2020年九年級中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：圓的綜合卷

2020年九年級中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：圓的綜合卷（含答案）如圖，點(diǎn)o為RtAABC斜邊AB上的一點(diǎn)，ZC=90。，以0A為半徑的00與BC交于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,連接AD且AD平分ZBAC.（1）求證：BC是00的切線；⑵若ZBAC=60。，0A=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留n）CD匸遲OCD匸遲O1）證明：連接0D，■/AD平分ZBAC,/.ZBAD=ZDAC,?.?A0=D0,/.ZBAD=ZAD0,/.ZCAD=ZAD0,.■.AC〃0D,■/ZACD=90°,/.0D丄BC,/.BC與Q0相切；解：連接0E,EDTZBAC=60°,OE=OA,???△OAE為等邊三角形,/.ZA0E=60°,.■.ZADE=30°,又TZ0AD=*ZBAC=30°,/.ZADE=ZOAD,.■.ED〃AO,四邊形OAED是菱形，.?.OE丄AD,且AM=DM,EM=OM,Cn-TTvQ2???陰影部分的面積^扇形ODE==〒n.dbUs如圖，已知AB是00的直徑，AC是00的弦，點(diǎn)E在00外，連接CE,zACB的平分線交。0于點(diǎn)D.若ZBCE=ZBAC,求證：CE是00的切線；若；AD=4,BC=3，求弦AC的長.(1)證明：連接0CVAB是00的直徑，/.ZACB=90°,.■.ZACO+ZBC0=90°,?.?OA=OC,/.ZOAC=ZOCA,■/ZBAC=ZBCE,二/.ZACO=ZBCE,/.ZBCE+ZBC0=90°,/.Z0CE=90°,.".CE是。O的切線；(2)解：連接BD,VZACB的平分線交00于點(diǎn)D,/.ZACD=ZBCD,.Afi=ED,.?.AD=BD,VAB是00的直徑，.■.ZADB=；90°,???△adb是等腰直角三角形，.?.AB=.：%D=4.邁，VBC=3,如圖，AB是00的直徑，AE平分ZBAF,交00于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作直線ED丄AF,交AF的延長線于點(diǎn)D,交AB的延長線于點(diǎn)C.求證：CD是00的切線；ZC=45°,00的半徑為2,求陰影部分面積.(1)證明：連接OE.?.?OA=OE,/.ZOAE=ZOEA,又'/ZDAE=ZOAE,/.ZOEA=ZDAE,.■.OE〃AD,/.ZADC=ZOEC,■/AD丄CD,.■.ZADC=90°,故ZOEC=9O°./.OE丄CD,.".CD是。O的切線；(2)解:VZC=45°,???△OCE是等腰直角三角形,/CE=OE=2,ZCOE=45°,???陰影部分面積Poce-S=2???陰影部分面積Poce-S=2扇形OBE￡X2X2-=2-兀4.如圖①，BC是00的直徑，點(diǎn)A在00上,AD丄BC垂足為D,弧AE=弧AB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G.DC3DOEGDC3DOEG圖①判斷△FAG的形狀，并說明理由；如圖②若點(diǎn)E與點(diǎn)A在直徑BC的兩側(cè)，BE、AC的延長線交于點(diǎn)G,AD的延長線交BE于點(diǎn)F,其余條件不變(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.在(2)的條件下，若BG=26,DF=5，求00的直徑BC.解：(1)AFAG等腰三角形；理由：TBC為直徑，/.ZBAC=90°,/.ZABE+ZAGB=90°,■/AD丄BC,/.ZADC=90°,/.ZACD+ZDAC=90°,/?弧AETgAB,/.ZABE=ZACD,/.ZDAC=ZAGB,.?.FA=FG,???△FAG是等腰三角形；(2)成立；/BC為直徑，/.ZBAC=90°/.ZABE+ZAGB=90°■/AD丄BC,.■.ZADC=90°,/.ZACD+ZDAC=90°,?/弧AB,/.ZABE=ZACD,

/.ZDAC=ZAGB,.?.FA=FG,???△FAG是等腰三角形；由(2)知ZDAC=ZAGB,且ZBAD+ZDAC=90°,ZABG+ZAGB=90°/.ZBAD=ZABG,.?.AF=BF,又?.?AF=FG,?F為BG的中點(diǎn)???△BAG為直角三角形，?AF=BF=*BG=13,???DF=5,.■.AD=AF-DF=13-5=8,.■.在RtABDF中，BD=丄12,.?.在RtABDA中，AB=丄4.玉,■/ZABC=ZDBA,ZBAC=ZADB=90°?△ABCsADBA,BCAB…E慮DE'?^13=12,EC4-/I3?^13=12,?00的直徑bc=E*.如圖，已知矩形ABCD的邊AB=6,BC=4,點(diǎn)P、Q分別是AB、BC邊上的動點(diǎn).連接AQ、PQ,以PQ為直徑的00交AQ于點(diǎn)E.若點(diǎn)E恰好是AQ的中點(diǎn)，則ZQPB與ZAQP的數(shù)量關(guān)系是ZQPB=2ZAQP:若BE=BQ=3，求BP的長；已知AP=3,BQ=1,00是以PQ為弦的圓.若圓心0恰好在CB邊的延長線上，求00的半徑；若00與矩形ABCD的一邊相切，求00的半徑.解：⑴①???點(diǎn)E恰好是AQ的中點(diǎn)，ZABQ=90°,.?.BE=AE=EQ,/.ZEAB=ZEBA,/.ZQEB=2ZEBP,■/以PQ為直徑的00交AQ于點(diǎn)E,/.ZQPB=ZQEB,ZPBE=ZPQA,/.ZQPB=2ZAQP,故答案為：ZQPB=2ZAQP；②?.?BE=BQ,/.ZBEQ=ZBQE,且ZBPQ=ZBEQ,/.ZBPQ=ZBQE,.".tanZBPQ=tanZBPQ,ABBQ■…EQ一胡，.衛(wèi)旦…m_E0，(2)①如圖1,過點(diǎn)0作0E丄PQ,

TAP=3,AB=6,.■.BP=3,TOE丄PQ,QE=PE=TAP=3,AB=6,.■.BP=3,TOE丄PQ,QE=PE=a/ToBQPQQETcosZPQB=/.OQ=5,???0O的半徑為5；②如圖2,若0O與BC相切于點(diǎn)Q,連接OQ,過點(diǎn)O作OE丄PQ于E,???BC是00切線,/.0Q丄BC,且AB丄BC,.?.OQ〃AB,/.ZOQP=ZBPQ,.".cosZOQP=cosZBPQ,QEPB…Vw.?；Ij_OQ10???O噸；如圖3,若00與AB相切于點(diǎn)P,連接0P,過點(diǎn)0作0E丄PQ于E,TAB是00切線，?OP丄AB,且AB丄BC,.■.OP〃BC,/.ZOPQ=ZPQB,Z.cosZ0PQ=cosZPQB,PEBQ■,"CP"PQ\-40"一亠OP10?0P=5；如圖4,若00與AD相切于點(diǎn)M,連接0M,0Q,OP,延長M0交BC于F,作OH丄AB于H點(diǎn),.「OM丄AD,且BC〃AD,.?.OF丄BC,■/ZA=ZB=ZAMO=ZOFB=ZOHB=90°,.四邊形AHOM,OHBF是矩形，.?.OM=AH,OH=BF,■/OQ2=OF2+FQ2,OP2=OH2+PH2,/.OQ2=(6-OQ)2+(BF-1)2,OQ2=BF2+OQ-3)2,OQ,OP,延長NO交BC于E,作OH丄BC于H若圖5,若0O與CD相切于點(diǎn)N,連接ON,點(diǎn),同理可得：OP2=PE2+OE2,OQ2=OH2+QH2,.OQ2=(3-OH)2+(4-OQ)2,OQ2=OH2+(4-OQ-1)2.■.OQ=35-6一如如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，連接AE,將矩形沿AE翻折，使點(diǎn)B落在CD邊F處，連接AF,在AF上取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心，OF為半徑作0O與AD相切于點(diǎn)P.AB=6,BC=<g,求證：F是DC的中點(diǎn).求證:AE=4CE.求圖中陰影部分的面積.在RtAADF中，DF='；AF^-AD紅，昔-(W)2=3,.?.CF=DC-DF=3,???DF=FC,即F是CD的中點(diǎn)；證明：在RtAADF中，DF=3,AF=6,.".ZDAF=30。，.".ZBAF=60。，由折疊的性質(zhì)可知，ZEAF=ZEAB,ZAFE=ZB=90°,/.ZEAF=ZEAB=30°,.?.AE=2EF,ZEFC=180°-ZAFD-ZAFE=30。，.?.EF=2CE,/.AE=4CE；解：連接OP、OH、PH,??90與AD相切于點(diǎn)P,.?.OP丄AD,.?.OP〃DF,■/ZDAF=30°,/.ZA0P=90°-ZDAF=60°,OF=OP=^A,Z.Z0FH=ZA0P=60°,0P=0F=2,?■?AP=；0*-0卩上=2'",.?.DP=AD-AP=W,■ZZ0FH=60°,OH=OF,???△OHF為等邊三角形，.?.ZFOH=ZOHF=6O°,HF=0F=2,.?.DH=DF-HF=1,T0P〃DF,/.ZPOH=ZOHF=6O°,/.ZPOH=ZHOF,???PUT,???陰影部分的面積=^PDH的面積DHXDP=￥.如圖，RtAABC中，ZABC=90°，以AB為直徑作00交AC于點(diǎn)D,連接BD.求證：ZA=ZCBD.若AB=10,AD=6,M為線段BC上一點(diǎn)，請寫出一個BM的值，使得直線DM與。0相切,并說明理由.證明:TAB為00直徑,/.ZADB=90°,/.ZA+ZABD=90°.\'ZABC=90°,/.ZCBD+ZABD=90°,/.ZA=ZCBD；BM=理由如下：

如圖，連接OD，DM，TZADB=90°,AB=10,AD=6,?■?BD=」-護(hù)=8,0A=5,■/ZA=ZCBD,?RtACBDsr弋\BAD,BCBD即睨S解得BC=f取BC的中點(diǎn)M,連接DM、OD,如圖,???DM為RtABCD斜邊BC的中線,?Z2=Z4,?OB=OD，/.Z1=Z3,/.Z1+Z2=Z3+Z4=90°，即Z0DM=90°,.?.OD丄DM,???DM為0O的切線，20此時BM=20此時BM=如圖，AB是00的直徑，直線MC與00相切于點(diǎn)C.過點(diǎn)A作MC的垂線，垂足為D,線段AD與00相交于點(diǎn)E.求證：AC是ZDAB的平分線；若AB=10,AC=4.運(yùn)，求AE的長./.OF/.OF=OC-CF=3.???直線MC與00相切于點(diǎn)C,.■.Z0CM=90°,■/AD丄CD,.■.ZADM=90°,/.ZOCM=ZADM,.■.0C〃AD,/.ZDAC=ZAC0,?/0A=0C,/.ZAC0=ZCA0,/.ZDAC=ZCAB,即AC是ZDAB的平分線；(2)解：連接BC,連接BE交OC于點(diǎn)F,/■AB是00的直徑，/.ZACB=ZAEB=9O°,?/AB=10,AC=4.g.".BC=〔點(diǎn)站-AC!DJ-(45)'=215,/0C〃AD,/.ZBF0=ZAEB=90°,.?.ZCFB=90°,F為線段BE中點(diǎn),■/ZCBE=ZEAC=ZCAB,ZCFB=ZACB,.?.△CFBsABCA.?巫=竺即狂=師…BC=AB，即師=M,解得CF=2???0為直徑AB中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE中點(diǎn),.".AE=20F=6.如圖，AB是00的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，連接CD交0B于點(diǎn)E,點(diǎn)F是AB延長線上一點(diǎn)，CF=EF.求證：FC是00的切線；若CF=5,tanA=g"，求00半徑的長.證明：如圖，連接0D.??點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，/.ZA0D=ZB0D=90°,/.ZODC+ZOED=90°,?0D=0C，/.ZODC=ZOCD.又VCF=EF,/.ZFCE=ZFEC.■/ZFEC=ZOED,/.ZFCE=ZOED./.ZFCE+ZOCD=ZOED+ZODC=90°,即FC丄0C,?"?FC是00的切線；

(2)解：TtanA=*,(2)解：TtanA=*,亠…八EC1TZACB=ZOCF=9O°,/.ZACO=ZBCF=ZA,■."△ACFsACBF,BFCFBC1八=—=■=—'TFAFAC2'/.AF=10,.?.CF2=BFAF.如圖，AB是00的直徑，弦DE垂直半徑0A,C為垂足，DE=6，連接DB,ZB=30°,過點(diǎn)E作EM〃BD，交BA的延長線于點(diǎn)M.(1)求的半徑；求證：EM是00的切線；若弦DF與直徑AB相交于點(diǎn)P,當(dāng)ZAPD=45。時，求圖中陰影部分的面積.解：⑴連結(jié)0E解：⑴連結(jié)0E,■/DE垂直0A,ZB=30°,?■?CE=gDE=3,.■.ZA0E=2ZB=60°,.■.ZCE0=30°,OC=*OE,由勾股定理得0E=2?迂；TEM〃BD,/.ZM=ZB=30°,ZM+ZA0E=90°,/.ZOEM=9O°，即OE丄ME,???EM是00的切線；再連結(jié)OF,當(dāng)ZAPD=45。時，ZEDF=45°,.■.ZE0F=90°,S陰影=*(2近)2-寺(2去)2=3n-6-如圖，RtAABC中，zC=90°.BE平分ZABC交AC于點(diǎn)D,交厶ABC的外接圓于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF丄BC交BC的延長線于點(diǎn)F.請補(bǔ)全圖形后完成下面的問題：(1)求證：已卩是厶ABC外接圓的切線；(2)若BC=5,sinZABC=^，求EF的長.(1)證明：補(bǔ)全圖形如圖所示,???△ABC是直角三角形，?△ABC的外接圓圓心0是斜邊AB的中點(diǎn).連接OE,.?.OE=OB.?Z2=Z3,?.?BE平分ZABC,/.Z1=Z2,/.Z1=Z3..?.OE〃BF.?EF丄BF,.?.EF丄OE,.訃卩是厶ABC外接圓的切線;12(2)解：在RtAABC中,BC=5,sinZABC=座=!!?AC2+BC2=AB2,.?.AC=12.■/ZACF=ZCFE=ZFEH=90°,.四邊形C；FEH是矩形..?.EF=HC,ZEHC=90°..EF=HC=*AC=6.12．我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直,那么這兩條弦互為“十字弦”,也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”如：如圖，已知?)的兩條弦AB丄CD,貝則AB、CD互為“十字弦”AB是CD的“十字弦”CD也是AB的“十字弦”⑴若00的半徑為5,—條弦AB=8,則弦AB的“十字弦”CD的最大值為10，最小值為6.(2)如圖1,若00的弦CD恰好是00的直徑，弦AB與CD相交于H,連接AC,若AC=DH=7,CH=9,求證：AB、CD互為“十字弦”

如圖2,若00的半徑為5,—條弦AB=8，弦CD是AB的“十字弦”，連接AD，若ZADC=60。，求弦CD的長.ADZADC=60。，求弦CD的長.ADCDQB'Bmi解：(1)如圖a,當(dāng)」CD是直徑時，CD的長最大，則CD的最大值為10；A(D)FC0Q圖3圖A(D)FC0Q圖3圖0如圖b,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，CD有最小值,過點(diǎn)0作0E丄CD于E,0F丄AB于F,.?.AF=BF=4,DE=CE,?■?0F=J*-止時=二22-16=3,■/0E丄CD,OF丄AB,ZCDB=90°,四邊形CEOF是矩形，/.CE=0F=3,/.CD=6,?"?CD最小值為6,故答案為：10,6；(2)如圖1,連接AD,

?.?DH=7,CH=9,.".CD=16,???CD是直徑，/.ZCAD=90°,?■仙=乂酹一吉嚴(yán)='_衛(wèi)5&--144=4'訂,慮_佔(zhàn)DC二電=4/7麗「「F，也一新=「FZADH=ZADC,ADDCZADH=ZADC,…?.■.?.△ADHs^CDA,/.ZAHD=ZCAD=90°,/.AB丄CD,???AB、CD互為“十;字弦”；如圖2,過點(diǎn)0作0E丄CD于E,過點(diǎn)0作OF丄AB于點(diǎn)F,連接AO,CO,過點(diǎn)0作ON丄AC于N,ZADC=60°,AB丄CD,/.AF=.希，OE丄CD,OF丄AB,AB丄CD,./四邊形OEHF是矩形，AF=BF=4,CE=ED,?OF=EH,TOF=:曲-AF2^^-16=3,/.EH=3,.?.ED=CE=3+DH,.■.CF=3+2DH,■/ZAOC=2ZADC=120°，且A0=C0=5,ON丄AC,/.ZCAO=30°,AN=CN,■/AH2+CH2=AC2,.■.75=3DH2+(3+2DH)2,.■.DH=2=,.?.CD=2CE=2(3+2i乜-牙)=矢乜十&如圖，AB是。0的弦，AB=4,點(diǎn)P在曲ilB上運(yùn)動(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，且ZAPB=30°，設(shè)圖中陰影部分的面積為y．0O的半徑為4:若點(diǎn)P到直線AB的距離為x,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出自變量x的取值范圍．解：(1)VZAOB=2ZAPB=2X30°=60而OA=OB,???△OAB為等邊三角形,/.OA=AB=4,即OO的半徑為4：故答案為4:(2)過點(diǎn)O作OH丄AB,垂足為H,如圖,

則ZOHA=ZOHB=9O°TZAPB=30°.■.ZA0B=2ZAPB=60°,?.?OA=OB,OH丄AB,.?.AH=BH=*AB=2,在RtAAHO中，ZAHO=9O°,AO=4,AH=2,?兀?4a"y_—?兀?4a"y_—360—=2x^-n-4-/3(0VxW2_：P+4).如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于?O,AC為00的直徑，D為就的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE〃AC,交BC交BC的延長線于點(diǎn)E．判斷DE與?0的位置關(guān)系，并說明理由;-IG若CE=,AB=6，求?0的半徑.(1)解：結(jié)論:DE與?0相切證：連接OD在00中，TD為曲;的中點(diǎn)，.?.AD=DC,?.?AD=DC,點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)，/.0D丄AC,/.ZD0A=ZD0C=90°,■?■.■DE〃AC,/.ZDOA=ZODE=90°,■/ZODE=90°,/.0D丄DE,TOD丄DE,DE經(jīng)過半徑OD的外端點(diǎn)D,/.DE與00相切.(2)解：連接BD.?.?四邊形ABCD是00的內(nèi)接四邊形，/.ZDAB+ZDCB=180°,又TZDCE+ZDCB=180°,/.ZDAB=ZDCE,???AC為00的直徑，點(diǎn)D、B在00上,/.ZADC=ZABC=90°,/.ZABD=ZCBD=45°,TAD=DC,ZADC=90°,.■.ZDAC=ZDCA=45°,TDE〃AC,/.ZDCA=