向量數(shù)量積的運(yùn)算律學(xué)案

8.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過向量數(shù)量積的定義給出向量數(shù)量積的運(yùn)算律．(難點(diǎn))2.能利用運(yùn)算律進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算．(重點(diǎn)，難點(diǎn))【核心素養(yǎng)】1.通過向量加法與數(shù)乘運(yùn)算律得到數(shù)量積的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2.利用平面向量的運(yùn)算律進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【新知探究】1.兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.思考1：根據(jù)實(shí)數(shù)乘法的分配律，得到向量數(shù)量積的分配律：(1)實(shí)數(shù)a，b，c的乘法分配律：(a＋b)·c＝______.(2)向量a，b的數(shù)量積的分配律：(a＋b)·c＝____.[提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c2.重要公式：平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式(a±b)2＝a2±2a·b＋b思考2：根據(jù)實(shí)數(shù)的乘法公式，得到向量數(shù)量積的公式：(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；向量數(shù)量積公式：(a＋b)(a－b)＝________.(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；向量數(shù)量積公式：(a±b)2＝__________.[提示](1)a2－b2；a2－b2(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b【小試身手】1.下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2C．3 D．4C[①②③正確，④錯(cuò)誤，⑤錯(cuò)誤，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，選C．]2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，a與b的夾角為90°，b與c的夾角為45°，則a·(b·c)的化簡結(jié)果是()A．0 B．a(chǎn)C．b D．cB[b·c＝|b||c|cos45°＝1.∴a·(b·c)＝a.]3.已知|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為60°，那么向量|a－4b|2＝()A．2 B．2eq\r(3)C．6 D．12D[∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×124．設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結(jié)論：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正確的序號(hào)是________．①③④[根據(jù)向量積的分配律知①正確；因?yàn)閇(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，②錯(cuò)誤；因?yàn)閍，b不共線，所以|a|，|b|，|a－b|組成三角形三邊，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正確；④正確．故正確命題的序號(hào)是①③④.]利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算【例1】(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝________.(2)(2019·東營高一檢測)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，a＝eq\r(3)e1－e2，b＝e1＋λe2.①若a⊥b，求實(shí)數(shù)λ的值；②若a與b的夾角為60°，求實(shí)數(shù)λ的值．[思路探究](1)利用向量垂直的充要條件轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計(jì)算．(2)利用平面向量的數(shù)量積公式以及運(yùn)算律，解方程求參數(shù)的值．(1)18[在平行四邊形ABCD中，得eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)).由AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，得eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝0?eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→)).所以eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝－2eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝2|eq\o(AP,\s\up8(→))||eq\o(AB,\s\up8(→))|cos〈eq\o(AP,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝2|eq\o(AP,\s\up8(→))|2＝18.](2)[解]①由a⊥b,得a·b＝0，則(eq\r(3)e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得eq\r(3)eeq\o\al(2,1)＋eq\r(3)λe1·e2－e1·e2－λeeq\o\al(2,2)＝0，eq\r(3)－λ＝0，所以λ＝eq\r(3).②因?yàn)閑q\r(3)e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，所以cos〈eq\r(3)e1－e2，e1＋λe2〉＝eq\f(1,2)，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)e1－e2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋λe2))＝eq\r(3)eeq\o\al(2,1)＋eq\r(3)λe1·e2－e1·e2－λeeq\o\al(2,2)＝eq\r(3)－λ，|eq\r(3)e1－e2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)e1－e2))eq\s\up8(2))＝eq\r(3e\o\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\o\al(2,2))＝2，|e1＋λe2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋λe2))eq\s\up8(2))＝eq\r(\o(e\o\al(2,1)＋2λe1·e2＋λ2e\o\al(2,2)))＝eq\r(1＋λ2)，∴eq\r(3)－λ＝2×eq\r(1＋λ2)×cos60°＝eq\r(1＋λ2)，解得λ＝eq\f(\r(3),3).利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算的注意事項(xiàng)1計(jì)算λa＋μb·λa＋μb，可以類比多項(xiàng)式乘法運(yùn)算律，注意實(shí)數(shù)的乘法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積在表示和意義的異同.2三個(gè)實(shí)數(shù)的積滿足結(jié)合律abc＝abc＝acb，而三個(gè)向量的“數(shù)量積”不一定滿足結(jié)合律，即下列等式不一定成立：a·b·c＝a·b·c＝a·c·b，這是因?yàn)樯鲜降谋举|(zhì)為λc＝μa＝kb，當(dāng)三個(gè)向量不共線時(shí)，顯然等式不成立.1.已知△ABC外接圓半徑是1，圓心為O，且3eq\o(OA,\s\up8(→))＋4eq\o(OB,\s\up8(→))＋5eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝()A．eq\f(8,5)B．eq\f(7,5)C．－eq\f(1,5)D．eq\f(4,5)C[由3eq\o(OA,\s\up8(→))＋4eq\o(OB,\s\up8(→))＋5eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，得5eq\o(OC,\s\up8(→))＝－3eq\o(OA,\s\up8(→))－4eq\o(OB,\s\up8(→))，兩邊平方，得25eq\o(OC,\s\up8(→))2＝9eq\o(OA,\s\up8(→))2＋16eq\o(OB,\s\up8(→))2＋24eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))，因?yàn)椤鰽BC外接圓半徑是1，圓心為O，所以25＝9＋16＋24eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))，即eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝0.所以eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)(5eq\o(OC,\s\up8(→)))·(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,5)(－3eq\o(OA,\s\up8(→))－4eq\o(OB,\s\up8(→)))·(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,5)(－3eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＋3eq\o(OA,\s\up8(→))2－4eq\o(OB,\s\up8(→))2＋4eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,5).]利用平面向量的數(shù)量積證明幾何問題【例2】如圖，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2EB．求證：AD⊥CE.[思路探究]借助平面向量垂直的充要條件解題，即通過計(jì)算eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝0完成證明．[證明]設(shè)此等腰直角三角形的直角邊長為a，則eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up8(→))＋\o(CD,\s\up8(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up8(→))＋\o(AE,\s\up8(→))))＝eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝－a2＋0＋a·eq\f(2\r(2),3)a·eq\f(\r(2),2)＋eq\f(a,2)·eq\f(2\r(2),3)a·eq\f(\r(2),2)＝－a2＋eq\f(2,3)a2＋eq\f(1,3)a2＝0.所以AD⊥CE.利用向量法證明幾何問題的方法技巧1利用向量表示幾何關(guān)系，如位置關(guān)系、長度關(guān)系，角度關(guān)系.2進(jìn)行向量計(jì)算，如向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算.3將向量問題還原成幾何問題，如向量共線與三點(diǎn)共線或者直線平行，向量的夾角與直線的夾角等.2.在邊長為1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是線段CD上一點(diǎn)，滿足|eq\o(CE,\s\up8(→))|＝2|eq\o(DE,\s\up8(→))|，如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(BE,\s\up8(→))；(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)F滿足AF⊥BE？若存在，確定F點(diǎn)的位置，并求|eq\o(AF,\s\up8(→))|；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解](1)根據(jù)題意得：eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)a，∴eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝b－eq\f(2,3)a；(2)結(jié)論：在線段BC上存在使得4|eq\o(BF,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|的一點(diǎn)F滿足AF⊥BE，此時(shí)|eq\o(AF,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(,21),4).理由如下：設(shè)eq\o(BF,\s\up8(→))＝teq\o(BC,\s\up8(→))＝tb，則eq\o(FC,\s\up8(→))＝(1－t)b，(0≤t≤1)，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝a＋tb，∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠A＝60°，∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos60°＝eq\