初中數(shù)學(xué)滬科版九年級(jí)上冊(cè)第21章　二次函數(shù)與反比例函數(shù)

二次函數(shù)與一元二次方程第1課時(shí)二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系課后作業(yè)：方案（B）一.教材題目：P33T1-T41．對(duì)于拋物線y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)b2－4ac>0時(shí)，相應(yīng)的方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的情況是________，拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況是________；當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的情況是________，拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況是________；當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的情況是________，拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況是________；若頂點(diǎn)在x軸上，則滿足條件________，若頂點(diǎn)在y軸上，則滿足條件________．2．畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y＝0.(1)y＝4x2＋4x＋1(2)y＝x2－4x＋5.3．證明：拋物線y＝x2－(2p－1)x＋p2－p與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．4．用圖象法求方程x2－4x＋1＝0的近似解(精確到二.補(bǔ)充:部分題目來(lái)源于《點(diǎn)撥》1．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…－1013…y…－3131…則下列判斷正確的是()A．拋物線開(kāi)口向上B．拋物線與y軸交于負(fù)半軸C．當(dāng)x＝4時(shí)，y＞0D．關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正根在3與4之間3．設(shè)二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，當(dāng)x≤1時(shí)，總有y≥0；當(dāng)1≤x≤3時(shí)，總有y≤0；當(dāng)x≥3時(shí)，總有y≥0，那么c的取值范圍是()A．c＝3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤38．已知拋物線y＝2x2－mx－2m與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，且x12＋x22＝5，求m的值．9．〈甘肅蘭州〉若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)，(第9題)把它稱(chēng)為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理．如果設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A，B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：AB＝|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))\s\up12(2)－\f(4c,a))＝eq\r(\f(b2－4ac,a2))＝eq\f(\r(b2－4ac),|a|).參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題：如圖，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b2－4ac的值；(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b2－4ac的值．10．(1)已知關(guān)于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3＝0.求證：m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根．(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝mx2－3(m－1)x＋2m－3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；②已知一次函數(shù)y2＝2x－2，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立．(3)在(2)的條件下，若二次函數(shù)y3＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5，0)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2均成立．求二次函數(shù)y3＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式．11.已知二次函數(shù)y＝x2＋bx－c的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(1，a)，Q(2，10a)．(1)如果a，b，c都是整數(shù)，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．(2)設(shè)二次函數(shù)y＝x2＋bx－c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C.如果關(guān)于x的方程x2＋bx－c＝0的兩個(gè)根都是整數(shù)，求△ABC的面積．答案教材1．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)(交點(diǎn))；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；有一個(gè)交點(diǎn)；無(wú)實(shí)數(shù)根；沒(méi)有交點(diǎn)；eq\f(4ac－b2,4a)＝0；－eq\f(b,2a)＝02．解：(1)圖象如圖所示．當(dāng)y＝0時(shí)，有4x2＋4x＋1＝0.解得x1＝x2＝－eq\f(1,2).(第2(1)題)(2)圖象如圖所示．不論x為何值，y都不等于0.(第2(2)題)3．證明：b2－4ac＝[－(2p－1)]2－4(p2－p)＝4p2－4p＋1－4p2＋4p＝1，即b2－4ac＝1＞0，故拋物線y＝x2－(2p－1)x＋p2－p與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．點(diǎn)撥：對(duì)于拋物線y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)．4．解：二次函數(shù)y＝x2－4x＋1的圖象如圖所示．從圖象上可以看出，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在0和1之間，另一個(gè)在3和4之間，利用計(jì)算器進(jìn)行探索得，當(dāng)x取或時(shí)，y更接近于0.所以方程x2－4x＋1＝0的精確到的解為和.(第4題)點(diǎn)撥1．D8．解：令y＝0，則2x2－mx－2m＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(m,2)，x1x2＝－m.∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))eq\s\up12(2)－2·(－m)＝eq\f(m2,4)＋2m＝5，即m2＋8m－20＝0，∴m1＝－10，m2＝2.∵拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴m2＋16m＞0，∴m＝2.點(diǎn)撥：此題求出m的值后，必須檢驗(yàn)b2－4ac的值．因?yàn)槿鬮2－4ac＜0，則方程無(wú)解，對(duì)應(yīng)的拋物線與x軸無(wú)公共點(diǎn)．9．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E.(第9題)(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，AB＝2CE.∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2－4ac＞0，則|b2－4ac|＝b2－4ac.∵a＞0，∴AB＝eq\f(\r(b2－4ac),|a|)＝eq\f(\r(b2－4ac),a).又∵CE＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)))＝eq\f(b2－4ac,4a)，∴eq\f(\r(b2－4ac),a)＝2×eq\f(b2－4ac,4a)，∴eq\r(b2－4ac)＝eq\f(b2－4ac,2)，∴b2－4ac＝eq\f(（b2－4ac）2,4).∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4.(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，CE＝eq\f(\r(3),2)AB，∴eq\f(b2－4ac,4a)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(b2－4ac),a).∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12.10．(1)證明：分兩種情況：當(dāng)m＝0時(shí)，原方程化為3x－3＝0，解得x＝1.∴當(dāng)m＝0時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根．當(dāng)m≠0時(shí)，原方程為關(guān)于x的一元二次方程，∵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3（m－1）))eq\s\up12(2)－4m(2m－3)＝m2－6m＋9＝(m－3)2≥0，∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．綜上所述，m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根．(2)①解：∵關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝mx2－3(m－1)x＋2m－3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴3(m－1)＝0，∴m＝1.∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y1＝x2－1.②證明：∵y1－y2＝x2－1－(2x－2)＝(x－1)2≥0，∴y1≥y2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立)．∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立．(3)解：由(2)知，當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝0.∴y1＝x2－1和y2＝2x－2的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)．∵對(duì)于x的同一個(gè)值，y1≥y3≥y2，∴y3＝ax2＋bx＋c的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)．又∵y3＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5，0)，∴y3＝a(x－1)(x＋5)＝ax2＋4ax－5a.設(shè)y＝y(tǒng)3－y2＝ax2＋4ax－5a－(2x－2)＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)．∵對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2均成立，∴y3－y2≥0，∴y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0.又根據(jù)y1＝x2－1和y2＝2x－2的圖象可得a＞0，∴y最小值＝eq\f(4a（2－5a）－（4a－2）2,4a)≥0，∴(4a－2)2－4a(2－5a)≤0，∴(3a－1)2≤0.而(3a－1)2≥0，因此3a－1＝0，解得a＝eq\f(1,3).∴y3＝eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x－eq\f(5,3).11．解：因點(diǎn)P(1，a)，Q(2，10a)在二次函數(shù)y＝x2＋bx－c的圖象上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b－c＝a，,4＋2b－c＝10a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝9a－3，,c＝8a－2.))(1)由c＜b＜8a知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8a－2＜9a－3，,9a－3＜8a，))解得1＜a＜3.又a為整數(shù)，所以a＝2.所以b＝9a－3＝15，c＝8a－2＝14.(2)設(shè)m，n是關(guān)于x的方程x2＋bx－c＝0的兩個(gè)整數(shù)根，且m≤n.由根與系數(shù)的關(guān)系可得m＋n＝－b＝3－9a，mn＝－c＝2－8a，消去a，得9mn－8(m＋n)＝－6；兩邊同時(shí)乘9，得81mn－72(m＋n)＝－54；分解因式，得(9m－8)(9n－8)＝10.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝1，,9n－8＝10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝2，,9n－8＝5，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝－10，,9n－8＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝－5，,9n－8＝－2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(10,9)，,n＝\f(13,9)))或e