【名師一號】高中數(shù)學 4.2.3直線與圓的方程的應用課件 新人教A必修2

4.2.3直線與圓的方程的應用

11.掌握直線方程?圓的方程,進一步提高知識運用能力.2.掌握用坐標法研究幾何問題的基本思想及其解題過程.2在掌握直線方程與圓方程的基礎上,進一步提高知識運用能力,領會將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的過程,即由坐標方法解決平面幾何問題.一般來說此類問題分為如下三步:第一步:______________________,用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.第二步:通過__________,解決代數(shù)問題.第三步:把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論. 注意:______________方法的靈活運用.

建立適當?shù)闹苯亲鴺讼荡鷶?shù)運算數(shù)形結合思想31.用坐標法解決幾何問題的方法步驟:(俗稱“三步曲”)第一步:根據(jù)題目的特點,建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?一般坐標原點選在線段的中點,幾何圖形的對稱中心等.建立坐標系適當,可使問題簡化.用坐標和方程表示幾何問題中的元素.將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.第二步:用代數(shù)運算解決代數(shù)問題.第三步:把代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何結論.2.要靈活運用數(shù)形結合的思想方法.對于一些代數(shù)問題,根據(jù)其幾何意義,可用幾何方法解決.4題型一數(shù)形結合思想方法的應用例1:(1)方程表示的曲線是什么?(2)若方程有解,求實數(shù)b的取值范圍.解:(1)等價于x2+y2=9(y≥0),∴表示半圓,即以原點為圓心,3為半徑的圓在x軸上方的半圓(包括兩個端點).5

(2)方程有解,即半圓與直線y=x+b有交點(如下圖).易求出,當-3≤b≤3時,方程有解.6變式訓練1:(2008·全國卷)若直線與圓x2+y2=1有公共點,則()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥17答案:D8題型二用坐標法求圓的方程例2:如下圖所示,點M是弓形弧的中點,弦|OA|=8,弓形的高為2m,求此弧所在圓的方程.分析:只需要求圓心坐標及半徑即可.9解:設圓心坐標為(4,b),圓的半徑為r,那么圓的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原點O(0,0)和圓弧最高點M(4,2)也在圓上解得:b=-3,r2=25.所以圓的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.10規(guī)律技巧:本本題也可以選選取弦OA的的中點為坐標標原點建立直直角坐標,可求得得此弧所在圓圓的方程為x2+(y+3)2=25.由此此看來,建立的坐標系不不同,所求得得的方程不同同.11變式訓練2:如圖,圓O1和圓O2的半徑都等于于1,O1O2=4,過動點點P分別作圓O1,圓O2的切線PM??PN(M,N分別為切切點),使得得,建立平面直直角坐標系,并求動點P的軌跡方程程.12解:以O1O2的中點O為坐坐標原點,O1O2所在直線為x軸,建立直直角坐標系如圖圖所示,則O1(-2,0),O2(2,0).13由已知得得PM2=2PN2,因為圓的半徑徑為1,所以以:PO21-1=2(PO22-1),設P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求動點P的軌跡方程程為(x-6)2+y2=33.14題型三與與圓有關的綜綜合問題例3:已知△△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,點P是△△ABO內(nèi)切切圓上一點,求以|PA|?|PB|?|PO|為直徑的的三個圓面積積之和的最大大值與最小值值.分析:三個圓圓面積之和的的最值問題實實質(zhì)上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是△ABO內(nèi)切圓圓上的點,若若想找到P點點坐標,必須須先從△ABO內(nèi)切圓的的方程入手.15解:如下圖,建立直角坐坐標系,使A?B?O三三點的坐標分分別為A(4,0)?B(0,3)?O(0,0).16易求得△ABO的內(nèi)切點點半徑r=1,圓心(1,1).故內(nèi)切圓的方方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化簡為x2+y2-2x-2y+1=0,①設P(x,y),則|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.②②17由①可知x2+y2-2y=2x-1,將其代入②有有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值為22,最小值值為18,三三個圓面積之之和為∴所求面積的的最大值為最最小值為18規(guī)律技巧:選選定原點,建建立恰當?shù)闹敝苯亲鴺讼?可以簡化幾幾何問題,將幾何問問題轉(zhuǎn)化為代代數(shù)問題.19變式訓練3:一艘輪船沿沿直線返回港港口的途中,接到氣象臺臺的臺風預報,臺臺風中心位于于輪船正西70km處處,受影響的的范圍是半徑為30km的圓形形區(qū)域,已知知港口位于臺臺風中心的正正北40km處,如果果這艘船不改改變航線,那那么它是否會會受到臺風的的影響?20解:如圖所示示:21以臺風中心為為坐標原點,以正東方向向為x軸正方方向建立直角角坐標系,其中取取10km為單位長度度,則受臺風風影響的圓形形區(qū)域所對應的方程為為x2+y2=9,港口所所在位置的坐坐標(0,4),輪船的的位置坐標(7,0),則輪船船航線所在直直線方程為即4x+7y-28=0,圓心到直直線的距離而r=3,∴d>r,∴直直線與圓相離離,所以輪船船不會受到臺臺風影響.22易錯探究例4:已知圓圓x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求兩圓的位位置關系.得4x-3y-4=0,即代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.∵Δ=100-4×25=0,∴兩圓只有一一個公共點,故兩圓相切切.23錯因分析:兩兩圓方程聯(lián)立立,Δ=0說說明兩圓只有有一個公共點點,此時兩圓圓有可能外切切,也有可能能內(nèi)切.正解:把兩圓圓的方程分別別配方,化為為標準方程為為(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,∴兩圓心坐標標C1(-1,-1),C2(3,-4),半徑r1=1,r2=4.∴圓心距|C1C2|==5=r1+r2.∴兩圓相外外切.24技能演練練(學生用用書P95)25基礎強化1.已知直線線ax-by+c=0(abc≠0),與圓x2+y2=1相切,則則三條邊長分分別為|a|,|b|,|c|的三三角形()A.是銳角三三角形B.是直角三三角形C.是鈍角三三角形D.不存在在解析:直線與與圓相切,則則∴a2+b2=c2.答案:B262.已知點A?B分別在在兩圓x2+(y-1)2=1與(x-2)2+(y-5)2=9上,則A?B兩點之之間的最短距距離為()解析:兩圓心心之間的距離離為∴兩圓相離,∴A、B兩兩點之間的最最短距離為答案:C273.方程x(x2+y2-1)=0和和x2-(x2+y2-1)2=0表示的圖圖形是()A.都是兩個個點B.一條直線線和一個圓C.前者是一一條直線和一一個圓,后者者是兩個圓D.前者為兩兩個點,后者者是一條直線線和一個圓28解析:x(x2+y2-1)=0x=0或或x2+y2-1=0,則則它表示一條條直線x=0和一個圓x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0(x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,即它表示兩個圓圓.因此,選選C.答案:C294.過原點的的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切,若若切點在第三三象限,則該該直線的方程程是()解析:設切線線方程為y=kx,圓的的方程化為(x+2)2+y2=1,而圓心心(-2,0)到直線y=kx的距距離為1,∴又∵切點在第第三象限,∴∴答案:C305.(2007·重慶)若直線y=kx+1與與圓x2+y2=1相交于P?Q兩點,且∠POQ=120°°(其中O為為原點),則則k的值為()解析:∵∠POQ=120°,∴點點O到直線y=kx+1的距離又答案:A316.(2007·湖南)圓心為(1,1)且與與直線x+y=4相切的的圓的方程是是___________________.解析:半徑則圓的方程為為(x-1)2+(y-1)2=2.(x-1)2+(y-1)2=2327.兩圓x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,則實數(shù)a的的值為_____________________.解析:當兩圓圓內(nèi)切時有=4,∴a=0.當兩圓外切時時,有∴∴a=±±338.與圓x2+y2=4切于點的的切切線方程為__________.解析:圓心(0,0),∴切線的斜率率又又切點為為∴切線方程為為即34能力提升9.已知圓C:(x-2)2+y2=2.(1)求與圓圓C相切,且且在x軸?y軸上截距相相等的直線方方程;(2)從圓C外一點P作作圓C的一條條切線,切點點為M,O為為坐標原點,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小時時點P的坐標標.35解:(1)設設橫?縱截距距相等的切線線方程為kx-y=0,與x+y+c=0,則與解解得得k=±1,c=-4或或c=0.故切線方程為為x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)設P(x,y),由|PM|=|PO|,得化簡得點P的的軌跡為直線線要要使|PM|最小,即要使|PO|最小,過O作直線線的的垂線.∴垂垂足是是所所要求的點.3610.已知實實數(shù)x,y滿滿足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求的的最值;(2)求y-x的最值;(3)求x2+y2的最值.解:(1)∵∵圓的標準方方程為(x-2)2+y2=3,其圓心心為(2,0),半徑為為設設即即y=kx.當直線y=kx與圓相切切時,斜率k取最大值和和最小值.此此時解得k=±∴的的最大大值為最最小值為37(2)設y-x=b,即即y=x+b.當y=x+b與圓相相切時,縱截截距b取得最最大值和最小小值,此時即b=-2±±∴∴y-x的最最大值為最最小小值為-2-(3)x2+y2表示圓上一點點與原點距離離的平方,由由平面幾何知知識可知,它它在過原點的的連心線與圓圓的交點處取取得最大值和和最小值.又又圓心到原點點的距離為2,∴x2+y2的最大值為最最小小值為38品味高考考(學生用用書P95)3911.