空間直線平面的垂直

人教A版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)空間直線、平面的垂直一、單選題1.已知三棱錐A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有（

）A.

平面ABC⊥平面ADC

B.

平面ADC⊥平面BCD

C.

平面ABC⊥平面BDC

D.

平面ABC⊥平面ADB2.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為

A.

B.

C.

D.

3.已知三棱錐中,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,作面ABC,垂足為O，則點(diǎn)O是的（

）A.

外心

B.

內(nèi)心

C.

重心

D.

垂心4.下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A.

如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β

B.

如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β

C.

如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ

D.

如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β5.如圖，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直徑，C是☉O上的一點(diǎn)，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，給出下列結(jié)論：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A.

1

B.

2

C.

3

D.

46.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.

∥

B.

∥平面

C.

D.

平面7.如圖所示，平面四邊形中，，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A.

B.

C.

D.

8.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C，D的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，則下列說(shuō)法中正確的有（

）①存在點(diǎn)E使得直線SA⊥平面SBC；②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行；④存在點(diǎn)E使得SE⊥BA．A.

1個(gè)

B.

2個(gè)

C.

3個(gè)

D.

4個(gè)9.在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC=4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為(

)A.

2

B.

C.

4

D.

410.如圖所示，在正方形中，分別是的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為.給出下列關(guān)系：①平面；②平面；③；④上平面.其中關(guān)系成立的有（

）A.

①②

B.

①③

C.

②③

D.

③④11.在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是（

）

A.

銳角三角形

B.

直角三角形

C.

鈍角三角形

D.

不能確定12.如圖，已知是頂角為的等腰三角形，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).將沿折起，使得，則此時(shí)直線與平面所成角的正弦值為（

）A.

B.

C.

D.

二、填空題13.如圖，直線AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．

14.在直三棱柱中，.有下列條件：①；②；③.其中能成為的充要條件的是________．（填上序號(hào)）15.如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，則a的值等于________

16.設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E（如圖），AE=EB=DE=2．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B為90°，P，Q分別是線段AE和線段EB上任意一點(diǎn)，若MQ⊥PN時(shí)，求PQ長(zhǎng)度的取值范圍________

三、解答題17.如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（1）求證：BC⊥面CDE;（2）在線段AE上是否存在一點(diǎn)R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出點(diǎn)R的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，變?yōu)椋移矫嫫矫?（1）求證：；（2）求二面角的大小.19.如圖，矩形中，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將矩形沿著對(duì)角線折成二面角，使得．

（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）試求的長(zhǎng)，使得二面角的大小為．20.如圖，在多面體中，是平行四邊形，，，兩兩垂直.（1）求證：平面平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.21.在三棱柱

中，

平面

，其垂足

落在直線

上.（1）求證：

；（2）若

為

的中點(diǎn)，求三棱錐

的體積.

22.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若直線平面，試確定點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)在正方體的上底面上運(yùn)動(dòng)，求總能使與垂直的點(diǎn)所形成的軌跡的長(zhǎng)度.（直接寫(xiě)出答案）

答案解析部分一、單選題1.B2.A3.D4.D5.C6.C7.D9.B10.B12.A二、填空題14.①③16.[,1]三、解答題17.答案：（1）解：由已知得：，,面．，又，面；（2）解：分析可知，點(diǎn)滿足時(shí)，面面．理由如下：取中點(diǎn)，連接、、、、容易計(jì)算，在中，由平行四邊形性質(zhì)得,所以可知，在中，，．又在中，，為中點(diǎn)，因?yàn)槊?，因?yàn)?面面．18.答案：（1）證明：∵，，∴，∴，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，∵

平面平面，∴平面，∴從而平面，∴（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，從而=（4,0,0），，.設(shè)為平面的法向量，則可以取設(shè)為平面的法向量，則可以取因此，，有，即平面平面，故二面角的大小為.19.答案：解：（Ⅰ）連結(jié)，．

在矩形中，,

,．

在中，∵,

，

∵，

，即．

又在中，

，

∴在中，,

,

又,

∴平面．

∴．

（Ⅱ）解：在矩形中，過(guò)作于，并延長(zhǎng)交于.沿著對(duì)角線翻折后，由（Ⅰ）可知，兩兩垂直，

以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

,

平面,為平面的一個(gè)法向量．

設(shè)平面的法向量為

，,

由得

取則

,．

即,．

當(dāng)時(shí)，二面角的大小是20.答案：（1）證明：∵，，，∴平面，∵是平行四邊形，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解:連接．∵，，兩兩互相垂直，，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴．又由（Ⅰ）知平面，∴，∴．設(shè)到平面的距離為，所以由，得，所以，即到平面的距離為．21.答案：（1）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A1A⊥BC∵AD⊥平面A1BC，且BC?平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1?平面A1AB，AD?平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B?平面A1BC，∴BC⊥A1B；（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，=

，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，AA=AB

tan60=2

由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB?平面A1AB，從而B(niǎo)C⊥AB，=AB

BC=

22=