) D.(2，－3)答案D2.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的圖形是()A.以(a，b)為圓心的圓B.以(－a，－b)為圓心的圓C.點(diǎn)(a，b)D.點(diǎn)(－a，－b)答案D3.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，以4為半徑的圓，則F＝________.解析由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＝2，,－\f(E,2)＝－4，,\f(\r(D2＋E2－4F),2)＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝8，,F＝4.))答案4[微思考]1.若圓心是原點(diǎn)時(shí)，圓的一般方程應(yīng)為怎樣的形式？提示x2＋y2＋F＝0(F<0).2.若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，需滿足什么條件？提示①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.題型一圓的一般方程的概念【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并寫(xiě)出圓心坐標(biāo)和半徑.解由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，解得m<eq\f(1,5)，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))).圓心坐標(biāo)為(－m，1)，半徑為eq\r(1－5m).規(guī)律方法方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的兩種判斷方法(1)配方法.對(duì)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通過(guò)配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察是否表示圓.(2)運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解，即通過(guò)判斷D2＋E2－4F是否為正，確定它是否表示圓.特別提醒在利用D2＋E2－4F>0來(lái)判斷二元二次方程是否表示圓時(shí)，務(wù)必注意x2及y2的系數(shù).【訓(xùn)練1】(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓，則圓心坐標(biāo)和半徑分別為_(kāi)_______；(2)點(diǎn)M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，則該圓的面積為_(kāi)_______.解析(1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,2)，故圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，半徑為eq\f(\r(2)|a|,2).(2)圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1))，由圓的性質(zhì)知直線x－y＋1＝0經(jīng)過(guò)圓心，∴－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，圓x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半徑為eq\f(1,2)eq\r(42＋22＋16)＝3，∴該圓的面積為9π.答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq\f(\r(2)|a|,2)(2)9π題型二求圓的一般方程【例2】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圓的方程.解設(shè)△ABC外接圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))即△ABC外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.規(guī)律方法待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟(1)根據(jù)題意設(shè)所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組.(3)解此方程組，求出D，E，F(xiàn)的值.(4)將所得的值代回所設(shè)的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程.【訓(xùn)練2】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)和(－2，－6)，該圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)截距之和為－2，求圓的方程.解設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)和(－2，－6)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4D＋2E＋F＋20＝0，①,2D＋6E－F－40＝0.②))設(shè)圓在x軸上的截距為x1，x2，則它們是方程x2＋Dx＋F＝0的兩個(gè)根，故x1＋x2＝－D.設(shè)圓在y軸上的截距為y1，y2，則它們是方程y2＋Ey＋F＝0的兩個(gè)根，故y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③聯(lián)立①②③，解得D＝－2，E＝4，F(xiàn)＝－20.∴所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.題型三求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程角度1直接法求軌跡方程【例3－1】求到點(diǎn)O(0，0)的距離是到點(diǎn)A(3，0)的距離的eq\f(1,2)的點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，則eq\f(|MO|,|MA|)＝eq\f(1,2).∴eq\f(\r(x2＋y2),\r(（x－3）2＋y2))＝eq\f(1,2).化簡(jiǎn)，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝4.角度2代入法求軌跡方程【例3－2】已知點(diǎn)P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運(yùn)動(dòng)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)P(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y.))∵點(diǎn)P(x0，y0)在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－8x0－6y0＋21＝0.∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，即點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2－4x－3y＋eq\f(21,4)＝0.角度3定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【例3－3】已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程.解法一設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3，且x≠－1.又因?yàn)閗AC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡(jiǎn)，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法二同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法三設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得D(1，0).由直角三角形的性質(zhì)，知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，以2為半徑長(zhǎng)的圓(因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).設(shè)C(x，y)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).規(guī)律方法求軌跡方程的三種常用方法(1)直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然后化簡(jiǎn)、證明.(2)定義法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(3)代入法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于某圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)而運(yùn)動(dòng)，把x1，y1用x，y表示，再將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中，得點(diǎn)P的軌跡方程.特別提醒在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)易出現(xiàn)不符合條件的點(diǎn)仍在所求的軌跡上，故應(yīng)排除不合適的點(diǎn).【訓(xùn)練3】已知△ABC的邊AB長(zhǎng)為4，若BC邊上的中線為定長(zhǎng)3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，則點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)C(x，y)，BC中點(diǎn)D(x0，y0).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y(tǒng)0.))①∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq\o\al(2,0)＝9.②將①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵點(diǎn)C不能在x軸上，∴y≠0.綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(－6，0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12，0)和(0，0)兩點(diǎn).軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.圓的一般方程具有的特征(1)x2，y2項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等.(2)沒(méi)有xy項(xiàng).(3)D2＋E2－4AF>0.3.圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地表達(dá)了圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑.(2)圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，圓心和半徑需要代數(shù)運(yùn)算才能得出.(3)二者可以互化：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)成二元二次方程的形式即得一般方程，將圓的一般方程配方即得標(biāo)準(zhǔn)方程.特別提醒對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的一般方程時(shí)要特別注意D2＋E2－4F>0這一條件.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面積為()π ππ D.π解析原方程可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半徑r＝eq\r(2)，∴圓的面積為S＝πr2＝2π.答案C2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析若方程表示圓，則1＋1－4k>0，∴k<eq\f(1,2).答案D(3，0)是圓x2＋y2－8x－2y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦所在的直線方程是()＋y－3＝0 －y－3＝0－y－6＝0 ＋y－6＝0解析過(guò)點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦所在的直線應(yīng)為過(guò)點(diǎn)M的直徑所在的直線.易得圓的圓心為(4，1)，則所求直線的方程為eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即x－y－3＝0.答案B4.(多填題)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________.解析∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.當(dāng)a＝－1時(shí)，方程化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圓的圓心坐標(biāo)為(－2，－4)，半徑為5；當(dāng)a＝2時(shí)，方程化為x2＋y2＋x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，此時(shí)D2＋E2－4F＝1＋4－4×eq\f(5,2)＝－5<0，方程不表示圓.答案(－2，－4)55.如圖，已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡.解設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)，由于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4，3)且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，所以4＝eq\f(x0＋x,2)，3＝eq\f(y0＋y,2)，于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＝4，②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以點(diǎn)B的軌跡是以(9，6)為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑長(zhǎng)分別為()A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2，3)，4 D.(2，－3)，16解析由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圓心為(－2，3)，半徑長(zhǎng)為4.答案C2.已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過(guò)點(diǎn)A(1，0)，則圓C的圓心的軌跡是()A.點(diǎn) B.直線C.線段 D.圓解析∵圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過(guò)點(diǎn)A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圓C的圓心的軌跡是以(1，0)為圓心，1為半徑的圓.故選D.答案D3.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過(guò)定點(diǎn)C，則以C為圓心，eq\r(5)為半徑的圓的方程為()＋y2－2x＋4y＝0 ＋y2＋2x＋4y＝0＋y2＋2x－4y＝0 ＋y2－2x－4y＝0解析直線(a－1)x－y＋a＋1＝0可化為(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0，))得C(－1，2).∴圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.答案C4.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓，則該圓的圓心在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是圓，又方程可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋(y－a)2＝－eq\f(3,4)a2－3a，故圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，a))，r2＝－eq\f(3,4)a2－3a.由r2>0，即－eq\f(3,4)a2－3a>0，解得－4<a<0，故該圓的圓心在第四象限.答案D5.圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的圓的方程是()A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圓心C(2，－1).設(shè)圓心C關(guān)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為C′(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－（－1）,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2，3)，∴圓C關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的圓的方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝5.答案C二、填空題6.已知點(diǎn)A(1，2)在圓x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.解析因?yàn)锳(1，2)在圓x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0內(nèi)，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.又由4＋9－4m＞0，得m＜eq\f(13,4).故m＜－13.答案(－∞，－13)7.過(guò)三點(diǎn)O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圓的方程為_(kāi)_______.解析設(shè)過(guò)三點(diǎn)O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))故所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0.答案x2＋y2－8x＋6y＝08.已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝eq\r(8－x2＋2x)，則t＝eq\f(y＋3,x＋1)的取值范圍是________________.解析由y＝eq\r(8－x2＋2x)得(x－1)2＋y2＝9(y≥0)，它表示以(1，0)為圓心，3為半徑的在x軸上方的半圓(含x軸)，故t可以看作半圓上的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(－1，－3)連線的斜率.如圖：A(－1，－3)，B(4，0)，C(－2，0)，則kAB＝eq\f(3,5)，kAC＝－3，∴t≤－3或t≥eq\f(3,5).答案(－∞，－3]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞))三、解答題9.已知P是圓x2＋y2＝16上的動(dòng)點(diǎn)，A(12，0)，M為PA的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)M(x，y)，∵A(12，0)，M為PA的中點(diǎn)，∴P(2x－12，2y).∵P為圓x2＋y2＝16上的動(dòng)點(diǎn)，∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.故所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝4.10.已知一圓過(guò)P(4，－2)，Q(－1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4eq\r(3)，求圓的方程.解法一設(shè)圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，①將P，Q的坐標(biāo)分別代入①，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20，②,D－3E－F＝10，③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程④的兩根.∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②③⑤聯(lián)立成的方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故所求方程為：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.法二求得PQ的中垂線方程為x－y－1＝0.①∵所求圓的圓心C在直線①上，故設(shè)其坐標(biāo)為(a，a－1)，又圓C的半徑r＝|CP|＝eq\r(（a－4）2＋（a＋1）2).②由已知圓C截y軸所得的線段長(zhǎng)為4eq\r(3)，而圓心C到y(tǒng)軸的距離為|a|，故r2＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))eq\s\up12(2)，代入②并將兩端平方，并整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5.∴當(dāng)圓心為(1，0)時(shí)，半徑r1＝eq\r(13)；當(dāng)圓心為(5，4)時(shí)，半徑r2＝eq\r(37).故所求圓的方程為：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.能力提升11.若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長(zhǎng)，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為()\r(5) \r(5) 解析由x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0知圓心為M(－2，－1).由題意知直線l過(guò)圓心M(－2，－1)，則－2a－b＋1＝0，則b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為5.答案B12.設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作?MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f