2015年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解析01

2015年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解析01一、求極限

【解】上連續(xù)，故因在存在，且所以，二、請(qǐng)問何值時(shí)下式成立

【解】因此要想極限存在，分子必時(shí)使用洛必達(dá)法則得到cba,,注意到左邊得極限中，無論為何值總有分母趨于零，，當(dāng)須為無窮小量，于是可知必有由上式可知：當(dāng)時(shí)，若，則此極限，則存在，且其值為0；若綜上所述，得到如下結(jié)論：或。三、計(jì)算定積分?！窘狻孔髯儞Q，則

，

所以，。練習(xí)：計(jì)算二重積分四、求數(shù)列中的最小項(xiàng)?！窘狻恳?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù)當(dāng)x分別取時(shí)的數(shù)列。又且令，容易看出：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以，有唯一極小值。而，因此數(shù)列的最小項(xiàng)。五、求【解】當(dāng)時(shí)，收斂；?？紤]冪級(jí)數(shù),其收斂半徑為1，收斂區(qū)間為時(shí)，當(dāng)發(fā)散，因此其收斂域?yàn)椤ＴO(shè)其和函數(shù)為,則，于是，故，。六、設(shè)，其中【解】上式兩端對(duì)求導(dǎo)得（*）為連續(xù)函數(shù)，求。原方程可寫為，

求導(dǎo)得兩端再對(duì)即這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程，，由（*）式知特征方程為，齊次通解為由原方程知設(shè)非齊次方程特解為，代入得則非齊次方程通解為由初始條件和可知，七、在過點(diǎn)和的曲線族中，求一條曲線L，使沿該曲線從o到A的積分的值最小?！窘狻?；令，得;且是在(0,+∞)內(nèi)的唯一極值點(diǎn)，故又，則在處取極小值，時(shí),取最小值，則所求曲線為八、設(shè)f(x)在[?1,1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：，x∈[?1,1]。。1．2.f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根?！咀C明】1.由泰勒公式，兩式相減并整理得于是,由于，因此，。2.令,則，。但F(x)在[?1,1]上連續(xù),由介值定理知,F(x)在[?1,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。又由1可知，故這樣F(x)在[?1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在[?1,1]上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。九、設(shè)在為連續(xù)函數(shù),則【解】令則，則所以。即

c為常數(shù)。而，特別地,

即十、設(shè)是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，證明?！咀C法一】設(shè)。由于，所以【證法二】十一、求下列極限，1、2、3、4、提示：級(jí)數(shù)收斂域?yàn)閯t于是所以，原極限5