【全程復(fù)習(xí)方略】（廣東專用）年高考數(shù)學(xué) 第六章 第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A

第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)證明當(dāng)n取__________________時(shí)命題成立，這一步是歸納奠基.(2)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)______時(shí)命題也成立，這一步是歸納遞推.完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.第一個(gè)值n0(n0∈N*)n=k+1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.()【解析】(1)錯(cuò)誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)可取值時(shí)結(jié)論成立，第一個(gè)可取值不一定是1.(2)錯(cuò)誤.例如，證明等式時(shí)，也可直接運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式證明.(3)錯(cuò)誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)必須用上，否則就不是用數(shù)學(xué)歸納法證明.(4)錯(cuò)誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)項(xiàng)數(shù)不一定都增加了一項(xiàng).(5)正確.當(dāng)n=1時(shí)左邊式子一共有4項(xiàng)，為1+2+22+23.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n取何值時(shí)成立()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選C.由已知條件n≥3,n∈N知，應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)不等式成立.2.若則f(1)為()(A)1(B)(C)1+(D)【解析】選D.f(1)=3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，在第二步證明從n＝k到n＝k＋1成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是()(A)2k(B)2k-1(C)2k-1(D)2k+1【解析】選A.增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故選A.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*)，由n=k到n=k+1時(shí)，等式左邊的變化是()(A)多乘了(2k+1)(B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2)(D)多乘了2(k+1)【解析析】選B.當(dāng)n=k時(shí)，，左邊邊=(k+1)(k+2)…(k+k),當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，左左邊=［(k+1)+1］[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1),所以多多乘了了2(2k+1).5．在在數(shù)列列{an}中，a1＝且Sn=n(2n-1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式，，其結(jié)果是是_______.【解析】由a1＝且Sn=n(2n-1)an得，a2＝，a3＝，a4＝，而可得答案:考向1用數(shù)學(xué)歸納納法證明等等式【典例1】】(2012·天津高高考)已知知{an}是等差數(shù)數(shù)列，其前前n項(xiàng)和為為Sn，{bn}是等比數(shù)數(shù)列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10.(1)求求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公公式.(2)記記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn(n∈N*)，證明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).【思路點(diǎn)撥撥】(1)第一一問可分別別求出公差差和公比即即得通項(xiàng)公公式.(2)第二問問可用數(shù)學(xué)學(xué)歸納法證證明等式成成立.【規(guī)范解答答】(1)設(shè)等等差數(shù)列{an}的公差為為d，等比比數(shù)列{bn}的公比為q，由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由條件得方程程組：an=3n-1,bn=2n(n∈N*).(2)下面用數(shù)學(xué)歸歸納法證明等等式Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.①當(dāng)n=1時(shí)，T1+12=a1b1+12=16，而-2a1+10b1=16,故等式成立；；②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥≥1,且k∈N*)時(shí)等式成立，，即Tk+12=-2ak+10bk,則當(dāng)n=k+1時(shí)有：Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12.即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1時(shí)等式也成立立.由①和②可知，，對(duì)任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.【拓展提升】】用數(shù)學(xué)歸納法法證明等式的的注意點(diǎn)(1)明確等等式兩邊項(xiàng)的的構(gòu)成規(guī)律，，弄清由n=k到n=k+1時(shí)左邊邊的項(xiàng)是如何何變化的，由由此明確變形形的目標(biāo).(2)注意合合理利用恒等等變形的常用用方法.例如如,因式分解解、添拆項(xiàng)、、配方等.【變式訓(xùn)練】】是否存在常數(shù)數(shù)a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對(duì)一切正整整數(shù)n都成立？證明你的的結(jié)論．【解析】把n＝1，2，3代入等等式得方程組組解得猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)對(duì)一切n∈N*都成立．下面用數(shù)學(xué)歸歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由上面可可知等式成立立．(2)假設(shè)n＝k(k≥≥1,k∈N*)時(shí)等式成立立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，則當(dāng)n＝k+1時(shí)，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k＋＋5)(k＋＋2)＋(k＋1)(k＋2)2∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，，等式也成立立．綜合(1)(2)，對(duì)n∈N*等式都成立．．考向2用數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式式【典例2】由下列不等式式：你能得到一個(gè)個(gè)怎樣的一般般不等式？并并加以證明.【思路點(diǎn)撥】】觀察所給出的的不等式，其其左邊是若干干個(gè)分式相加，分子都是是1，分母由由1開始，每每一項(xiàng)比前一一項(xiàng)大1，最最后一項(xiàng)是2n-1，因此左左邊的式子為為不不等式式的右邊是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)，依次為由由此可可得到一般的的不等式.證明可采采用數(shù)學(xué)歸納納法.【規(guī)范解答】】根據(jù)給出的幾幾個(gè)不等式可可以猜想第n個(gè)不等式，，即一般不等式式為用數(shù)學(xué)歸納法法證明如下：：(1)當(dāng)n=1時(shí)，1>,猜想想成立.(2)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(k≥1,k∈∈N*)時(shí)，，猜想成立，，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想想也成立，所所以對(duì)任意的的n∈N*，不等式都成成立.【拓展提升】】用數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式式的注意問題題(1)當(dāng)遇到到與正整數(shù)n有關(guān)的不等等式證明時(shí)，，應(yīng)用其他辦辦法不容易證證，則可考慮慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸歸納法.(2)用數(shù)學(xué)學(xué)歸納法證明明不等式的關(guān)關(guān)鍵是由n=k成立，推推證n=k+1時(shí)也成立立，證明時(shí)用用上歸納假設(shè)設(shè)后，可采用用分析法、綜綜合法、作差差(作商)比比較法、放縮縮法等證明.【變式訓(xùn)練】】求證：【證明】(1)當(dāng)n＝＝2時(shí)，左邊邊不不等式成立立．(2)假設(shè)n＝k(k≥≥2，k∈N*)時(shí)命題成立立，即則當(dāng)n＝k＋＋1時(shí)，∴當(dāng)n＝k＋＋1時(shí)不等式式亦成立．∴原不等式對(duì)對(duì)一切n≥2，n∈N*均成立．【備選考向】】歸納、猜想、、證明【典例】在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式式，并加以證證明.【思路點(diǎn)撥】】利用遞推公式式將n=1,2,3代入入即可求得a2，a3，a4，然后再用數(shù)數(shù)學(xué)歸納法證證明猜想成立立.【規(guī)范解答】】(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想數(shù)數(shù)列通項(xiàng)公式式為：an=(n-1)λn+2n.下面用數(shù)學(xué)歸歸納法證明：：①當(dāng)n＝1時(shí)時(shí)，a1＝2，等式成成立．②假設(shè)當(dāng)n＝＝k(k≥1,k∈N*)時(shí)等式成立立，即ak=(k-1)λk+2k，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1)-1]λλk+1+2k+1,即當(dāng)n＝k＋＋1時(shí)等式也也成立，根據(jù)據(jù)①和②可知知，等式對(duì)任任何n∈N*都成立．【拓展提升】】解“歸納———猜想——證證明”題的關(guān)關(guān)鍵環(huán)節(jié)(1)準(zhǔn)確計(jì)計(jì)算出前若干干具體項(xiàng)，這這是歸納、猜猜想的基礎(chǔ).(2)通過觀觀察、分析、、比較、聯(lián)想想，猜想出一一般結(jié)論.(3)對(duì)一般般結(jié)論用數(shù)學(xué)學(xué)歸納法進(jìn)行行證明.【變式訓(xùn)練】】數(shù)列{an}中，求a3,a4,猜想an的表達(dá)式，并并用數(shù)學(xué)歸納納法證明你的的猜想.【解析】因?yàn)閍1=1，a2=，且所以同同理可求得得歸納猜想下面用數(shù)學(xué)歸歸納法證明猜猜想正確.(1)當(dāng)n=1時(shí)，易知知猜想正確.(2)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(k≥1,k∈∈N*)時(shí)，猜想正正確，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想想也正確.由(1)(2)可知，猜猜想對(duì)任意正正整數(shù)都正確確.【備選考向】】用數(shù)學(xué)歸納法法證明整除問問題【典例】用數(shù)學(xué)歸納法法證明：(3n+1)··7n-1(n∈N*)能被9整除除.【思路點(diǎn)撥】】在第二步證明明中，注意利利用歸納假設(shè)設(shè)，對(duì)n=k+1時(shí)的式式子進(jìn)行合理理變形.【規(guī)范解答】】(1)當(dāng)n=1時(shí)，(3×1+1)×7-1=27能被9整除，命題題成立；(2)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí)時(shí)命題成立，，即(3k+1)·7k-1能被9整整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，[3(k+1)+1]··7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)··7k+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除除，所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除，，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題題也成立，故(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.【拓展提升】】證明整除問題題的關(guān)鍵———“湊項(xiàng)”證明整除問題題的關(guān)鍵是““湊項(xiàng)”，即即采用增項(xiàng)、、減項(xiàng)、拆項(xiàng)項(xiàng)和因式分解解等手段，將將n=k+1時(shí)的式子湊湊出n=k時(shí)時(shí)的情形，從從而利用歸納納假設(shè)使問題題獲證.【變式訓(xùn)練】】用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明42n+1+3n+2能被被13整整除除，，其其中中n為為正正整整數(shù)數(shù).【證證明明】】(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)，，42××1+1+31+2=91能能被被13整整除除.(2)假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(k≥≥1,k∈∈N*)時(shí)時(shí)，，42k+1+3k+2能被被13整整除除，，則當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，，方法法一一：：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3··(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能能被被13整整除除，，42k+1+3k+2能被被13整整除除,∴42(k+1)+1+3k+3能被被13整整除除.方法法二二：：［［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,∵42k+1·13能能被被13整整除除，，∴［［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能能被被13整整除除，，即即42(k+1)+1+3k+3能被被13整整除除,∴當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，，命命題題也也成成立立,由(1)、、(2)知知，，對(duì)對(duì)任任意意n∈∈N*，42n+1+3n+2都能能被被13整整除除.【易易錯(cuò)錯(cuò)誤誤區(qū)區(qū)】】未運(yùn)運(yùn)用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)致致誤誤【典典例例】】用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明：：【誤誤區(qū)區(qū)警警示示】】本題題錯(cuò)錯(cuò)誤誤在在于于證證明明當(dāng)當(dāng)n=k+1等等式式也也成成立立這這一一步步驟驟時(shí)，，沒沒有有運(yùn)運(yùn)用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)，，而而是是直直接接利利用用等等比比數(shù)數(shù)列列的的前前n項(xiàng)項(xiàng)和和公公式求求得得這這是是錯(cuò)錯(cuò)誤誤的的.【規(guī)規(guī)范范解解答答】】①當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)，，左左邊邊=，，右右邊邊等等式式成成立立.②假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(k≥≥1,k∈∈N*)時(shí)時(shí)，，等等式式成成立立，，即則當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，，即當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，，等等式式也也成成立立.由①①②②知知，，等等式式對(duì)對(duì)n∈∈N*成立立.【思思考考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】】數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證題題的的關(guān)關(guān)注注點(diǎn)點(diǎn)在運(yùn)運(yùn)用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明問問題題時(shí)時(shí)，，兩兩個(gè)個(gè)步步驟驟缺缺一一不不可可，，尤尤其其是是在在證證明明第第二二步步時(shí)時(shí)，，一一定定要要運(yùn)運(yùn)用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)，，即即運(yùn)運(yùn)用用當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)時(shí)得得到到的的結(jié)結(jié)論論，，去去證證明明當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)命命題題的的正正確確性性，，否否則則，，若若沒沒有有運(yùn)運(yùn)用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)，，即即使使證證明明出出當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)結(jié)結(jié)論論成成立立，，也也不不是是利利用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明問問題題，，這這種種證證法法是是錯(cuò)錯(cuò)誤誤的的.1.(2013··廣廣州州模模擬擬)用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明1＋＋2＋＋3＋＋……＋＋n2＝則當(dāng)當(dāng)n＝＝k＋＋1時(shí)時(shí)左左端端應(yīng)應(yīng)在在n＝＝k的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上加加上上式式子子()(A)k2＋1(B)(k＋＋1)2(C)(D)(k2＋1)＋＋(k2＋2)＋＋……＋＋(k＋＋1)2【解解析析】】選D.當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)時(shí)，，左左端端=1+2+3+……+k2,當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，，左左端端=1+2+……+k2+(k2+1)+(k2+2)+……+(k+1)2，因因此此應(yīng)應(yīng)在在n=k的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上加加上上式式子子(k2+1)+(k2+2)+……+(k+1)2.2.(2013··九九江江模模擬擬)用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明34n+1+52n+1(n∈∈N*)能能被被8整整除除時(shí)時(shí)，，當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，，對(duì)對(duì)于于34(k+1)+1+52(k+1)+1可變變形形為為()(A)56··34k+1+25(34k+1+52k+1)(B)34·34k+1+52·52k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解解析析】】選A.∵∵當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)時(shí)，，34k+1+52k+1能被被8整整除除，，那那么么當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)，，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5=(34-52)··34k+1+52(34k+1+52k+1)=56··34k+1+25(34k+1+52k+1),故故選選A.3.(2013··江江門門模模擬擬)凸凸n邊邊形形有有f(n)條條對(duì)對(duì)角角線線，，凸凸(n+1)邊邊形形有有f(n+1)條條對(duì)對(duì)角角線線，，則則()(A)f(n+1)=f(n)+n+1(B)f(n+1)=f(n)+n(C)f(n+1)=f(n)+n-1(D)f(n+1)=f(n)+n-2【解解析析】】選C.凸n邊形形有